РГР4
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
Методические указания и задания к расчетно-графической работе по курсу “Сопротивление материалов” для студентов 2-го курса всех строительных
специальностей очной формы обучения
Краснодар
2006
Составители: д-р. физ.-мат. наук, проф. Н. Н. Фролов, канд. физ.-мат. наук, доц. С. Ю. Молдаванов, канд. физ.- мат. наук, доц. С.Б. Лозовой.
УДК 539.3
Расчет балок на прочность и жесткость. Методические указания и задания к расчетно-графической работе по курсу «Сопротивление материалов» для студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной формы обучения / Кубан. гос. технол. ун-т; сост.: Н. Н. Фролов, С. Ю. Молдаванов, С.Б. Лозовой. Краснодар, 2006. 20 с.
Предлагаемые методические указания содержат примеры решения типовых задач, входящих в состав расчетно-графической работы по курсу «Сопротивление материалов», посвященной рассмотрению расчетов балок на прочность и жесткость. Предназначены для студентов 2-го курса всех строительных специальностей очной формы обучения.
Ил. 16. Табл. 2.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кубанского государственного технологического университета
Рецензенты: доц. кафедры строительных конструкций и гидротехнических сооружений КубГТУ С.И. Дизенко;
доц. кафедры сопротивления материалов и строительной механики КубГТУ В. В. Попов.
2
|
|
|
1. РАСЧЕТ ДЕРЕВЯННОЙ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ |
|
|
|||||||
|
Строим эпюры внутренних силовых факторов в заданной консольной |
|||||||||||
балке. Используя ранее построенные эпюры поперечных сил Qy и изгибаю- |
||||||||||||
щих моментов |
M x , определяем величину и направление опорных реакций |
|||||||||||
балки: M А = 7,5 кНм; VА =5 кН. |
|
|
Исходя из построенных |
|||||||||
|
|
II |
|
I III |
|
|
у |
|||||
|
|
|
|
|
эпюр Qy |
и M x , определяем |
||||||
|
|
|
М=20 кНм |
q=3 кН/м |
МA=7,5кНм |
|||||||
z |
|
|
положение |
опасных |
сечений |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
трех типов: |
|
|
|
||
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
− сечение первого типа соот- |
|||||||||||
|
|
|
F=10 кН |
|
А |
|
||||||
|
|
|
|
|
VA=5кН |
ветствует точке, где возни- |
||||||
|
1 м |
2 м |
3 м |
|
||||||||
|
|
|
кает максимальный по мо- |
|||||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
дулю изгибающий момент. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом сечении действуют |
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
максимальные нормальные |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Эп.Qy |
напряжения; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− сечение второго типа соот- |
|||||
|
|
|
|
3,333 м |
|
|
(кН) |
|||||
|
|
|
|
|
|
ветствует точке, где возни- |
||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
кает максимальная по мо- |
|||||
|
|
|
|
6 |
3,333 |
|
7,5 |
дулю |
поперечная |
сила. В |
||
|
|
|
|
|
этом сечении будут дейст- |
|||||||
|
|
|
|
|
Эп. Мх |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
вуют |
максимальные |
каса- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(кНм) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
тельные напряжения; |
|
||||
|
|
|
8,5 |
|
|
|
|
− сечение третьего типа соот- |
||||
|
|
|
14 |
|
|
|
ветствует точке, где возни- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
кают |
значительные |
изги- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Эп. v 103 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
бающие моменты и соот- |
|||||
|
|
|
|
|
2,972 |
|
(м) |
ветствующие им |
попереч- |
|||
13,153 |
|
|
|
|
|
|
ные силы. В этом сечении |
|||||
|
|
|
11,153 |
|
|
|||||||
13,806 |
14,458 |
|
|
строят |
эпюры распределе- |
|||||||
14,958 |
|
|
|
ния главных напряжений по |
||||||||
|
Рис. 1.1. Эпюры в заданной балке |
его высоте. В рассматри- |
||||||||||
|
ваемом |
примере |
опасные |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сечения |
первого и третьего типов находятся в точке, |
расположенной на |
||||||||||
бесконечно малом расстоянии левее сосредоточенного момента М = 20 |
||||||||||||
кНм. Опасное сечение второго типа находится в точке, расположенной на |
||||||||||||
бесконечно малом расстоянии правее сосредоточенной силы F =10 кНм. |
||||||||||||
|
Запишем условие прочности при изгибе по максимальным нормальным |
|||||||||||
напряжениям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
σmax = M max ≤ R =10МПа,
Wx
