«Методы_оптимальных_решений»Зарипова З.Ф
..pdf
Введем обозначение оценки свободной клетки таблицы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dij = αi + β j - Cij |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Если Dij £ 0 , то опорное решение является оптимальным (задача |
|
|||||||||||||||||||||||
|
поставлена на min ). Если хотя бы одна из оценок Dij > 0 , то опорное |
||||||||||||||||||||||||
|
решение не является оптимальным и его можно улучшить. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Продолжение решения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Проверим |
|
оптимальность опорного плана. |
Найдем потенциалы |
αi |
и |
|||||||||||||||||||
|
занятым клеткам, полагая α1 = 0 , решим систему уравнений: |
АГ |
|||||||||||||||||||||||
|
ìα = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìα1 = 0 |
|
|
|
т |
е |
ка |
|
|
||||||
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ïα1 + β1 |
= 2 |
(для |
клетки |
(1,1)) |
ï |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ï |
|
|
+ β1 |
= 3 |
(для |
клетки |
(3,1)) |
ïβ1 |
|
|
о |
|
|
|
|
|||||||||
|
α3 |
ïα |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ï |
|
|
+ β3 |
= 8 |
(для |
клетки |
(3,3)) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
íα3 |
Þ í |
3 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ï |
|
|
+ β3 |
= 5 |
(для |
клетки |
(2,3)) |
ïβ3 = 7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ïα2 |
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ïα2 + β2 |
= 1 |
(для |
клетки |
(2,2)) |
ïα2 |
= -2 |
л |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îβ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найденные значения потенциалов запишем в таблицу. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Bj |
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
B 2 |
и |
б |
|
|
B3 |
|
|
|
|
αi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140 |
|
|
300 |
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ai |
|
|
|
|
|
|
ая |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
90 |
90 |
н |
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
40 |
н |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
-2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A3 |
|
|
140 |
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
β j |
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
л |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НИ β j по
Э
Теперь проведем оценку каждой свободной клетки.
12 |
= α1 + β2 − С12 = 0 + 3 − 5 = −2 < 0 |
|
|
НИ |
13 |
= α1 + β3 − С13 = 0 + 7 − 2 = 5 > 0 |
|
|
|
21 |
= α2 + β1 − С21 = −2 + 2 − 4 = −4 < 0 |
|
|
|
32 |
= α3 + β2 − С32 = 1+ 3 − 6 = −2 < 0 |
|
|
|
Так как одна из оценок положительна |
( 13 |
|
||
> 0) , то полученное решение не |
||||
|
|
|
АГ |
|
Комментарий: Улучшение плана происходит очень просто, при этом надо
перераспределить |
грузы, перемещая их из занятых |
леток в свободные. |
|
Свободная клетка |
|
е |
занятых клеток – |
станет занятой, а одна из ранее |
|||
свободной. |
т |
|
ка |
|
|
||
Для свободной клетки с положительной оценк й строится цикл (цепь или
контур перераспределения). Если несколько клет к имеют положительные |
||||||
оценки, то выбирается клетка с максимальной оценкойо |
|
|
||||
( вершина максимальной неоптимальности «+» ). |
|
|
||||
Контур |
|
|
|
и |
по |
следующим |
перераспределения ресурсов составляют |
||||||
правилам: |
|
л |
|
|
|
|
замкнутыйб многоугольник |
|
|
||||
- контур |
представляет |
с |
вершинами в |
|||
|
|
|
б |
|
|
|
загруженных клетках, за исключением клетки с вершиной максимальной |
||||||
неоптимальности «+», и |
звеньямии, лежащими вдоль |
строк и столбцов |
||||
матрицы; |
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ломаная линия должна быть связанной в том смысле, что из любой ее вершины можно попасть в любую другую вершину по звеньям ломаной (по
строке или столбцу); |
н |
|
- в каждой верши е контура встречается только два звена, одно из |
||
|
|
н |
располагается по строке, другое по столбцу; |
||
|
о |
|
- число вершин контура четное, все они в процессе перераспределения |
||
делятся на загружаемые и разгружаемые; |
||
тр |
|
|
- в каждой ст оке (столбце) имеются две вершины: одна – загружаемая, другая азг ужаемая.
