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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.1. •ãáâì § ¤ -® -¥ª®â®à®¥ ¬-®¦¥á⢮ V ¨ ¬-®¦¥á⢮ E ¯ à à §«¨ç-ëå í«¥¬¥-⮢ ¨§ V (E µ V 2). •«¥¬¥-âë ¬-®¦¥á⢠V - §ë¢ îâáï ¢¥àè¨- ¬¨ £à ä , í«¥¬¥-- âë ¬-®¦¥á⢠E - §ë¢ îâáï à¥¡à ¬¨ £à ä , ¯ à G = (V; E), â.¥. ¬-®¦¥á⢮ ¢¥àè¨- ¨
¬-®¦¥á⢮ ॡ¥à, - §ë¢ ¥âáï £à 䮬.
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E = ff1; 2g; f1; 5g; f2; 5g; f3; 4g; f5; 7gg |
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.2. Ž £à ä¥ á® ¬-®¦¥á⢮¬ ¢¥àè¨- V £®¢®àïâ, çâ® ®- § ¤ - - V . Œ-®¦¥á⢮ ¢¥àè¨- £à ä G ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ V (G), ¬-®¦¥á⢮ ¥£® ॡ¥à { ç¥à¥§ E(G).
Œë -¥ ¢á¥£¤ ¡ã¤¥¬ áâண® à §«¨ç âì £à ä ¨ ¥£® ¬-®¦¥á⢠¢¥àè¨- ¨ ॡ¥à. • ¯à¨¬¥à, ¬ë ¬®¦¥¬ £®¢®à¨âì ® ¢¥àè¨-¥ v 2 G (¢¬¥áâ® v 2 V (G)), ॡॠe 2 G ¨ â ª ¤ «¥¥.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.3. —¨á«® ¢¥àè¨- £à ä G - §ë¢ ¥âáï ¥£® ¯®à浪®¬ ¨ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª jGj; ç¨á«® ¥£® ॡ¥à ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ kGk. ƒà ä ª®-¥ç¥- ¨«¨ ¡¥áª®-¥ç¥- ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬
¯®à浪®¬; ¢á¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ §¤¥áì £à äë áç¨â îâáï ª®-¥ç-묨. •à¨¬¥à 1.1. ƒà ä, ¨§®¡à ¦¥--ë© - à¨áã-ª¥ 1.1, ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 7.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.4. ‚¬¥áâ® ¯ãá⮣® £à ä (?; ?) ¬ë ¯¨è¥¬ ¯à®áâ® ?. ƒà ä ¯®à浪 1
- §ë¢ ¥âáï âਢ¨ «ì-ë¬.
ˆ-®£¤ , - ¯à¨¬¥à, ª®£¤ -ã¦-® - ç âì ¨-¤ãªæ¨î, ¯ãáâë¥ ¨ âਢ¨ «ì-ë¥ £à äë ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«¥§-ë; ¢ ¤à㣨å á«ãç ïå ®-¨ ¤ îâ ¢ë஦¤¥--ë¥ ª®-âà¯à¨¬¥àë ¨ áâ -®¢ïâáï ¯®¬¥å®©. ‚® ¨§¡¥¦ -¨¥ § á®à¥-¨ï ⥪áâ ®£®¢®àª ¬¨ ® -¥âਢ¨ «ì-®á⨠¬ë ®¡ëç-® ¡ã¤¥¬ ¯à¥-¥¡à¥£ âì âਢ¨ «ì-묨, ⥬ ¡®«¥¥ ¯ãáâ묨 £à ä ¬¨.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.5. ‚¥àè¨- v ¨-樤¥-â- ॡàã e, ¥á«¨ v 2 e; ⮣¤ ¥é¥ £®¢®àïâ, çâ® e ¥áâì ॡ஠¯à¨ v. „¢¥ ¢¥àè¨-ë, ¨-樤¥-â-ë¥ à¥¡àã, áãâì ¥£® ª®-æ¥¢ë¥ ¢¥àè¨-ë ¨«¨ ª®-æë;
ॡ஠ᮥ¤¨-ï¥â ᢮¨ ª®-æ¥¢ë¥ ¢¥àè¨-ë.
•¥¡à® fx; yg ®¡ëç-® § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª xy (¨«¨ yx).
•à¨¬¥à 1.2. ‚ £à ä¥, ¨§®¡à ¦¥--®¬ - à¨áã-ª¥ 1.1, ¢¥àè¨- 5 ¨-樤¥-â- à¥¡à ¬ f1; 5g, f2; 5g, f5; 7g.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.6. …᫨ x 2 X ¨ y 2 Y , â® xy ¥áâì X ¡ Y ॡà®.
