lineynaya_algebra_Yudina
.pdf. В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются
|
отношением |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Отношение |
|
|
половины расстояния между фокусами к большой полуоси |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
эллипса |
|
|
|
|
эксцентриситетом |
эллипса |
|
|
|
|
|
|
е |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
называется |
|
|
и |
обознача тся |
буквой |
||||||||||||||||||||
|
|
(«эпсилон»): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
т |
|
ка |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем 0 < < 1, так как 0 < c < а. |
С учетом равенства (4.6) ф рмулу (4.6) |
||||||||||||||||||||||||
|
можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
и |
|
т.е. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет |
||||||||||||||||||||||||||
менее сплющенным; |
|
если |
положить |
|
и |
|
эллипс превращается в |
||||||||||||||||||||
|
= 0, то |
||||||||||||||||||||||||||
окружность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. рис. |
||
|
|
Пусть М(х;у) произвольная точка эллипса с фокусами F1 и F2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
4.5). Длины отрезк в |
|
|
называютсян |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
фокальными радиусами точки M Очевидно, |
|||||||||||||||||
|
|
F1 M=r1 и F2М=r2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= 2а. Имеют место формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
называются |
директрисами |
|
эллипса. |
|
Значение |
||||||||||||
|
|
Прямые |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
директрисы |
эллипса |
|
выявляется |
|
следующим |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утверждениемт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Т ор ма 4.1. Если r — расстояние от произвольной |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки эллипса до какого-нибудь фокуса. d - расстояние |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
от этой же точки до соответствующей этому фокусу |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
директрисы, то отношение |
|
|
есть постоянная величина, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
равная эксцентриситету эллипса: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Из равенства (4.7) следует, что а > Ь. Если же а < b. |
|
|
|
|
|
То уравнение (4.5) определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Оу, а малая ось 2а — на оси Ох (см. рис. 4.6). Фокусы такого эллипса
находятся в точках F1 (0; с) и F2(0; -с), где .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипербола |
|
|
|
|
|
|
т |
ка |
|||
|
|
|
|
|
|
Каноническое уравнение гиперболы |
о |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Гиперболой называется множество всех |
точек |
|
|
|
|
|
модуль |
||||||||||||||
|
|
плоскос и, е |
|||||||||||||||||||
разности расстояний от каждой из которых до двух данных т чек этой |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
плоскости, называемых фокусами, есть величина пост янная, меньшая, чем |
|||||||||||||||||||||
расстояние между фокусами. |
|
Обозначим фокусы через F1 F2. расстояние |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
между ними через 2с, а модуль разности расстоян й от каждой точки |
|||||||||||||||||||||
гиперболы до фокусов через 2а. По определению 2 |
б |
2с. т. е. a < с. |
|
||||||||||||||||||
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Оху так, |
|||||||||||||||||||||
чтобы фокусы F1 |
|
и F2 |
лежали на оси Ох, |
а начало координат совпало с |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
удут иметь координаты |
||||
серединой отрезка F1 F2 (см. рис. 4.7). Тогда фокусы |
|
||||||||||||||||||||
F1(-с;0) и F2(с;0). Пусть М(х;у) - произвольная точка гиперболы. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
Рис. 4.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
согласно |
|
|
|
|
|
гиперболы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
После |
упрощений, как |
это |
|
было |
сделано |
при |
выводе |
уравнения |
эллипса, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим каноническое урав е ие гиперболы |
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
н |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
р |
(4.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Гипербола есть линия второго порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
Исследование формы гиперболы по ее уравнению |
|
|||||||||||||||||
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением. |
|||||||||||||||||||||
|
е |
|
|
|
(4.7) |
содержит |
х и у |
только |
в |
|
четных |
степенях. |
|||||||||
1).Уравнение |
|
|
Сл довательно, гипербола симметрична относительно осей Ох и Оу, а также |
|||
|
л |
|
|
относительно точки О(0; 0), которую называют центром гиперболы. |
|||
Э |
2).Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив у =0 |
||
|
72 |
гиперболы с осью Ох: |
|
в |
уравнении (4.7), находим две точки пересечения |
||
|
|
. Положив х = 0 в (4.7), получаем |
, чего быть не |
может. Следовательно, гипербола ось Оу не пересекает.
