lineynaya_algebra_Yudina
.pdf(-2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
х1+2х2 |
= -1 |
|
|
|
|
х1+2х2 = -1 |
х1+2х2 = -1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2х1+х3 = 2 |
<=> |
|
-4х2+х3 = 4 |
<=> х2+2х3 = -1 |
|
е |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
х2+2х3 = -1 |
|
|
х2+2х3 = -1 |
9х3 = 0 |
|
|
|||||||||||
|
(4) |
|
|
|||||||||||||||
|
х1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
||||||
в=а1- |
а2 |
|
|
|
||||||||||||||
<=> х2=-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
||||||||
|
х3=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: в = а1 - ас |
|
|
|
|
|
§3.10 Евклидово пространство |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы определили линейное векторное пространство, в котором можно |
|
|
|
|||||||||||||||
складывать векторы и умножать на число, ввели понятие размерностии |
и базиса. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
n |
|
|
|
|
Угол между двумя векторами x и y определяется равенством cosϕ = x × y , где
Теперь введем матрицу, т.е способ измерения длин и углов. Это можно сделать, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если ввести понятие скалярного произведения двух n-мерныхл |
векторов. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение. Скалярным произведением двух векторов |
|
= (x1, x2, xn ) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= (y1, y2, yn ) называется число |
|
|
|
= x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn = åxi yi . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
x |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
i=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= (x1, x2, xn )- набор различных товаров, а |
|
|
|
= (y1, y2, yn ) - вектор их цен, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
скалярное произведение |
x |
|
y |
выражает из суммарную стоимость. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Скалярное произведение имеет свойства: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
х |
у |
у |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) |
|
|
|
( |
|
|
|
+ |
|
|
)= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
х |
y |
z |
x |
y |
x |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3) (λ x)× y = λ (x × y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4) |
|
× |
|
> 0 , если |
|
- |
улевой вектор |
|
× |
|
= 0 , если |
|
- нулевой вектор. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вклидовым пространств м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Длиной (нормой) вект ра х в евклидовом пространстве называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= x12 + x22 +...+ xn2 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произв д ниекравно нулю.
. Два ве тора называются ортогональными, если их скалярное
Векторы 1, 2, ..., еn евклидова пространства образуют ортонормированный базис, сли эти векторы попарно ортогональны и норма каждого равна единице,
Э |
|
51 |
|||
т.е. |
|
еi |
е=1, еi∙еj=0; при i ≠ j |
еi∙еj=1; при i=j. Векторы е1,е2, ..., еn линейно |
|
|
|||||
независимы. |
|
||||
Теоремал |
: Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует |
ортонормированный базис — это основная теорема.
m |
|
каn |
Одно из основных понятий матричной алгебры является понятие линейного |
||
оператора. |
е |
|
Определение. Если задан закон (правило) по которому каждому ве тору х
пространства Rn ставится в соответствие единственный вектор у пространства R , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) А(х) из R в
Rn и любого числа λ выполняются соотношения: |
|
и |
т |
|||||||
1.) |
А(х+у)= А(х)+А(у) |
|
|
|
||||||
2.) |
А(λх)=λА(х). |
|
|
|
||||||
|
=А( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
||||
у |
х) называют образом вектора |
х, а сам вектор х — прообразом вектору |
Rm и записывают у=А(х). |
о |
|
Оператор называется линейным, если для любых векторов х и у прос ранства
Если пространства Rn и Rm совпадают, то оператор А отображает пространство |
|||
и |
л |
|
|
Rn в себя. Такие операторы мы и будем рассматривать. Связь между вектором х
и у можно выразить в матричной форме. |
б |
б |
||||
У=А∙Х, где А — матрица линейного оператора. |
|
|||||
Например у1 |
а11 |
а12 |
х1 |
у1=а11х1+а12х2 |
|
|
у2 |
= а21 |
а22 |
х2 <=> |
у2=а21х1+а22х2 |
|
Преобразование двумерного вектора называется преобразованием плоскости,
|
|
|
н |
|
|
|
трехмерного — преобразованием пространства. |
||||||
|
|
н |
|
аяые векторы и собственные |
||
§ 3.12 Собстве |
||||||
|
о |
з аче ия линейного оператора |
||||
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Вект р х≠0 называется собственным вектором линейного оператора А, если найдется такое число λ, что А(х)=λ(х).