где R =10 МПа – расчетное сопротивление дерева;
Wx – момент сопротивление круглого сечения балки, Wx = πd 3 . 32
Тогда требуемый диаметр круглого поперечного сечения равен:
dnec ≥ 3 |
32 M max |
= 3 |
32 14 103 |
= 0,243 м. |
|
π R |
|
3,14 10 106 |
|
Округляем полученную величину диаметра в большую сторону до целых сантиметров и принимаем d = 25см. Момент инерции принятого поперечного сечения равен:
J x = J y = |
πd 4 |
|
3,14 254 |
4 |
|
−4 |
4 |
|
= |
|
=19165,04 см = 1,9165 |
10 |
|
м . |
|
64 |
64 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Выполняем расчет балки на жесткость, для чего необходимо построить эпюру прогибов балки. При построении эпюры прогибов будем использовать уравнение метода начальных параметров:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
6 |
2 |
|
|
6 |
4 |
|
|
6 |
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
EJ x v(i ) = EJ x v(0 ) |
|
6 |
+ EJ xθ(0 )z(i ) |
|
6 |
+ |
VA z(i ) |
|
|
− |
M A z(i ) |
|
|
− |
qz(i ) |
|
|
+ |
M (z(i ) −3) |
|
|
+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
6 |
2 |
24 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
F (z(i ) −5)3 |
|
6 |
+ |
q(z(i ) −5)4 |
|
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
|
|
5 |
|
|
24 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При использовании записанного уравнения следует помнить, что в выбранной системе координат положительные изгибающие моменты создают положительные вертикальные перемещения.
Начальные параметры v(0) и θ(0) определяем из условия закрепления
балки. В точке А расположено защемление, препятствующее вертикальным и угловым перемещениям балки. Следовательно, начальные параметры рассматриваемой задачи v(0 ) = 0 и θ(0 ) = 0 .
Жесткость при изгибе подобранного круглого поперечного сечения балки равна EJ x =1 1010 1,9165 10−4 =1916,5 кНм2. Используя найденные
значения начальных параметров, определяем ординаты эпюры прогибов в расчетных сечениях:
−сечение 1: z(1) =1,5 м; EJ x v(1) = 5 16,53 − 7,521,52 − 3 241,54 = −5,695 кНм2;
v(1) = −19165,695,5 = −2,972 10−3 м;
−сечение 2: x(2 ) = 3м; EJ x v(2 ) = 5 633 − 7,52 32 − 32434 = −21,375 кНм2;
4
v(2 ) = |
−21,375 |
|
= −11,153 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1916,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− сечение 3: x(3) |
= 4 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
EJ x v(3) = |
5 43 |
|
|
|
|
7,5 42 |
|
|
|
3 44 |
|
20 (4 −3)2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −28,667 кНм ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
v(3) = −28,667 |
= −14,958 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1916,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− сечение 4: x(4 ) |
=5м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 (5 −3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
EJ x v(4 ) = |
5 53 |
− |
|
7,5 52 |
− |
3 54 |
|
+ |
|
|
= −27,708кНм2; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
v(4 ) = −27,708 |
= −14,458 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1916,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− сечение 5: x(5) |
|
=5,5м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 (5,5 −3)2 |
|
10 (5,5 −5)3 |
|
3 (5,5 −5)4 |
|
||||||||||||||||||||||
EJ x v(5) = |
5 5,53 |
|
− |
7,5 5,52 |
− |
3 5,54 |
+ |
+ |
+ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
24 |
|
||||||||||||||
= −26,458 кНм2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
v(5) = − 26,458 |
|
= −13,806 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1916,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− сечение 6: x(6) |
|
= 6 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 (6 −3)2 |
|
10 (6 −5)3 |
|
3 (6 −5)4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
EJ x v(6 ) = |
5 63 |
|
− |
|
7,5 62 |
− |
|
3 64 |
|
+ |
+ |
+ |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
24 |
|
|
||||||||||||||
= −25,208 кНм2; |
v(6 ) = v(В) |
|
= |
−25,208 |
|
−13,153 10−3 м. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1916,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[f ]≥ vmax . Как следует |
||||||||||||
|
Проверка жесткости балки. Условие жесткости: |
из эпюры прогибов балки, максимальное вертикальное перемещение равно vmax =1,446 см. Для деревянных конструкций величина допускаемого прогиба
определяется из следующего условия: |
|
|
|
||
f |
= |
1 |
, |
||
|
|
|
|
||
|
300 |
||||
l |
|
|
здесь l − вылет консоли балки.