Около свободной клетки ставится (+), а затем по очереди ставятся знаки (-),
(+). У вершин, отмеченных знаком (-) выбирают минимальный груз. Его |
||
е |
|
|
прибавляют к грузам стоящим у вершин со знаком (+), и отнимают у вершин |
||
со знакомк |
(-). В результате груз перераспределяется. Однако |
перемещение |
л |
|
Полученное |
поставок производится по циклу так, что не нарушается баланс. |
||
решение проверим на оптимальность. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получим оптимальное решение.
42
|
Продолжение решения |
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
НИ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Напомним, что клетка a13 имеет положительную оценку. Для нее строим |
||||||||||||||||||||||||||||
|
цикл. В вершинах цикла ставим знаки (+) и (-). |
|
|
|
|
|
|
АГ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
+ |
|
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|
Знак (-) имеют 2-е клетки, выберем из них ту, которая им ет минимальную |
||||||||||||||||||||||||||||
|
поставку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
min(90,60) = 60 . Прибавим это число к грузам вершин, отмеченных |
|||||||||||||||||||||||||||
|
знаком (+), и отнимем от грузов, стоящих у вершин со знаком (-). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
60 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Получим цикл: |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
б |
и |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Имеем новое опорное решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
æ30 |
0 |
|
60ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
X 2 |
|
ç |
300 |
100 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= ç0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ç |
0 |
|
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è110 |
|
ø |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Проверим решение |
на оптимальность, применив метод потенциалов. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
X1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим распределительаяую таблицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bj |
тр |
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
B 2 |
|
|
|
B3 |
|
|
αi |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кA1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai |
|
|
|
|
|
|
140 |
|
|
|
300 |
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
л |
|
е |
|
|
90 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
400 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НИ |
|
|
|
|
|
β j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A3 |
|
|
110 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
2 |
|
АГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем оценки свободных клеток: |
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
12 = −7, |
|
|
21 = 1 > 0, |
32 = −7, |
33 = −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Клетка a21 |
имеет положительную оценку. Построим для нее ци л |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
т |
е |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
100 |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После перераспределения грузов цикл примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
б |
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Новое решение занесем в распределительную таблицу и проверим его их |
|||||||||||||||||||||||||||
|
оптимальность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai |
|
|
|
|
|
|
н |
н |
B1 |
|
|
B 2 |
|
|
|
B 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αi |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140 |
|
|
300 |
|
|
|
160 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
тр |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
A |
2 |
|
|
400 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
300 |
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
е |
A3 |
|
|
110 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β j |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э
Произведем оценку свободных клеток:
D11 = -1, D12 = -, D32 = -6, D33 = -4 |
|
|
|
|
|
|
АГ |
НИ |
||||
è110 |
0 |
0 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как среди оценок все числа отрицательны, то полученное решение |
||||||||||||
оптимально. Имеем решение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
æ0 |
0 |
90 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
300 |
70 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xопт = ç30 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
||
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Zmin = 90 × 2 + 30 × 4 + 300 ×1+ 70 ×5 +110 ×3 = 1280 д.е. |
|
|
е |
|
|
|
||||||
Задание 7 |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По плану |
производства |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|||
продукции предприя ию необходимо изготовить |
||||||||||||
100 манометров для измерения давления в газ пров де. Эти изделия могут |
||||||||||||
быть изготовлены |
двумя |
способами. Пр изв дственные |
затраты |
на |
||||||||
изготовление |
к манометров |
первым способом равны 2k + k2 , а |
для второго |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
способа 10k + k2 . Выяснить, сколько манометров требуется изготовить каждым |
||||||||||||
способом, чтобы |
общие затраты на производствои |
продукции были |
бы |
|||||||||
минимальными. |
|
|
и |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комментарии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во многих задачах на разыскание наибольших и наименьших значений |
|
|||||||||||
|
функций вопрос сводится к разысканию максимумов и минимумов функции |
||||||||||||||||||
|
от нескольких переменных, которыеб |
не являются независимыми, а связаны |
|||||||||||||||||
|
друг с другом некоторыми условиями. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Рассмотрим, например, т кую задачу: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Пусть |
|
требуется |
н йти максимум и минимум |
функции n переменных |
||||||||||||
u = f (x , x ,...x ) |
при условии что переменные x , x ,...,x |
связаны m уравнениями |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
н |
н |
ая |
|
|
1 2 |
n |
|
||
ìϕ (x , x ,...,x ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ï |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ïϕ |
2 (x1, x2 ,...,xn ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- - - - - - - - - - - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ïϕ |