Число λ — называе ся собственным значением оператора А (матрицы А), |
||||||
|
|
|
|
к |
|
|
соответствующим вектору х, то есть |
|
|||||
АХ |
=λХ или в развернутом виде |
|
||||
|
|
|
е |
|
|
(1) |
|
|
|
а11х1+а12тх2+а13х3+...+а1nxn=λx1 |
|||
|
|
|
a21x1+a22x2+ ... |
+a2nxn=λx2 |
|
|
Э |
|
an1x1+an2x2+ … +annxn=λxn |
|
|||
|
|
|
|
52 |
||
Перепишем систему (1) в виде: |
|
|||||
|
|
л |
(а11-λ)х1+а12х2 + … +а1nxn=0 |
|
||
|
|
a21x1+(a22-λ)x2+ … +a2nxn=0 |
|
an1x1+ an2x2+ … +(ann-λ)xn=0
Эта однородная система имеет ненулевое (нетривиальное) решение если =0. Чтобы найти собственный вектор, надо подставить собственное число λ в систему (1) и найти х1,х2, … ,хn.
Это есть многочлен n-степени относительно λ. Решая его находим λ. Этот многочлен называется характерическим уравнением оператора А или матрицы
Подставляем λ1=-2; в систему получим 5х1+4х2=0; считая х2 свободным х2=с;
А. Каждому характерическому значению λ соответствует множество |
|
ка |
|||||||||||||||
параллельных векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 12.1: Найти собственные числа и собственные векторы лин йного |
|||||||||||||||||
оператора А, заданного матрицей |
|
|
|
|
о |
т |
е |
|
|||||||||
А = |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|||||
АХ = λ Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
4 |
x1 |
= λ |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3х1+4х2=λх1 |
|
|
(3-λ)х1+4х2=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5х1+2х2=λх2 |
|
|
5х1+ (2-λ)х2=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3-λ |
4 |
|
|
= (3-λ)(2-λ)-20 = 6-2λ-3λ+λ2-20 =бλ2 -5λ-14 = 0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
│А-λЕ│= |
|
5 |
2-λ |
|
|
|
|
||||||||||
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
λ= |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим вектор |
|
соответственно числу λ1=-2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x' |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
б |
|
|
|
|
|
|
|
х1=-0,8c |
|
|
|
|
|
н |
|
|
||||
Итак вектор |
х |
'=(-0,8c; c). |
|
|
|
|
||||||
Например, с=5, то x'=(-4,5) |
|
|
|
|||||||||
Подставляем λ2=7, получим |
-4х1+4х2=0 |
-х1+х2=0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
н |
5х1-5х2=0 |
х2=х1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть х1=с1, тогда х2=с1; |
x" =(c1;c1). |
|
|
|||||||||
Например с1=1; x"=(1,1). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
7 = 7 1 |
|
|
|
Проверка 3 4 |
1 |
= |
|
равенство верно. |
||||||||
5 2 |
1 |
|
|
|
7 |
1 |
||||||
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
х |
'=(-0,8c; c); |
х |
" =(c1;c1). |
|
|
Геометрический смысл собственного вектора — это вектор, который при
|
|
е |
преобразованиитА только удлиняется, а λ — коэффициент удлинения. |
||
Э |
л |
|
|
53 |
§3.13 Линейная модель обмена
В качестве примера математической модели экономического процесса, |
||
приводящей к понятию собственного вектора и собственного знач ния |
||
|
|
т |
матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной ка |
||
торговли). |
о |
|
Пусть имеется n стран S1,S2, … ,Sn, национальный доход каждой из коеорых |
равен х1,х2, … ,хn. Обозначим коэффициентами aij долю наци нальн го дохода, и которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si. Будем считать, что
весь национальный доход тратится на закупку товаров л бо внутри страны, либо на импорт из других стран, то есть ∑aij=1 (j=1,2, … ,n).
которая получила название структурной матрицы торговлил .
Рассмотрим матрицу а11 |
а12 |
… а1n |
|
б |
A = a21 |
a22 |
… a2n |
|
|
an1 |
an2 |
… ann |
и |
|
|
|
|
|
Сумма элементов любого столбца матрицы А равна единице. Следовательно, для любой страны Si (i=1, … , n) выручка отбвнутренней и внешней торговли
составит Pi= a11x1 + a12x2 + … + a1nxn .