|
Точки |
|
|
|
|
|
|
|
называются вершинами гиперболы, а отрезок |
||||||||||||
|
|
— действительной осью, отрезок |
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
действительной |
|||||||||||||||
полуосью гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||
|
Отрезок |
|
|
|
|
|
|
, |
соединяющий точки |
|
|
|
е |
|
|||||||
называется мнимой осью, число b — мнимой полуосью. Прямоугольник со |
|||||||||||||||||||||
сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
о |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис.4.8 |
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3).Из уравнения (4.7) следует, что уменьшаемоеи |
|
|
не меньше единицы, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. что |
|
|
|
или |
|
|
. Это означаетб, что точки гиперболы расположены |
||||||||||||||
справа от прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(правая ветвь гиперболы) и слева от прямой |
|
|
(левая ветвь |
|||||||||||||||||
гиперболы) |
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4). Из |
|
уравнения |
(4.7) гиперболы видно, что когда |
|
возрастает, то и |
|||||||||||||||
|
возрастает. |
|
|
н |
|
того, |
что разность |
|
|
|
сохраняет |
||||||||||
|
Это следует из |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянное значение, рав ое единице. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Из сказанного следует, |
что |
гипербола имеет форму, |
изображенную на |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рисунке 4.8 (кривая, с ст ящая из двух неограниченных ветвей). |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Прямая |
|
b |
называется |
асимптотой |
неограниченной |
кривой К, если |
||||||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расстояние d от точки M до этой кривой К до этой прямой стремится к нулю |
|||||||||||||||||||||
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при неограниченном удалении точки M вдоль кривой К от начала координат. |
|||||||||||||||||||||
Гипербола |
|
|
|
|
|
имеет две ассимтоты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При построениие |
гиперболы (4.9) целесообразно сначала построить основной |
|
|||||||||||||||||||
прямоуго ьник гиперболы (см. рис. 4.9), провести прямые, проходящие через |
|
||||||||||||||||||||
противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и |
|
||||||||||||||||||||
отметить вершины |
|
|
гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси |
||
|
|
ка |
координат Гипербола (4.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны |
||
(а=b). Ее каноническое уравнение |
|
|
х2-у2 = а2 |
(4.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
Асимптоты равносторонней гиперболы |
|||||||||
|
|
имеют уравнения у = х и у = - x и, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
следовательно, являются бисс ктрисами |
|||||||||
|
|
координатных углов. |
и |
о |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рис. 4.9 |
|
|
|
б |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются |
|||||||||||
асимптотами, будет иметь вид |
. |
|
и |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эксцентриситетом гиперболы |
(4.7) называется отношение расстояния |
||||||||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
между фокусами к величине действительной оси г перболы, обозначается : |
|||||||||||
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы: |
|||||||||||
> 1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. |
|
|
|
|
|
||||||
Прямые |
называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы |
> 1, то < а. Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Директрисы гиперболы имеютн |
|
то же свойство |
, |
что и директрисы |
|||||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
х2 |
|
y2 |
|
|
|
|
эллипса. Кривая, пределяемаян |
уравнением |
− |
= 1, также есть гипербола, |
||||||||||||
b2 |
a2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а — на |
|||||||||||||||
оси Ох. Очевидно, ч о гиперболы |
|
|
и |
|
имеют общие |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными. |
|
|
|||||||||||||
|
л |
е |
|
|
|
|
|
Парабола |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Э |
|
|
|
|
Каноническое уравнение параболы |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
|
каждая из которых |
|||
Парабо ой называется множество всех точек плоскости, |
одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса Р до директрисы называется параметром параболы и обозначается через р (р > 0).