Следовательно, величина допускаемого прогиба балки равна
[f ]= 300l = 3006,0 = 2 10−2 м = 2 см.
Условие жесткости балки vmax =1,446 см < [f ]=2 см выполняется. Та-
ким образом, принятые размеры поперечного сечения удовлетворяют условиям прочности и жесткости.
5
2. РАСЧЕТ СТАЛЬНОЙ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ
Определяем величину опорных реакций заданной балки:
∑mA = 0 VB = −10 +4 42 / 2 −10 2 −20 1−20 = −4,5кН; 4
∑mB = 0; VA = 20 +4 42 / 2 −10 2 +20 5 −10 = 30,5 кН; 4
Проверка:
∑y = 0 ; VA −VB − F1 + F2 −q 4 = 0 ; 30,5 −4,5 −20 +10 −4 4 = 0, следователь-
но, опорные реакции найдены верно.
Используя полученные значения опорных реакций, строим эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов M x . Исходя из построенных эпюр,
определяем положение опасных сечений трех типов:
−сечение первого типа соответствует точке, где возникает максимальный по модулю изгибающий момент. В этом сечении действуют максимальные нормальные напряжения;
−сечение второго типа соответствует точке, где возникает максимальная по модулю поперечная сила. В этом сечении будут действуют максимальные касательные напряжения;
−сечение третьего типа соответствует точке, где возникают значительные изгибающие моменты и соответствующие им поперечные силы. В этом сечении строят эпюры распределения главных напря-
жений по его высоте.
В рассматриваемом примере сечения всех трех типов находятся в точке, расположенной на бесконечно малом расстоянии левее опоры А. Величина внутренних усилий в этих сечениях равна: Мх = −20 кНм и Qy = −20 кН.
Условие прочности при изгибе по максимальным нормальным напряжениям:
σmax = Mmax ≤ R =160МПа.
Wx
Вычисляем требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки:
|
|
|
M x ,max |
|
|
|
20 103 |
|
−6 |
|
3 |
=125 |
3 |
|||||||
Wnec |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
=125 10 |
|
м |
|
см . |
|||
R |
|
|
|
106 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Определяем размеры поперечных сечений заданных типов: |
||||||||||||||||||||
− круглое поперечное сечение: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Wx = |
πd 3 |
dnec |
≥ |
|
32W |
nec |
32 125 |
=10,84 см, принимаем d =109 мм |
||||||||||||
32 |
3 |
|
|
π |
= 3 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
|
|
|
|
||||
|
πd |
2 |
|
3,14 10,9 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
A = |
|
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 93,27 см ; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6
|
I |
II |
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
F1=20кН |
|
М1=10кНм |
|
q=4кН/м |
|
М2=20кНм |
|||||
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
8 |
z |
|
A |
|
|
|
F2=10кН |
|
B |
7 |
|
|
|
|
|
VA=30,5кН |
|
|
VB=4,5кН |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 м |
|
2 м |
|
2 м |
|
1 м |
|
|
||
y |
10,5 |
|
|
12,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
4,5 |
|
Эп. Qy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
0,0 |
(кН) |
20,0 |
|
|
20,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эп. Mх |
|
|
|
|
|
3,0 |
|
|
|
|
|
(кН) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20,0 |
|
|
20,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,89 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,97 |
|
|
|
θ0 |
|
|
0,0 |
|
|
|
0,0 |
|
|
Эп. v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0,68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(мм) |
v |
|
1,58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка перегиба |
|
3,88 |
4,49 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1. Эпюры внутренних силовых факторов и перемещений заданной |
|||||||||||
|
|
|
|
|
стальной балки |
|
|
|
|
|
7
− квадратное поперечное сечение:
Wx = а63 anec ≥ 3 6Wnec = 3 6 125 = 9,09 см, принимаем a = 91мм
A = а2 = 9,12 = 82,81см2;
− прямоугольное поперечное сечение с соотношением сторон h / b = 2 / 1:
W |
|
|
bh2 |
|
4b3 |
b ≥ 3 |
6W |
|
6 125 |
= 5,72 |
см, |