Для сбалансированной торговли необходима ездефицитность торговли каждой страны Si , то есть выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода pi≥xi. Неравенство pi>xi невозможно (доказательство опускаем) и условие pi≥xi (i=1,2, … , n) принимает вид pi=xi .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
Введя вектор |
|
= x2 |
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
н |
|
получим уравнение АХ=Х. Задачааясвелась к отысканию собственного |
|||||||||||||||
вектора матрицы А при λ=1. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
имеет вид |
Пример: структурная матрицанторговли трех стран S1,S2,S3 |
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
|
т |
р |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|||
A = |
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
е |
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли. |
|||||||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим собственный вектор Х, отвечающий собственному значению λ=1, |
|||||||||||||||
решив уравнение (А-Е)Х=0 |
|
||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
æ - 2 1 1 |
|
ö |
æ |
|
х |
ö |
æ0 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
÷ |
ç |
1 |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
æ 1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ç |
|
1 -1 1 |
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
÷ |
ç |
|
х |
÷ = ç |
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
÷ |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
х |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
è |
3 |
ø |
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
æ - 2 1 1 |
|
ö |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
3 |
|
|
|
ö |
|
|
|
æ |
|
3 |
|
|
|
|
ö |
|
|
æ |
|
3 |
|
|
|
ö |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
è |
3 ø |
|
ç |
-1 |
|
|
|
|
|
0 ÷ |
|
|
|
ç |
-1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
÷ |
|
|
ç |
-1 |
|
|
|
0 ÷ |
|
|||||||||||||
|
|
ç 3 |
|
|
|
|
4 2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
4 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
4 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
о |
4 |
|
е |
÷ |
|
|||||||||||||||||||||
(-1) |
ç |
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
1 |
÷ |
~ |
|
|
|
|
|
ç |
1 |
|
-1 |
1 |
÷ |
~ |
(3) |
ç |
0 |
-1 |
1 |
|
÷ |
|
~ |
ç |
0 |
-1 |
1 |
÷ |
~ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
|
2 |
|
2 |
÷ |
|
|
|
ç |
|
2 |
|
2 |
|
÷ |
|
и |
ç |
|
2 |
|
2 ÷ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ç 1 1 |
|
|
|
|
-1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 |
|
3 |
|
|
- 3 ÷ |
|
|
|
ç |
0 |
3 - 3 |
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
è 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
4 |
|
|
2 ø |
|
|
|
è |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
л |
|
è |
0 0 |
|
0 ø |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ì |
- х + |
|
3 |
х |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ï |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
х2 + |
х3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x2 = c |
|
|
|
|
|
|
x1 = |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x = (23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 = |
3 |
c |
|
|
|
x2 = 2c |
c; 2c; c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 = c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x3 = |
2 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
То есть сбалансированность торговли 3-х стран достигается при векторе |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 3( c; 2c; c), то есть при соот ошении доходов стран |
|
3 : 2 : 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
или 3 : 4 :2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
§3.14. Квадратичные формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При решениирразличных прикладных задач часто приходится составлять |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
и исследовать |
|
вадратичные формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Определение. Квадратичной формой L(x1, x2 , x3 ....xn ) называется сумма, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
каждый чл нккоторой является либо произведением двух различных |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
пер м нных, либо квадратом одной из переменных, взятых с некоторым |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
коэффициентом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
L(x1 |
, x2 ,....xn )= å å aij xi x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты квадратичной формы aij - действительные числа, причем |
ка |
|||||||||||||||||||||||
aij = a ji |
ç |
n 12 |
|
1n |
÷ |
ç 1 |
÷ |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Матрица, |
A |
= |
(aij |
); (i, |
j = 1, 2, ...n) составленная из этих |
|
|
|
||||||||||||||||
коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = X / × A × X где |
||||||||||||||||||||||||
X = (x1, x2,......xn )- матрица столбец переменных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
е |
|
||||||||||||
|
æa |
|
a .....a |
ö |
æ x |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ça |
21 |
a |
22 |
....a |
2n |
÷ |
ç x |
2 |
÷ |
å åaij xi x j |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
||
L = (х1, х2,...хn )ç |
|
|
÷ |
ç |
÷ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ç................... |
÷ |
ç.... ÷ |
i=1 |
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èan1 |
an2.......ann ø |
è xn |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||||||