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F , а начато координа
|
|
|
у |
|
|
|
е |
ка |
|
|
N |
|
M(x;y) |
|
|
т |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|||
|
|
|
0 |
|
х |
|
|||
|
μ |
|
x æ p |
|
|||||
- |
|
ö |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
2 |
|
Fç |
|
;0÷ |
|
|
|||
|
|
|
|||||||
|
è 2 |
ø |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Рис. 4.10. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположим посередине между фокусом и директрисой (см.рис. 4.10). В |
|||||||||||||||||||
выбранной системе фокус F имеет |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|||||||||||
координаты |
|
|
, |
|
а уравнение |
директрисы имеет вид |
|
, или |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
л |
|
|
|
|
Пусть М(х:у) — произвольная точка параболы. Соединим точку M с F. |
||||||||||||||||||
Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
параболы MF=MN. По формуле расстояния между двумя точками находим: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Возведя обе части урав е ия в квадрат, получим |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнение |
(4.11) |
|
называется каноническим уравнением параболы. Пара- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бола есть линия в о ого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследование формы параболы по ее |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
е |
к |
т |
|
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. В уравнении (4.11) переменная у входит в |
|
|
|
|
||||||||||||||
четной степени, значит, парабола симметрична |
|
|
|
|
|||||||||||||||
относительнол |
оси Ох; |
|
ось Ох является осью сим- |
|
|
|
|
||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
метрии параболы.
2. Так как р > 0, то из (4.11) |
следует, что x 0. Следовательно, парабола |
|||||||
расположена справа от оси Оу. |
|
|
|
|
ка |
|||
|
|
|
|
|
||||
3. |
При х=0 имеем у=0. |
Следовательно, парабола проходит через н чато |
||||||
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно |
|||||||
5. |
возрастает. |
Парабола |
|
имеет |
вид (форму), |
|
е |
|
изображенный на |
рисунке |
61. |
Точка О(0; |
0) называется |
т |
|
|
вершиной параболы, отрезок FM=r называется фокальным радиусом точки M.
является прямоугольная система координат. Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Она задается
|
Уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
акже определяют |
|||
параболы, они изображены (на рисунке 4.12.) |
|
|
|
и |
о |
|||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
л |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
||
|
|
|
|
F |
|
0 x |
|
|
|
F |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
||||
|
|
Рис. 4.12 |
|
|
|
|
|
Рис. 4.13 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
б |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
н |
н |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 4.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где |
|
|
Можно показать, что график квадратного трехчлена |
|
|
|||||||||||||
|
|
любые действительные числа, представляет собой параболу со |
||||||||||||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смещенной вершиной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
к |
т |
|
§4.5 Полярная система координат |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подесистемой координат на плоскости понимают способ, позволяющий |
|||||||||||||||
чис енно описать положение точки на плоскости. Одной из таких систем |
||||||||||||||||
Э |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
точкой О, называемой полюсом, лучом Оρ , называемым полярной осью и |
|||
единичным вектором e |
на оси |
Оρ . |
ка |
|
Положение точки M задается двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом ϕ , образованным поворотом оси Оρ до совмещения с точкой M
(рис. 5.1). Числа r и ϕ называются полярными координатами точки M, пишут
M(r ;ϕ ), r - это полярный радиус, ϕ - полярный угол, где |
−π < ϕ ≤ π (или |
||||||||||||||||
0 < ϕ ≤ 2π ), а |
0 ≤ r < ∞. В этом случае каждой точке плоскос и (кроме О) |
||||||||||||||||
соответствует единственная пара чисел r и ϕ , и обратно. |
|
о |
т |
е |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|||
|
|
|
|
|
r |
М |
|
|
|
|
r |
|
и |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
r |
e |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ϕ |
|
|
j |
ir |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
0 |
e |
|
|
|
|
|
N ρ |
x |
|
|
|||||||
|
|
Р |
O |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 5.2 |
Р с. 5.2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. |
б Совместим полюс О с началом прямоугольнойая системы координат, а полярную
ось – с положительной полуосью Ох (Рис.5.2). Пусть x и y – прямоугольные
координаты точки M, а r и ϕ – ее пол рные.
На рис. 5.1 видно, что
ìx = r cosϕ;
í
î
y = r sinϕ.