принимаем |
b =58мм |
x |
= |
|
= |
|
nec |
= 3 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
6 |
|
6 |
nec |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h= 2 58 =116 мм; A = ah = 5,8 11,6 = 67,28см2;
−прямоугольное поперечное сечение с соотношением сторон h / b =3 / 1:
|
|
|
bh2 |
|
9b3 |
|
6W |
|
6 |
125 |
|
|
|
W |
x |
= |
|
= |
|
b ≥ 3 |
nec |
= 3 |
|
|
= 4,37 см, |
принимаем |
b = 44 мм |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
|
6 |
nec |
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h= 3 44 =132 мм; A = ah = 4,4 13,2 = 58,08см2;
−сечение, составленное из двух швеллеров, сложенных полками:
Wx шв ≥ |
Wnec |
= |
125 = 62,5 см3 |
, по сортаменту прокатной стали (ГОСТ 8240-89) |
||||||||
|
||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
W |
= 70,2 см3 |
|
А |
= 31,2 |
см2. Общая площадь |
||
принимаем швеллер №14 с |
и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
шв |
|
|
шв |
|
|
|
составного сечения А= 31,2 2 = 62,4 см2. |
|
|
|
|
|
|||||||
− двутавровое сечение:W |
x |
≥W |
=125 см3 |
, |
по сортаменту прокатной стали |
|||||||
|
|
|
|
|
nec |
|
|
с W |
|
=143 |
см3, А = 23,4 см2, |
|
(ГОСТ 8239-89) принимаем двутавр №18 |
х |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
Sx =81,4 см3, |
J x =1290 см4, h =180мм, b =90 мм, d =5,1мм и t =8,1 мм. |
Сравнивая площади подобранных сечений приходим к выводу, что наиболее рациональным по расходу материала является двутавровое сечения, которое обладает минимальной площадью. Указанное сечение принимаем для дальнейших расчетов.
Используя формулу Журавского, проверяем подобранное двутавровое сечение по максимальным касательным напряжениям:
τ |
max |
= |
Qmax Sхотс,max |
= |
|
20 103 81,4 10−6 |
= 24,75 |
МПа< R |
s |
=100 |
МПа, следова- |
||||
J |
x |
b |
1290 10−8 |
5,1 10−3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, условие прочности сечения по максимальным касательным напряжениям выполняется.
Строим эпюры распределения нормальных, касательных и главных напряжений по высоте сечения по формулам:
|
M x y(i ) |
; τ(i ) = |
Q Sx |
(i ) |
; |
|
σ(i ) |
|
1 |
2 |
2 |
|||
σ(i ) = |
|
|
|
|
|
|
σ1,3(i ) = |
|
± |
|
σ(i ) +4τ(i ). |
|||
J |
x |
J |
x |
b |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
(i ) |
|
|
|
|
|
|
|
Построения ведем для опасного сечения третьего типа, для которого Мх = −20 кНм и Qy = −20 кН. Напряжения вычисляем в точках 1-7 двутавро-
вого сечения (рис. 2).
8
Точка 1: y(1) |
= − |
h |
= − |
18 |
= −9 см; σ |
(1) = |
(−20) 103 |
(−9) 10−2 |
|||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
1290 |
10−8 |
=139,53МПа; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Sхотс(1) = 0 ; τ(1) |
= 0 ; σ1,3(1) |
= 139,53 ± |
1 |
139,532 + 4 02 |
= 69,765 ±69,765 МПа; |
||||||||||||||||||||
σ1(1) =139,53 МПа; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
σ3(1) = 0 МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Точка 2: y(2) |
h |
−t |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= − |
|
|
= − |
2 |
−0,81 = −8,19 см; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(− |
20) 103 (−8,19) 10−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
σ(2) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=126,98 МПа; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1290 10−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
t |
|
|
|
18 |
|
0,81 |
|
|
||||||||||
отс |
|
|
отс |
отс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
Sх(2) = А(2) |
ус(3) |
= b t |
|
2 |
− |
|
|
|
|
= 9 0,81 |
− |
2 |
|
= 62,66 |
см . |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
Рассматриваем сечение со стороны полки: b(′2) = b = 90 мм; |
|
||||||||||||||||||||||||
τ(′2) = |
(−20) 103 62,66 10−6 |
= −1,08 МПа; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1290 10−8 9 10−2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ1′,3(2) = 1262,98 ± 12 126,982 +4 1,082 = 63,49 ±63,50 МПа;
σ1′(2) =126,99 МПа; σ3′(2) = −0,01МПа.