Пример 14.1: Дана квадратичная форма |
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
L(x1, x2 , x3 )= |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- х3 |
+ 2х1х2 - 4х1 х3 + 6х2 х3 . Зап сать ее в матричном |
|||||||||||||||||||||
2х2 |
|
|||||||||||||||||||||||
виде. Её диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
переменных, а другие элементы половинам соответствующих коэффициентов |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
2 |
и |
1 |
- 2ö æ х1 ö |
|
|
|
|
|||
квадратичной формы. L(x1, x2 |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ ç |
÷ |
|
|
|
|
|||||||||
, x3 )= (х1, х2, х3 )ç |
|
1 |
|
3 |
|
3 |
÷ ç х2 |
÷ . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- 2 |
3 |
-1÷ ç х |
÷ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
ø è 3 ø |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выясним, как изменится квадратичная форма при невыраженном линейном |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
преобразовании переменных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
При невыраженном линейном прео разовании Х = СУ матрица |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
квадратичной формы принимает вид: |
А* = С / АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пусть Х = СУ , тогда L = X / AX = (CY )/ A(CY ) = (Y /C/ )A(CY ) = Y / (C/ AC)×Y ; Значит |
||||||||||||||||||||||||||||||||
C / AC = A* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 14.2: Дана квадр тичн я форма L(x , x |
2 |
)= х 2 |
- 2х х |
2 |
- 3х |
2 . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(y1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
||
Найти квадратичную форму, |
|
, |
y2 ) полученную линейным |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
преобразованием х1 = у1 − 2у2 ; х2 |
= |
2у1 + у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
æ |
1 - 1ö |
С = |
æ1 - 2 |
ö |
|
|
|
|
|||
Решение. Матрица квадратич ой формы А = ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нæ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
ç |
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è-1 - 3ø |
|
|
è1 |
ø |
|
|
|
|
||||
Следовательно |
|
А* |
|
|
|
|
|
1 2ö æ1 1ö æ1 - 2 |
ö æ -1 - 7ö æ1 - 2 |
ö æ |
-15 - 5ö |
|||||||||||||||||||||
|
= С/ АС = ç |
|
|
÷ ç |
|
|
÷ ç |
|
|
÷ = ç |
|
|
÷ ç |
|
÷ = |
ç |
|
|
÷ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
ç |
- |
÷ ç |
|
|
÷ ç |
|
|
÷ ç |
|
-1 |
÷ ç |
|
÷ ç |
- 5 |
5 |
÷ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
2 1ø è1 |
- 3ø è2 1 |
ø è-1 |
|
ø è2 1 |
ø è |
ø |
||||||||||||||
Квадратичная фо ма |
|
|
|
) = -15у |
2 |
-10у у |
|
+ 5у 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
L(y , y |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aij = 0 при i ¹ j , а ее матрица является диагональной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
к |
т |
|
|
L = a11x12 + a22x22 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ..... + an nxn2 = åaii xi2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Любая квадратичная форма с помощью невыраженного линейного |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
преобразованияе |
может быть приведена к каноническому виду. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пример 14.3: Привести к каноническому виду квадратичную форму |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ 2x |
|
2 |
+ 5x |
2 |
+ 2x x |
|
|
+ 2x x + 4x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
L = xл |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Э |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сгруппируем все члены, содержащие, |
x1 и дополним их до |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полного квадрата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
L = (x |
2 + 2х × х |
2 |
+ 2х х |
3 |
)+ 2х |
2 |
+ 5х |
2 |
+ 4х |
2 |
+ х |
3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= (х12 + 2х1(х2 + х3 )2 + |
(х2 + х3 )2 )- (х2 + х3 )2 - (х2 + х3 )2 + 5х3 |
2 + 4х2 х3 = |
|
е |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= (х1 + х2 + х3 )2 - х22 - 2х2 х3 - х32 + 2х22 + |
5х32 + 4х2 х3 = (х1 + х2 + х3 )2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ х22 + 2х2 |
х3 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сгруппируем все члены, содержащие, |
|
х2 и дополним их до полного квадрата |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L = (x1 + х2 + х3 )2 + (х22 + 2х2 + х32 )+ 3х32 = (х1 + х2 + х3 )2 + (х2 + х3 )2 + 3х32 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, невырожденное линейное преобразовании у |
= х |
|
+ х |
2 |
+ х |
3 |
, |
у |
= х |
2 |
+ х |
3 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
т2 |
|
|
|
|
||||||
у3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L(у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Канонический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одна |
|
|
и |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
та же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Одно |
многими |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
коэффициентами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
приведения |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
формы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(три |
привести |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительных |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( отрицательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определенной , а |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сильвестра |
|
|
) |
||||||