Полярные координаты точки M выражаются |
||||||
о |
н |
н |
|
|
|
|
ìr = |
|
|
|
|||
x2 + y2 |
; |
|||||
ï |
|
|
|
|
||
|
í |
|
y |
|
|
|
|
ïtgϕ = |
. |
||||
|
|
|||||
|
î |
|
x |
Определяя величинуϕ , нужно установить четверть, в которой лежит искомый |
||||||||||||||||||||||||
угол, и учи ыва ь,рч о −π < ϕ ≤ π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 5.1. |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дана точка |
|
A(-2;2 |
3) . Найти полярные координаты точки A. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Находим |
|
r = x2 + y2 = 4 +12 = 4 ; tgϕ = − |
= − 3 . Т.к. точка А находится |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
во второй четверти то ϕ = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = |
2π |
, т.е. |
A(4; |
2π |
) |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||
Итак, полярные координаты точки А: r=4, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||||||
Дана точка B( |
2;− π4 ) . Найти ее прямоугольные координаты. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Находим x и y |
по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|||||||||||||||
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ïx = r cosϕ = |
|
|
2 cos(- |
2 |
|
= 1; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ïy = r sinϕ = |
|
2 sin(- |
|
|
) = |
2(- |
|
|
|
|
|
) = -1. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Итак, прямоугольные координаты точки B есть x=1, y=-1, т.е. B(1;1). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
т |
|
|
Пример 5.3. |
(x −1) |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Уравнение окружности |
|
|
= 1 записать в полярных коорд натах. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Преобразуем уравнение окружности (x −1)2 + y2 = 1; x2 |
− 2x +1+ y2 = 1 |
или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
ìx = r cosϕ; |
||||
|
|
|
|
− 2x = 0 . Подставим в уравнение вместо x и y формулыл |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ y |
2 |
í |
|
|
ϕ. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
îy = r sin |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим r 2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ − 2r cosϕ = 0 ; или r 2 − 2r cosϕ = 0 |
; r = 2cosϕ . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
r = 2cosϕ . |
|
|
|
|||
Уравнение окружности в полярных коорд натах будет |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
§4.6 Задачи для самостоятельной работы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1. Составить уравнение прямой,аяпроходящей через точку А(1;1): а) под углом 450 к оси ох; б) параллельноноси оу; в) параллельно прямой 2х-3у+5=0; г) перпендикулярно прямой х-2у+3=0.
4.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5;4) и В(-3;2). Записать уравнение этой прямой в отрезках и построить её.
4.3. Составить уравне ия двух прямых, проходящих через точку А(-2;3), одна из которых параллель а прямой 3х-2у+1=0, а другая перпендикулярна той же
прямой. |
|
|
|
|
н |
||
4.4. Дан треугольник с вершинами А(-3;1), В(2;7), С(6;-1). Составить уравнения |
|||||||
сторон треугольника, овычислить его внутренние углы. Написать уравнения |
|||||||
высоты и медианы, п оведённых из вершины В. |
|||||||
4.5. |
При каких значениях α следующие пары прямых: а) параллельны; б) |
||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
перпенди улярны? |
|
||||||
1) |
|
|
|
|
т |
|
|
αх-4у+1=0 и -2х+у+2=0; |
|||||||
2) |
4х+у-6=0 и 3х+αу-2=0; |
|
|||||
3) |
|
|
|
к |
|
|
|
х-αу+3=0 и 2х-у+3=0. |
|
||||||
|
|
л |
е |
|
|
|
|
4.6. Найти расстояние между параллельными прямыми 2х+у-6=0 и 2х+у+2=0. |
|||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
78 |
4.7. Определить вид и расположение кривой: |
|||||||
1) |
х2+у2+4у-2х-9=0; |
|
|||||
2) |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
х +2у -4х+16у=0; |
|
||||||
3) |
16х2-64х-9у2-18у+199=0; |
4) |
4х2-40х+9у2+3у+100=0; |
|
|
5) |
х2+2х+2у-1=0. |
ка |
|
4.8. Найти центр и радиус окружности 3х2+3у2-6х+8у=0. |
|||
|
4.9. Составить уравнение окружности с радиусом 10, проходящей через точки
А(8;2) и В(10;0). |
|
|
|
|
|
е |
|
4.10. Составить уравнение окружности, проходящей через точки пересечения |
|||||||
окружности х2+у2+4х-4у=0 с прямой х+у=0 и точку А(4;4). |
|
|
|
||||
4.11. Определить полуоси, координаты фокусов и эксцентрисит т |
эллипса |
||||||
9х2+4у2-36=0. |
|
|
|
|
|
|
|
4.12. Составить уравнение эллипса, если его большая полуось |
равна 12, а |
||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
эксцентриситет 0,8. Найти расстояние между фокусами эллипса. т |
|
|
|||||
4.13. Составить уравнение эллипса, зная, что: |
|
|
л |
|
|
|
|
а) его большая полуось 5 и фокусы находятся в точках F1(-6;0);оF2(10;0); |
Фокусы |
||||||
б) расстояние между |
фокусами 24 и меньшая полуось равна |
5. |
|||||
расположены по оси ох; |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) эксцентриситет ε = |
и фокусы (+7;0). |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.14. Составить уравнение гиперболы, если её фокусы лежат на оси ох и |
|||||||
расстояние между ними 10, а длина действ тельной полуоси равна 4. |
|
||||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
4.15. Составить каноническое уравнение г перболы, если:
а) а=5; с=3; б) с=6; ε=1,5;
в) b=6; уравнения асимптот у=+х.