m |
(x , x ,...,x ) = 0, |
m < n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
î |
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
о |
|
условный экстремум. |
Для того, чтобы найти значения |
||||||||
|
|
|
Имеем задачу на |
||||||||||||||||
x1, x2 ,...,xn , при которых могут быть условные |
максимумы и минимумы, нужно |
||||||||||||||||||
составить функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
L(x1 |
|
|
тр |
|
|
,.....λm ) = f (x1, x2 ,....,xn ) + λ1 ×ϕ1(x1, x2 ,....,xn ) + |
||||||||||
|
|
|
, x2 ,....,xn ,λ1 |
||||||||||||||||
|
|
|
+ λк×ϕ |
2 |
(x , x ,....,x ) + ....λ |
m |
×ϕ |
m |
(x , x ,....,x ) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
1 2 |
n |
|
|
|
|||
и приравнять к нулю ее частные производные |
по переменным x1, x2 ,...,xn и |
||||||||||||||||||
ϕ1,ϕ |
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 ,...,ϕm : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
¶L |
|
|
¶ϕ |
|
|
|
|
|
|
¶ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НИ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ì |
¶L |
+ λ |
¶ϕ1 |
+ .....λ |
|
¶ϕm |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
¶x |
|
1 |
¶x |
|
|
|
|
m |
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï ¶L |
+ λ |
¶ϕ1 |
+ .....λ |
|
¶ϕm |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ¶x |
|
|
|
|
|
m ¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
АГ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ïϕ |
|
(x ,.....x ) = 0 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- - - - - - - - - - - - - - - - |
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
¶x |
+ λ |
1 |
+ .....λ |
|
m |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
1 ¶x |
|
|
|
|
|
m ¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ïϕ1(x1,.....xn ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- - - - - - - - - - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îϕm (x1,.....xn ) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
и из (m + n) |
уравнений |
|
системы |
|
(*) |
определить |
т |
|
|
|
, и |
далее |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x , x ,...,каx ,λ ,.....λ |
m |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
исследовать характер экстремума. |
|
|
|
|
|
|
|
о |
1 2 |
n 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Рассмотрим решение задания 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Пусть первым технологическим способом будет изготовлено x1 |
изделий, а |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
вторым способом - |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
изделий. Составим функц ю суммарных затрат: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x ; x ) = 2x + x2 |
+10x |
2 |
+ x2 . Учтем, что общееи |
количество манометров равно |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100, имеем: x1 + x2 |
= 100 . Получим следующую математическую модель задачи: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
f (x1 |
; x2 ) при условии |
|
x1 + x2 |
= 100 . |
||||
|
найти минимум функции двух переменных |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Для нахождения условного экстремума составимб |
функцию Лагранжа: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
L(x ; x ;λ) = 2x + x2 |
+10x + x2 |
|
|
б |
|
|
+ x |
|
-100) . |
Исследуем |
|
полученную |
||||||||||||||||||||
|
|
+ λ × |
(x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
функцию на безусловный экстремум, для этого вычислим и приравняем к нулю |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ее частные производные по |
x1, x2 ,λ : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶L |
= 2 + 2x + λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶L |
= 2 |
+ 2x |
+ λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
¶x2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
¶L |
= x + x -100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Получим систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2x1 + λ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 + 2x2 + λ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 = 100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Исключив λ из системы, имеем: |
ì8 + 2x2 - 2x1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
í |
+ x2 |
= 100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Э |
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Откуда x1 |
|
= 52, |
x2 |
= 48 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x2 |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
Е(52;48), |
|
НИ |
|||
|
Таким образом, получили стационарную точку |
|
возможно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
условного экстремума функции |
|
f (x1, x2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Исследуем характер экстремума, |
как |
|
и в случае безусловного экстремума, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
для этого вычислим ее частные производные второго порядка. |
|
АГ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶2 |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶2 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶2L |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x2 |
|
|
|
|
|
|
вканайденной |
|
|||||
|
D = 0 |
2 = 4 - 0 = 4 > 0 |
, |
так |
как |
|
|
и |
¶¶x2f |
> 0 то |
точке |
|||||||||||||||||||||||||
|
> 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x ¶x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим определитель из частных производных |
|
|
е |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Е(52;48) f (x1, x2 ) |
будет иметь минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Ответ: при |
|
изготовлении 52 манометров первым способом и 48 вторым |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
способом |
затраты |
|
на производство будет |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
минимальными и составят 5592 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
денежных единиц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостояте ьной работы |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1. Исследовать |
|
на |
|
условный |
|
б |
|
|
функцию F = x2 |
+ x2 |
+ x2 |
при |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
экстремум |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
условиях íìx1 + x2 + x3 |
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
î2x1 - 3x2 |
= 12 |