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
все собственные значения матрицы А отрицательны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2) |
|
|
|
|
к т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
все главные мино ы матрицы А нечетного порядка отрицательны, а |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чередуются |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеют |
|||
|
|
Иссл довать на знакоопределенность квадратичные формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
2 + 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1) |
L = 2x 2 |
+ x |
|
2 |
+ 2x x |
2 |
- 4x x |
3 |
- 2x |
2 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2) L = -2x 2 |
+ x 2 |
- 6x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 е |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3) L = -4x 2 - x |
|
2 + 4x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4х32
,
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 + 2x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
||||||||||||||||
1). Матрица квадратичной формы L |
|
|
= 2x |
+ x |
+ 4x |
|
- 4x x |
|
|
- 2x |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
2 |
1 |
|
- 2ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
L1 ç |
1 |
|
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
- 2 |
-1 |
4 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Главные миноры |
|
a11 |
|
= 2 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a11 a12 |
|
= |
|
2 1 |
|
= 2 -1 = 1 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a11 |
a12 |
|
a13 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a21 a22 a23 |
= |
1 |
|
|
1 -1 |
= 2 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
a31 a32 a33 |
|
|
|
|
- 2 -1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как главные миноры матрицы А все положительны, то по критерию |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сильвестра данная квадратичная форма положительнолопределенная. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2). Матрица квадратичной формы L |
2 |
= -2x |
2 + x |
2 |
2 - 6x x |
2 |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
æ- 2 |
- 3ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
б |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
è- 3 |
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Главные миноры матрицы А2 |
|
а11 |
|
|
= -2 < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
- 2 |
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a21 |
a22 |
|
= |
|
- 3 |
|
|
1 |
|
|
= -2 - 9 = -11 < 0 отрицательны, то по критерию Сильвестра |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
данная квадратичная форма не является знакоопределенной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
2 - x |
|
2 + 4x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
- 4 |
2 ö |
||||||||||
3). Матрица квадратичной формы L |
|
|
= -4x |
2 |
2 |
имеет вид A |
= ç |
|
|
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
ç |
|
2 |
- |
÷ |
|||||||
Определим знакоопределе |
ость формы первым способом. Составим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
характеристическое урав |
е |
ие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
А - λE |
|
= |
|
- 4 - λ |
2 |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
-1- λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или (- 4 - λ)(-1- λ) |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
-1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 + λ + |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
4λ + λ2 - 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ2 + 5λ = 0 λ(λ + 5) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ1 = -5 |
к |
|
λ2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 0 , a λ = 0 , то квадратичная форма L3 не |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Характеристичес ие числа λ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
явля тся знакоопределенной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Э |
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3.15 Задачи для самостоятельной работы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58 |
|
|
c = (1;3) . Построить |
вектор n = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3.1. Даны три вектора а= (2;-2); b |
= (-1;2); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а+ |
|
+c ; найти его длину и разложить вектор |
n по векторам а и |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
3.2. На плоскости даны три единичных вектора m, n, |
p, угол(m^ n)=60o ; |
||||
(n^p)=30o . построить вектор |
|
=2 m+n-3 p и найти его длину. |
|||
b |
|||||
3.3. Даны векторы а= m+2 n и |
|
=2 m- n, где m и n |
единичные векторы, |
||
b |
образующие угол 60o . Найти угол между векторами а и b .
3.4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на
3.7. При каких значениях α и β векторы а=2i -3 j + β k и b =α i +6 j +4 k :
векторах а= i |
+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
j |
+k |
; b =2i |
- j . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.5. Доказать, что треугольник с вершинами A(1;1), B(2;3), C(5;-1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
прямоугольный. |
|
|
|
е |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. Даны длины векторов | а|= 11; |b |=23. | а-b |= 30; определить | а+b |. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.10.Вектор а составляет с осями oy ox углы исоответственноб 30o и 120o . какой угол он составляет с осью oz? б
3.11.Даны точки A(1; 2; -1)и B(0;-3;4). Найти длину и направление вектор АВ .