Œ-®¦¥á⢮ ¢á¥å X ¡ Y ॡ¥à ¢® ¬-®¦¥á⢥ E ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ E(X; Y ). Œ-®¦¥á⢮ ¢á¥å ॡ¥à ¨§ E ¯à¨ ¢¥àè¨-¥ v ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ E(v).
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.7. „¢¥ ¢¥àè¨-ë x; y ¢ G б¬¥¦-л ¨«¨ п¢«повбп б®б¥¤п¬¨, ¥б«¨ xy ¥áâì ॡ஠¢ G. „¢ ॡà e 6= f ᬥ¦-ë, ¥á«¨ ã -¨å ¥áâì ®¡é¨© ª®-¥æ.
•à¨¬¥à 1.3. ‚ £à ä¥, ¨§®¡à ¦¥--®¬ - à¨áã-ª¥ 1.2, ¢¥àè¨-ë 1 ¨ 2 ᬥ¦-ë, ¢¥àè¨-ë 1 ¨ 3 -¥ ᬥ¦-ë; ॡà f1; 2g ¨ f1; 4g ᬥ¦-ë.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.8. …᫨ ¢á¥ ¢¥àè¨-ë ¢ G ¯®¯ à-® ᬥ¦-ë, â® £à ä G - §ë¢ ¥âáï ¯®«-
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— é¥ ¢á¥£® à §«¨ç¨© ¬¥¦¤ã ¨§®¬®àä-묨 £à ä ¬¨ -¥ ¤¥« ¥âáï. ’ ª, ®¡ëç-® ¯¨èãâ G = G0 ¢¬¥áâ® G ' G0, £®¢®àïâ ® ¥¤¨-á⢥--®¬ ¯®«-®¬ £à ä¥ - 17 ¢¥àè¨- å ¨ â ª ¤ «¥¥.
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 1.15. …᫨ U { ¯à®¨§¢®«ì-®¥ ¬-®¦¥á⢮ ¢¥àè¨- (®¡ëç-® ¢ G), â® ¢¬¥áâ® G[V n U] ¬ë ¯¨è¥¬ G ¡ U. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, G ¡ U ¯®«ãç ¥âáï ¨§ G 㤠«¥-¨¥¬ ¢á¥å ¢¥àè¨- ¬-®¦¥á⢠U \ V ¨ ¨-樤¥-â-ëå ¨¬ ॡ¥à. ‚¬¥áâ® G ¡ V (G0) ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì ¯à®áâ® G ¡ G0 {
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„«ï ¯®¤¬-®¦¥á⢠F ¢ V 2 ¯¨è¥¬ G ¡ F = (V; E n F ) ¨ G + F = (V; E [ F ).
…᫨ G ¨ G0 -¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¬ë ®¡®§- ç ¥¬ ç¥à¥§ G ¤ G0 £à ä, ¯®«ãç î騩áï ¨§ G [ G0
ᮥ¤¨-¥-¨¥¬ ¢á¥å ¢¥àè¨- ¨§ G à¥¡à ¬¨ á® ¢á¥¬¨ ¢¥àè¨- ¬¨ ¨§ G0. • ¯à¨¬¥à, K2 |
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“¯à ¦-¥-¨ï
1.„®ª § âì, çâ® á।¨ è¥á⨠祫®¢¥ª ¢á¥£¤ - ©¤ãâáï â஥, ª®â®àë¥ «¨¡® ¯®¯ à-® §- ª®- ¬ë, «¨¡® -¨ ®¤¨- ¨§ -¨å -¥ §- ¥â ¤¢ãå ¤à㣨å.
x2. ‘⥯¥-ì ¢¥àè¨-ë
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.1. •ãáâì ? 6= G = (V; E) { £à ä. Œ-®¦¥á⢮ á®á¥¤¥© ¢¥àè¨-ë v ¢ G ®¡®§- 稬 ç¥à¥§ N(v). •®«¥¥ ®¡é®, ¤«ï U µ V á®á¥¤¨ ¢ V n U ¢¥àè¨- ¨§ U - §ë¢ îâáï á®á¥¤ï¬¨ ¬-®¦¥á⢠U; ¨å ¬-®¦¥á⢮ ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ N(U).
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.2. ‘⥯¥-ì d(v) ¢¥àè¨-ë v ¥áâì ç¨á«® ॡ¥à ¯à¨ v; ¯® - 襬㠮¯à¥¤¥- «¥-¨î £à ä ®- à ¢- ç¨á«ã á®á¥¤¥© ¢¥àè¨-ë v. ‚¥àè¨- á⥯¥-¨ 0 ¨§®«¨à®¢ - .
4
Žç¥¢¨¤-®, çâ® 0 · d(v) · jV j ¡ 1 ¤«ï «î¡®© ¢¥àè¨-ë v £à ä G = (V; E).