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ. |
|
|
F |
= 16 |
|
, X (3 |
,-1 |
,2 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
min |
|
64 |
|
|
|
8 |
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. Найти условные экстремумы функции F = x1x2 + x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
при условиях íìx1 + x2 |
= |
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
îx2 + x3 |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
Fmax |
= 8 , |
X (2,2,2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3.Найти |
максималь ое |
|
|
значение |
|
функции |
|
F = 3x1 + 4x2 |
при |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ì |
2 |
|
|
2 |
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ïx1 + x2 £ 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
условиях íx1 × x2 |
³ |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ïx ³ 0, x |
2 |
³ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ. |
Fmax |
= 25, X (3,4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4. Найти минимальное значение функции F = 9(x1 - 5) + 4(x2 - 6) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ì3x + 2x |
³ 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
íïx1 |
- x2 |
£ 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
при условияхтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
к |
|
|
|
ï |
x |
|
£ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
л |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ïx |
³ 0, x |
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ответ. |
|
|
|
î |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Fmin |
= 16, X (5,4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5.Найти условные экстремумы функции F = x1x2 x3 при условиях |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э
ì |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
= 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НИ |
||||||
ì2x x |
+ x x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
í |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î2x1 - x2 = 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ. |
Fmin |
|
= - |
|
56 |
|
, X (- |
1 |
,- |
26 |
,- |
28 |
) |
; |
Fmax = 72, |
Xопт (3,-2,-12) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
3 |
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГ |
|
|||||||
6. Найти максимальное значение функции |
F = x1x2 при условиях |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ïx1 + 2x + x2 - 2x2 -14 ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
í2x1 + x2 £ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ïx |
³ 0, x |
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
||||||||
ì |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. |
Fmax |
|
= 12,5, |
X ( |
2 |
,5) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найти максимальное значение функции |
F = 4x1 |
+ 3x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
при условиях |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ïx1 - 2x1 + x2 - 2x2 - 34 ³ 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
т |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
íx1 ³ 1, x2 |
³ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
Fmax |
|
= 37, |
|
X (5,8;4,6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8. F = (x - 4) |
2 + (x |
- 3)2 |
® extr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|||
при условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ì2x + 3x |
³ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ï |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ïí3x1 - 2x2 £ 18 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
î- x1 + 2x2 £ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. F |
|
|
= 137,25 при X (13, |
); F |
|
|
= 0 |
при Х(4,3). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. Решите задачу дробно-линейного программирования |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F = |
2x1 + 3x2 |
|
® min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ì2x + 8x |
£ 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ï |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ïx1 |
+ x2 |
³ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ï12x1 + 3x2 |
£ 39 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
îx ³ 0, x2 |
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ. F |
|
= |
9 |
, X(3,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Решите задачу дробно-линейного программирования |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
F = |
2x1 + 3x2 |
|
® max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x + x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ì2x1 + 8x2 |
£ 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ï |
е |
+ x2 |
³ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ïx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
л |
|
|
|
к+ 3x |
£ 39 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
í12x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ï |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïx ³ 0, x |
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
î |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э
|
Ответ. F |
|
= |
11 |
|
, Х(1,3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НИ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
11. F = |
|
3x1 − 2x2 |
|
® max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГ |
||
|
ì2x + 4x |
|
|
£ 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ï |
1 |
|
|
2 |
|
|
£ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ï- 4x1 + 2x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
íx + 3x |
|
³ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ï 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ïx ³ 0, x |
2 |
|
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|||
|
Ответ. |
|
Fmax |
= 2, X (6,1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− 5x1 + 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
12. F = |
|
® min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
- 2x - 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ì2x - 4x |
|
|
£ 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ï |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|||
|
ï- x1 + 2x2 £ 8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
íx + x ³ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|||||||||||||
|
ï 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ïx ³ 0, x |
|
|
|
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
