матан сука

1. теорема о существовании точных граней ограниченного множества

Теорема. ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Выполнение неравенства означает, что число ограничивает сверху множество , а выполнение неравенства для всех , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество , означает, что число является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества : .

-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.

Если теперь - непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству все числа, ограничивающие снизу множество .

Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства неперрывности действительных чисел, и имеет место неравенство .

Это означает, что Теорема доказана.

2. леммы о бесконечно малых

ЛЕММА №1: Для того чтобы переменная имела своим пределом постоянное число a, необходимо и достаточно выполнения равенства:

Требуется доказать, что:

Предел логарифмической функции

где основание a > 0.

4 лемма о вложенных отрезках

Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одна точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:

то — единственная общая точка всех отрезков данной системы.

прямой левее множества правых концов отрезков , поскольку

В силу аксиомы непрерывности, существует точка , разделяющая эти два множества, то есть

в частности

Последнее неравенство означает, что — общая точка всех отрезков данной системы.

2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки и , принадлежащие всем отрезкам системы:

Тогда для всех номеров выполняются неравенства:

Противоречие. Лемма доказана полностью.

5 Лемма Больцоно-Вейерштрасса

Теорема. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x.

Замечание 1. Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

В самом деле, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Замечание 2. Пусть {xn} - ограниченная последовательность, элементы которой находятся в сегменте [a, b]. Тогда предел с любой сходящейся

подпоследовательности также находится на сегменте [a, b].

6 критерий коши

Теорема ( Критерий Коши ). Для того, чтобы последовательноссходилась,ть необходимо достаточно чтобыбылаонафундаментальной.

Доказательство.

Необходимость. Пусть сходится

Вотрезке-A][A,содержатся все элементы последовательносограниченнати,т. ..

Вследствие теоремы -БольцаноВейерштрасса () < ().

в силу произвольности

7 теорема о пределе монотонной последовательности

Определение.

Последовательность {xn} называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 xn.

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

равный sup{xn} ( inf{xn} ).

2 Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный + ( - ).

Теорема:

1.Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2.Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху,

то .

Выбрасывая лишнее получим, что или , что и говорит о том, что .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что.

Но . Значит, и поэтому можно записать . Выбрасывая в этом неравенстве , получим окончательно

что и говорит о том, что.

1 способы задания функции

Различают 4 способа задания фу нкции:

1. т абличный Состоит в простом перечислении элементов фу нкции f, т .е. при эт ом способе у казывается значение аргумента x и соответствующе значение функции y =f(x)

Удобен, когда f --конечное множество, когда же f бесконечное, указывается лишь избранные пары

(х ,у ).

Достоинства: точность, быстрота, по т аблице значений легко найти нужное значение фу нкции.

Недостатки: неполнота, отсутствие наглядности.

2. аналит ический (формулы) Явл яется наиболее важным для МА (мат.анализа), поскольку мет оды МА (дифференциального, интегрального счисления) предполагают этот способ задания.

Одна и т а ж е фу нкция может быть задана различными формулами: y= sin(x) y=√1−

cos2(x) Иногда в разл ичных частях своих областей определяемая функция может быть задана различными формулами f(x)={f1(x),x D1 fn(x),x Dn nk=1Dk=D(f) . Част о при эт ом способе

задания фу нкции область определения не у казывается, т огда под областью определения понимается естественная область определения, т .е. множество всех значений x при кот орых фу нкция принимает действительное значение.

Част ным случаем аналитического способа задания функции является задание фу нкции

у равнением вида F(x,y)=0 (1) Если это у равнение обладает свойством, что x Д сопоставляется единст венное y, т акое, что F(x,y)=0, т о говорят, что уравнение (1) на Д неявно задает фу нкцию.

Еще один част ный случай задания фу нкции -- параметрический, при эт ом каждая пара (x,y) f задает ся с помощью пары фу нкций x=ϕ(t),y=ψ(t) где t M .

4 предел функции в точке. Определение коши

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих

условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

5 предел функции в точке. Основные свойства

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пре делов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

6 второй замечательный предел

Второй замечательный предел имеет вид:

или в другой записи

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

7 Теорема о пределе монотонной функции.

Предел монотонной функции

Определение. Функция называется

-монотонно возрастающей, если из

-строго монотонно возрастающей, если из

-монотонно убывающей, если из

-строго монотонно убывающей, если из .

Докажем одну из возможных здесь теорем.

Теорема. Если монотонно возрастает и ограниченна сверху при , то существует конечный предел слева.

Доказательство. Рассмотрим множество значений функции при. По

условию теоремы, это множество ограниченно сверху, т.е. . По теореме о существовании супремума отсюда следует, что существует

конечный .

Покажем, что . По свойствам супремума