•à¨¬¥à 2.1. „«ï £à ä , ¨§®¡à ¦¥--®£® - à¨á. 1.1, d(1) = d(2) = 2, d(3) = d(4) = d(7) = 1, d(5) = 3, d(6) = 0.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.3. —¨á«® ±(G) = minf d(v) j v 2 V g - §ë¢ ¥âáï ¬¨-¨¬ «ì-®© á⥯¥-ìî £à ä G, ç¨á«® (G) = maxf d(v) j v 2 V g - ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì-®© á⥯¥-ìî.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.4. …᫨ ¢á¥ ¢¥àè¨-ë £à ä G ¨¬¥îâ ®¤-ã ¨ âã ¦¥ á⥯¥-ì k, â® ®- k-®¤-®à®¤¥- ¨«¨ ¯à®áâ® ®¤-®à®¤¥-. 3-®¤-®à®¤-ë© £à ä - §ë¢ ¥âáï ªã¡¨ç¥áª¨¬.
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 2.5. —¨á«®
d(G) = 1
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±(G) · d(G)
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‘।-ïï á⥯¥-ì ®æ¥-¨¢ ¥â £«®¡ «ì-® â®, çâ® «®ª «ì-® ¨§¬¥àï¥âáï á⥯¥-ﬨ ¢¥àè¨- { ç¨á«® ॡ¥à £à ä G, ¯à¨å®¤ïé¨åáï - ®¤-ã ¢¥àè¨-ã.
“⢥ত¥-¨¥ 2.1. •ãáâì jEj { ç¨á«® ¢á¥å ॡ¥à £à ä G = (V; E): ’®£¤
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v2V
„®ª § ⥫ìá⢮. …᫨ ¬ë á«®¦¨¬ á⥯¥-¨ ¢á¥å ¢¥àè¨- ¢ G, â® ãç⥬ ª ¦¤®¥ ॡà®
஢-® ¤¢ ¦¤ë, ¯® ®¤-®¬ã à §ã á ª ¦¤®£® ª®-æ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
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d(v) = 2jEj: ¤
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‘«¥¤á⢨¥ 2.1. ‚ k¡®¤-®à®¤-®¬ ª®-¥ç-®¬ £à ä¥ G = (V; E) á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮
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“⢥ত¥-¨¥ 2.2. —¨á«® ¢¥àè¨- -¥ç¥â-®© á⥯¥-¨ ¢ «î¡®¬ £à ä¥ ç¥â-®. „®ª § ⥫ìá⢮. ‚ ᨫã ã⢥ত¥-¨ï 2.1,
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1.„®ª § âì, çâ® ¢ «î¡®¬ ª®-¥ç-®¬ £à ä¥ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë, ¨¬¥î騥 ®¤¨- ª®¢ãî á⥯¥-ì.
2.‚ëç¨á«¨âì ç¨á«® ॡ¥à ¢ Kn.
3.‘ãé¥áâ¢ã¥â «¨ ªã¡¨ç¥áª¨© £à ä -¥ç¥â-®£® ¯®à浪 ?
x3. •ã⨠¨ 横«ë
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.1. •ãâì { íâ® -¥¯ãá⮩ £à ä P = (V; E) ¢¨¤
V = fx0; x1; : : : ; xkg; E = fx0x1; x1x2; : : : ; xk¡1xkg;
£¤¥ ¢á¥ xi à §«¨ç-ë. ‚¥àè¨-ë x0 ¨ xk ᮥ¤¨-¥-ë ¯ã⥬ P ¨ - §ë¢ îâáï ¥£® ª®-æ ¬¨; ¢¥àè¨-ë x1; : : : ; xk¡1 áãâì ¢-ãâà¥--¨¥ ¢¥àè¨-ë ¯ã⨠P . —¨á«® ॡ¥à ¢ ¯ã⨠¥áâì ¥£® ¤«¨- ; ¯ãâì ¤«¨-ë k ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ P k. Žâ¬¥â¨¬, çâ® k ¬®¦¥â ¡ëâì à ¢-ë¬ -ã«î, ¨¬¥--®,
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•à¨ 0 · i · j · k ¯¨è¥¬
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.4. „«ï £à ä H - §®¢¥¬ P H¡¯ã⥬, ¥á«¨ P -¥âਢ¨ «¥- ¨ ¯¥à¥á¥ª ¥â- áï á H ⮫쪮 ᢮¨¬¨ ª®-æ ¬¨. ‚ ç áâ-®áâ¨, ॡ஠H¡¯ã⨠¤«¨-ë 1 -¨ª®£¤ -¥ ¯à¨- ¤«¥¦¨â
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.5. …᫨ P = x0 : : : xk¡1 ¥áâì ¯ãâì ¨ k ¸ 3, â® £à ä C = P + xk¡1x0
- §ë¢ ¥âáï 横«®¬. Š ª ¨ ¯ãâì, ¬ë ç áâ® § ¤ ¥¬ 横« (横«¨ç¥áª®©) ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®áâìî ¥£® ¢¥àè¨-; ⮫쪮 ç⮠㯮¬ï-ãâë© æ¨ª« C ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á - ª ª x0 : : : xk¡1x0. „«¨-
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.7. • ááâ®ï-¨¥ dG(x; y) ¢ G ¬¥¦¤ã ¢¥àè¨- ¬¨ x; y ¥áâì ¤«¨- ªà âç ©- 襣® x ¡ y ¯ã⨠¢ G (â ª®© ¯ãâì - §ë¢ ¥âáï £¥®¤¥§¨ç¥áª®©); ¥á«¨ -¨ ®¤-®£® â ª®£® ¯ã⨠-¥â, ¬ë ¯®« £ ¥¬ d(x; y) = 1. • ¨¡®«ì襥 à ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¢¥àè¨- ¬¨ ¢ G ¥áâì ¤¨ ¬¥âà £à ä G, ®¡®§- ç ¥¬ë© diam(G). „¨ ¬¥âà ¨ ®¡å¢ â, ª®-¥ç-® ¦¥, ¢§ ¨¬®á¢ï§ -ë.