î |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
||||
|
Ответ. |
|
F |
|
= - |
2 |
|
, X (4,6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
13. F = |
|
5x1 + 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
® max |
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ì2x + 3x |
|
|
³ 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ï |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ï- x1 + 6x2 £ 18 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
í |
- 3x2 |
|
£ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ïx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ïx ³ 0, x |
|
|
|
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
î |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ. |
|
F |
|
= |
27 |
, X (5, |
2 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Найти решение задачи целочисленного программирования |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
F = 3x1 + x2 |
® min |
|
н |
ая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ì- 4x1 + x2 £ 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ï |
|
|
|
£ 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ï3x1 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
38 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
í5x1 + 2x2 ³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ï |
³ 0, x2 |
|
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ïx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ïx Î Z, x |
|
|
Î Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
î 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ. |
|
Fmin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= 19, X (0,19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
15. Найти |
ешение задачи целочисленного программирования |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F = 5x1 + 7x2 ® min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ì- 3x1 +14x2 £ 78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ï5x - 6x |
|
|
£ 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ï |
1 |
|
|
2 |
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ïx + 4x |
|
³ 25 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ïí 1 |
|
к2 |
|
|
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ïx ³ |
0, x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ïx Î Z, x Î Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
л |
î е1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ. |
|
Fmin |
= 52, X (2,6) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э
16.Решите задачу симплекс-методом: F = 55x1 + 35x2 |
|
® max |
|
|
НИ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ì2x + 7x |
|
£ 560 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ï |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïí3x1 + 3x2 |
|
£ 300 |
. |
Составьте |
двойственную |
задачу. |
|
Найти ее |
решение |
по |
||||||||||||||||||||
î5x1 + x2 £ 332 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АГ |
|
|
|||||||
ìx + 3x |
|
£ 300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
решению исходной задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ. |
|
Fmax |
= 4660, X (58,42,150) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Gmin |
= 4660,Y (0,10,5) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
17. Решите задачу симплекс-методом: F = 52x1 + 39x2 |
® max |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ï 1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
|
|
|
í3x1 + 4x2 |
|
£ 477 . |
Составьте |
двойственную |
задачу. |
|
|
Найти ее |
решение |
по |
||||||||||||||||||||
ï4x + x |
£ 441 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
||||||
î |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решению исходной задачи. |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ. |
|
Fmax |
= 6903, X (99,45,66,0,0) . |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
18. |
|
|
|
Gmin |
= 6903,Y (0,8,15) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
F = 4x1 |
+ 2x2 |
® max |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ì- x + 2x |
|
£ |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ïíx1 + x2 £ 9 |
. Составьте двойственную задачу. Найти ее решение. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
î3x1 - x2 |
£ 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ.G |
|
|
= 30,Y (0, |
5 |
|
, |
1 |
) . |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19. F = x1 - 2x2 |
® max |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ì- 3x1 + 2x2 £ 61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ï |
- 4x2 £ 2 |
|
. Составьте двойственную задачу. Найти ее решение. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
íx1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ïx - x |
£ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
î 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ.G |
|
|
= 4,Y (0, |
1 |
, |
2 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
min |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20. F = 2x1 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+ 3x3 - 2x4 + x5 |
® max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ì- x + x |
2 |
+ x = |
1 |
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
3 |
. Составитьаядвойственную задачу. Найти ее решение. |
|
|
|||||||||||||||||||||
íx1 |
- x2 + x4 |
= 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ïx + x |
+ x |
= 2 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
î 1 |
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ.Gmin |
= 1,Y (3,4,1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
тр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21. F = |
2x1 + 3x2 ®нmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ì- 3x1 + 2x2 £ 61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ï |
- 4x2 £ 2 |
|
. Составьте двойственную задачу. Найти ее решение. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
íx1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
к |
£ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ïx - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
î 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
нет решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
22. Для производства двух видов контрольно-измерительных приборов А и В лпр дприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое изделие должно пройти обработку на каждом из типов оборудования. Время
обработки каждого из изделий на оборудовании данного типа приведены в
50