§6 Движение свободной частицы
Частица называется свободной, если на нее не действуют силовые поля, т.е. U = 0.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае:
Его решение: Ψ(x)=Ае ikx , где А = const, k = const
И собственные значения энергии:
Т.к. k может принимать любые значения, то, следовательно, и Е принимает любые значения, т.е. энергетический спектр будет сплошным.
Временная волновая функция
(-
уравнение волны)
т.е. представляет плоскую монохромную волну де Бройля.
§7 Частица в “потенциальной яме” прямоугольной формы.
Квантование энергии.
Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим что, частица может двигаться только вдоль оси x. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками x = 0, и x = ?. Потенциальная энергия U имеет вид:
Уравнение Шредингера для стационарных состояний для одномерной задачи
За пределы потенциальной ямы частица попасть не сможет, поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна 0.Следовательно, и Ψ за пределами ямы равна 0 .Из условий непрерывности следует, что Ψ = 0 и на границах ямы т.е.
Ψ(0) = Ψ(?) = 0
В пределах ямы (0 x l) U = 0 и уравнение Шредингера.
введя 
получим
Общее решение
;
из граничных условий следует
(0) = 0,
Таким образом
В = 0
Следовательно,
Из граничного условия
Следует
Тогда
Энергия Еn частицы в "потенциальной яме" с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Еnназываются уровнями энергии, а число n, определяющее энергические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Т.е. частицы в "потенциальной яме" могут находиться только на определенном энергетическом уровне Еn (или находятся в квантовом состоянии n)
Собственные
функции: 
А найдем из усилия нормировки
-
плотность вероятности. Из рис. видно,
что плотность вероятности меняется в
зависимости от n:
при n =
1 частица, скорее всего, будет посередине
ямы, но не на краях, при n =
2 - будет или в левой или в правой половине,
но не посередине ямы и не на краях, и
т.д. Т.е нельзя говорить о траектории
движения частицы.
Энергетический интервал между соседними уровнями энергии:
При n = 1 имеет наименьшую энергию отличную от нуля
Наличие
минимума энергии следует из соотношения
неопределенностей, т.к.
,
C ростом n расстояние между уровнями уменьшается и при n Еn практически непрерывны, т.е. дискретность сглаживается, т.е. выполняется принцип соответствия Бора: при больших значениях квантовых чисел законы квантовой механики переходят в законы классической физики.
Общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория является развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую, указывая границы её применимости.