3.12.Найти проекцию вектора а=2i + j + k на вектор b = 4i + j - k .6 k3.8. Найти длину вектора а=i +3 j - и его направляющиел ;осямикосинусы.
b =3i + j +2 k и c =- i +2 j +4 k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.14. Найти проекцию вектора а |
на вектор |
|
+c ,если а=(1;-3;4); |
|
|
|
=(3;-4;2); |
|||||||||||||||||
b |
b |
|||||||||||||||||||||||
c =(-1;1;4). |
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.15. При каком значенииλ |
векторы а=λ i |
-5 |
j |
+3 k |
и b =i |
+2 |
j |
-λ k |
взаимно |
|||||||||||||||
перпендикулярны. |
|
н |
|
ая |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3.16. Какую работу производит сила |
|
=(2;-1;-4)по перемещению из точки A(1;- |
||||||||||||||||||||||
F |
||||||||||||||||||||||||
2;3)в точку B(4;3;-2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.17. Найти углы между сями координат и радиусвектором точки |
M(3;1;-2). |
|||||||||||||||||||||||
3.18. В треугольнике ABC вершины имеют координаты A(1;1;-1); |
|
|
|
B(3;2;- |
||||||||||||||||||||
1);C(2;-3;1). |
т |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) длины с орон; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) внутренние углыр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) длину медианы AM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) угол между медианой AM и сторонойAC; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
д) площадь трк |
угольника ABC; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
е) длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC. |
|
|
|
|
3.19. Найти длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на |
||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|||
векторах а=-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ k |
; b =i |
+ j + k . |
|
|||||||||
3.20.лНайти объем параллепипеда, |
построенного на векторах а=(2;1;-3) ; |
b =(1;2;1) и c =(1;-3;1)
3.21. Показать, что точки A(5;7;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4) и D(1;5;0) лежат в одной |
||||||
плоскости. |
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
3.22. Дана пирамида |
с вершинами в точках A1(1;2;3);A2(-2;4;1);A3(4;-3;1); |
|||||
A4(7;6;3). |
|
|
|
|
е |
|
Найти |
|
|
|
|
|
|
1)длину ребер A1A2,A1A3,A1A4; |
|
|
|
|
||
2)площадь грани A1A2A4; |
|
|
|
|
|
|
3)угол между ребрами A1A2 и A1A3 |
|
|
о |
|
|
|
4) объем пирамиды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5)длину высоты, опущенной на грань A1A2A4. |
|
и |
|
а3=(0;1;5). |
||
3.23. В базисе (e1,e2,e3) даны три вектора а1=(1;1;1); а2=(0;2;3);т |
||||||
Доказать, что векторы |
а1, а2, а3 образуют базис и найти координаты вектора |
|||||
c =2е1-е2+е3 в базисе ( а1; а2; а3). |
л |
|
|
|
|
3.24. Векторы а1=(-2;0;1); а2=(1;-1;0) и а3=(0;1;2)образуют базис. Выяснить,
является ли вектор а4=(2;3;4) линейной комбинацией векторов а1, а2, а3.
3.25. |
Векторы |
е1, е2, е3 образуют |
ортогональный |
азис. Найти скалярное |
|||||||||||||
произведение векторов х=2е1-е2+е3; |
у =е1-е2+2е3, если |е1|=|е2|=|е3|=2 |
||||||||||||||||
3.26. Векторы е1,е2,е3 образуют ортонорм рованныйб |
базис. Найти угол между |
||||||||||||||||
векторами а=3 е1+е2-е3 и |
|
=2е1-е2+3е3 |
|
|
|||||||||||||
b |
|
|
|||||||||||||||
3.27. Найти собственные значения и со ственныеи векторы матрицы A: |
|||||||||||||||||
1)A= |
|
|
2 |
1 |
|
|
2)A= 3 -4 |
ая |
|
б |
|
||||||
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
-2 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 0 -6 |
|
|
|
1 1 8 |
|
|
|
|
||||||
A= 1 3 -2 |
|
|
A= 0 2 0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
-1 0 |
1 |
|
|
|
1 0 -1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
3.28. Найти квадратич ую формун , соответствующую матрице A: |
|||||||||||||||||
|
2 1 -2 |
|
|
р |
|
н |
|
|
|
|
|||||||
A= 1 1 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
-2 -1 4 |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.29. Написа ь квад атичную форму L в матричном виде: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) L=3x12+x22-5x1x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) L=x12+x32+2x1x2+4x1x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.30. Прив сти к каноническому виду квадратичную форму: |
|||||||||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) L=x12-4x2x3+x32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) L= x12+3x22+4x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3 |
|
|
|
||||||||||||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
3.31. Исследовать на знакоопределенность квадратичные формы: |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
+6x1x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) L=x1 |
|
+4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) L= -2x12-x22-x1 х3-2x33+4x2x3 |
|
|
|
|