4.16. Дана гипербола 16х2-9у2=144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3)
эксцентриситет; 4) уравнения |
симптот; 5) уравнения директрис. |
|
|
4.17. Составить уравнения |
симптот равносторонней гиперболы у= |
|
и |
|
|||
найти координаты её вершин. |
ая |
|
|
4.18. Определить величи у параметра и расположение относительно |
||||||||||
координатных осей следующихнпарабол: 1) у2=3х; 2) х2=4у; 3) у2=-2х; 4) х2=-3у. |
||||||||||
4.19. Уравнение линии привести к каноническому виду, построить её: |
||||||||||
1) |
у=2х2+4х+3; |
|
о |
н |
||||||
2) |
у=х2-2х+5; |
т |
|
|
|
|
|
|||
3) |
х=у2+5у; |
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
х=-у2+2у-2. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
к |
|
2 |
|
|
|
|
|
4.20. К параболе ур=4х проведена касательная параллельно прямой 2х-у+5=0. |
||||||||||
Найти уравнение |
асательной. |
|||||||||
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.21. Найти прямоугольные координаты точек A, B, C, D, для которых известны |
||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полярные координаты: A(2; 0), В(1; - |
|
), С(4; - ), D(1; |
|
). |
||||||
4.22. Найти полярные координаты точек A, B, C, D, для которых известны |
||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
79 |
|
|
прямоуго ьные координаты: A(-4; 4), B(0; -2), C(-1; -1), D(2; 2).
4.23. Написать в полярной системе координат уравнения: а)прямой, |
|
|
ка |
проходящей через точку А(3; 4) и параллельной полярной оси; б)окружности с |
|
центром в точке В(0; 3) и радиусом, равным 3. |
|
4.24. Написать в полярной системе координат уравнения линий: а) x2+y2=2x; б) (x2+y2)2=а2(x2-y2).
4.25. Построить кривые и написать их уравнения в прямоугольной системе координат: а) τ=2sinφ; б) τ=2cos2φ; в) τ=3(1+cosφ); г) τ=2+ cosφ.
|
|
|
Глава V. Аналитическая геометрия в пространс ве |
т |
е |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5.1. Уравнения плоскости в пространстве |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
Плоскость в пространстве можно задать различными способами. Каждому |
|||||||||||||||
из них соответствует определённый вид уравнения. |
л |
и |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть каноническое урав ение плоскости, где (A,B,C) – координаты |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормального вектора, а (x0,y0,z0) – координаты точки М0. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
о |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее уравнение плоскости |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскрыв скобки в у авнении (1.1), получим общее уравнение плоскости: |
|||||||||||||||
Аx+By+Cz-(Аx0+Вy0+Сz0)=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим -(Аx0+Вy0+Сz0) через D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
е |
к |
Атx+By+Cz+D=0 (1.2) – общее уравнение плоскости |
|
|||||||||||
1) Уравн ние плоскости – это уравнение первой степени с тремя переменными; |
||||||||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Любое уравнение первой степени определяет некоторую плоскость (при этом |
||||||||||||||||
=(A,B,C) – нормаль). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|