“⢥ত¥-¨¥ 3.2. Š ¦¤ë© £à ä G, ᮤ¥à¦ 騩 横«, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î g(G) · 2 diam(G) + 1.
„®ª § ⥫ìá⢮. •ãáâì C { ªà âç ©è¨© 横« ¢ G. …᫨ g(G) ¸ 2 diam(G) + 2, â® ¢ C - ©¤ãâáï ¤¢¥ ¢¥àè¨-ë á à ááâ®ï-¨¥¬ ¯® C -¥ ¬¥-ìè¥ diam(G) + 1. ‚ G à ááâ®ï-¨¥ ¬¥¦¤ã
í⨬¨ ¢¥àè¨- ¬¨ ¬¥-ìè¥, ¯®í⮬ã -¨ª ª®© ªà âç ©è¨© ¯ãâì • ¬¥¦¤ã -¨¬¨ -¥ ï¥âáï ç áâìî C. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, P ᮤ¥à¦¨â -¥ª®â®àë© C¡¯ãâì xP y. ‚¬¥áâ¥ á ¡®«¥¥ ª®à®âª¨¬ ¨§
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“⢥ত¥-¨¥ 3.3. ‚ £à ä¥ G à ¤¨ãá -¥ ¡®«¥¥ k á ¬ ªá¨¬ «ì-®© á⥯¥-ìî -¥ ¡®«¥¥ d
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 4.1. •¥¯ãá⮩ £à ä G - §ë¢ ¥âáï á¢ï§-ë¬, ¥á«¨ «î¡ë¥ ¤¢¥ ¥£® ¢¥àè¨-ë ᮥ¤¨-¥-ë ¯ã⥬ ¢ G. …᫨ U µ V (G) ¨ G[U] á¢ï§¥-, ¬ë â ª¦¥ - §ë¢ ¥¬ ¬-®¦¥á⢮ U á¢ï§-ë¬ (¢ G).
“⢥ত¥-¨¥ 4.1. ‚¥àè¨-ë á¢ï§-®£® £à ä G ¬®¦-® § -㬥஢ âì â ª (- ¯à¨¬¥à, v1; : : : ; vn), çâ® ¯®¤£à ä Gi = G[v1; : : : ; vi] ¡ã¤¥â á¢ï§-ë¬ ¯à¨ ¢á¥å i.
„®ª § ⥫ìá⢮. ‚®§ì¬¥¬ «î¡ãî ¢¥àè¨-ã § v1 ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯® ¨-¤ãªæ¨¨, çâ® ¢¥à- è¨-ë v1; : : : ; vi 㦥 ¢ë¡à -ë ¤«ï -¥ª®â®à®£® i < jGj. ’¥¯¥àì ¢®§ì¬¥¬ ¢¥àè¨-ã v 2 G ¡ Gi. •®áª®«ìªã £à ä G á¢ï§¥-, ®- ᮤ¥à¦¨â v ¡v1 ¯ãâì P . ‚롥६ ¢ ª ç¥á⢥ vi+1 ¯®á«¥¤-îî - P ¢¥àè¨-ã ¨§ G ¡ Gi; ⮣¤ vi+1 ¨¬¥¥â á®á¥¤ ¢ Gi. ‘¢ï§-®áâì ª ¦¤®£® Gi «¥£ª® ¯®«ãç ¥âáï ¨-¤ãªæ¨¥© ¯® i. ¤
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