Рассматриваем сечение со стороны стенки: b(′′2) = d = 5,1мм;
τ(′′2) = (−20) 103 862,66 103−6 = −19,05МПа; 1290 10− 5,1 10−
σ1′′,3(2) = 1262,98 ± 12 126,982 + 4 19,052 = 63,49 ±66,29 МПа;
σ1′′(2) =129,78 МПа; σ3′′(2) = −2,80МПа.
Точка 3: y(3) = − |
h |
= − |
18 |
= −4,5 см; σ(3) |
= |
(−20) 103 (−4,5) 10−2 |
= 69,77 МПа; |
|||||||||||
4 |
4 |
|
|
|
1290 10−8 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(3) |
−t |
|
|
|
|
Sотс |
= Аотс уотс |
= Sотс |
+(y |
(3) |
−t) d h |
− |
|
|
|
−t |
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
х(3) |
(3) |
с(3) |
|
х(2) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 62,66 |
+(4,5 |
18 |
− |
4,5 −0,81 |
|
= 74,46 |
3 |
|
−0,81) 0,51 |
2 |
2 |
−0,81 |
см . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
b(3) = d = 5,1мм; τ(3) = (−20) 103 74,46 10−6 = −22,64 МПа; 1290 10−8 5,1 10−2
σ1,3(3) = 692,77 ± 12 69,772 +4 22,742 = 34,89 ± 41,59 МПа;
σ1(3) = 76,48 МПа; σ3(3) = −6,70 МПа.
Точка 4: y(4) = 0 см; σ(4) = 0 МПа; Sхотс(4) = Sxотс,max =81,4 см3. b(4) = d = 5,1мм;
9
τ(4) = (−20) 103 81,4 10−6 = −24,75 МПа; 1290 10−8 5,1 10−2
σ1,3(4) = 02 ± 12 02 + 4 24,752 = 0 ± 24,75 МПа;
σ1(4) = 24,75 МПа; σ3(4) = −24,75МПа.
Точка 7: y(7) = |
h |
= |
18 |
= 9 см; σ(7) = |
(−20) 103 9 10−2 |
= −139,53МПа; |
|||||||||||||
2 |
2 |
1290 10−8 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
139,53 ± |
|
||||||||||
Sхотс(7) = 0; τ(7) = 0; σ1,3(7) = − |
1 139,532 |
+ 4 02 |
= −69,765 ±69,765 МПа; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
σ1(7) = 0 МПа;σ3(7) = −139,53МПа. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Точка 6: y(6) = h |
−t = |
18 |
−0,81 =8,19 см; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(6) = |
(−20) 103 |
8,19 10−2 |
= −126,98 МПа; |
|
|
|
|||||||||||||
1290 |
10−8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
h |
|
|
|
t |
|
|
18 |
|
0,81 |
|
|||||||
отс |
|
отс |
отс |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
Sх(6) = А(6) |
ус |
(6) |
= b t |
|
− |
|
|
= 9 |
0,81 |
|
− |
= 62,66 см . |
|||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
Рассматриваем сечение со стороны полки: b(′6) = b = 90 мм; |
|||||||||||||||||||
τ(′6) = |
(−20) 103 |
62,66 10−6 |
|
= −1,08 МПа; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1290 |
10−8 9 10− |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ1′,3(6) = −1262,98 ± 12 126,982 + 4 1,082 = −63,49 ±63,50 МПа;
σ1′(6) = 0,01МПа: σ3′(6) = −126,99 МПа.
Рассматриваем сечение со стороны стенки: b(′′6) = d = 5,1мм;
τ(′′6) = (−20) 103 862,66 103−6 = −19,05 МПа; 1290 10− 5,1 10−
σ1′′,3(5) = −1262,98 ± 12 126,982 +4 19,052 = −63,49 ±66,29 МПа;
σ1′′(6) = 2,80 МПа; σ3′′(6) = −129,78МПа.
Точка 5: y(5) = |
h |
= |
18 |
= |
4,5 см; σ(5) = |
(− |
20) 103 4,5 10−2 |
||||||||||||
4 |
4 |
|
|
|
1290 10−8 |
|
= −69,77 МПа; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(5) |
−t |
|
|
|
Sотс |
= Аотс уотс |
= Sотс |
+(y |
(5) |
−t) d h |
− |
|
|
|
−t |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
х(5) |
(5) |
с(5) |
|
х |
(6) |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 62,66 |
+(4,5 |
18 |
− |
4,5 −0,81 |
|
= 74,46 |
3 |
|
−0,81) 0,51 |
2 |
2 |
−0,81 |
см . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
10