Глава 2. Построение модели и решение задачи определения оптимального плана производства в ооо «Мельник»

Фабрика ООО «Мельник» специализируется на выпуске двух сортов теста: бисквитное и песочное. Для изготовления теста используются такие ингредиенты как яйца и сахар, так же затрачивается и ресурсы труда. Для изготовления бисквитного теста требуется 5 штук яиц и 0,3 килограмма сахара, для изготовления затрачивается 15 минут. А для изготовления песочного теста потребуется 2 яйца, 0,25 килограмма сахара и 30 минут затраченного времени. Стоимость 1 кг бисквитного теста 30 руб., а песочного 20 руб. Общий запас яиц равен 1000 шт., 75 кг сахара и 125 часов трудовых ресурсов.

2.1. Построение экономико-математической модели

1. Переменные задачи.

В задаче требуется установить, сколько продукции каждого вида надо производить, поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида продукции:

х₁ – суточный объем производства бисквитного теста, (кг);

х₂ – суточный объем производства песочного теста, (кг).

2. Целевая функция.

В условии задачи сформулирована цель - добиться максимального дохода от реализации продукции, т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи продукции обоих видов, необходимо знать объемы производства, т.е. x₁ и х₂ кг продукции в сутки, а также цены на продукцию бисквитного и песочного теста - согласно условию 30 и 20 руб. за 1 кг продукции соответственно. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства продукции бисквитного теста равен 30х₁ руб. в сутки, а от продажи песочного теста - 20х₂ тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем целевую функцию в виде суммы дохода от продажи продукции бисквитного и песочного теста.

(руб.).

3. Ограничения.

Возможные объемы производства продукции х₁ и х₂ ограничиваются следующими условиями:

- количество яиц, сахара и трудовых ресурсов, израсходованных в течение суток на производство теста обоих видов, не может превышать запаса этих ингредиентов на складе;

- объем производства продукции не может быть выражен отрицательными значениями.

Запишем эти ограничения в математической форме.

Ограничение по расходу яиц имеет вид:

(т/сутки).

Левая часть ограничения - это расчет расхода яиц на производство теста обоих видов. Расход яиц на производство 1 кг бисквитного теста - 5 шт.; на производство 1 кг песочного теста - 2 шт. Тогда на производство х₁ кг бисквитного теста и х₂ кг песочного теста потребуется (5х₁ + 2x₂) шт. яиц. Правая часть ограничения - это величина запаса яиц на складе - 1000 шт.

Аналогична запись ограничения по расходу сахара:

(кг).

Так же ограничение по трудовым ресурсам имеет вид:

(чел.-ч.)

Неотрицательность объемов производства задается как

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:

;

Экономико-математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти такой план производства продукции , удовлетворяющий системе ограничений, при котором целевая функция принимает максимальное значение.

2.2. Определение оптимального плана производства симплексным методом

Приведем задачу к каноническому виду. Для этого в ограничения задачи введем дополнительные переменные х₃, х₄, х₅ и перепишем условие задачи в виде уравнений:

В качестве базисных переменных возьмем х₃, х₄, х₅, тогда небазисные – х₁, х₂. Полагаем х₁ = х₂ = 0, тогда х₃ =1000, х₄=75, х₅ =125.

1-я итерация.

Составляем первую симплексную таблицу, соответствующую исходному опорному решению (таблица 3):

или

Таблица 3

ci	БП	30	20	0	0	0	bi
		x1	x2	x3	x4	x5
0	x3	5	2	1	0	0	1000
0	x4	0,3	0,25	0	1	0	75
0	x5	0,25	0,5	0	0	1	125
j		- 30	- 20	0	0	0	0

Все строки таблицы, за исключением индексной, заполняем по данным системы ограничений и целевой функции. Элементы последней строки рассчитываем:

и т.д.

В индексной строке две отрицательные оценки, значит, найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. В качестве разрешающего столбца следует принять столбец переменной х₁:

, т.е. k =1.

За разрешающую строку принимаем строку переменной х₃:

, т.е. s =1.

Разрешающим является элемент а₁₁=5, т.е. вводим в базис переменную х₁, выводим х₃.

2-я итерация.

Формируем следующую симплексную таблицу (таблица 4)

Таблица 4

ci	БП	30	20	0	0	0	bi
		x1	x2	x3	x4	x5
30	x1	1	0,4	0,2	0	0	200
0	x4	0	0,13	-0,06	1	0	15
0	x5	0	0,4	-0,05	0	1	75
j		0	- 8	6	0	0	6000

Из таблицы 4 находим опорный план:

,

В индексной строке таблицы 4 имеется одна отрицательная оценка. Полученное решение можно улучшить. Разрешающим элементом является а₂₂=0,13

3-я итерация.

Формируем следующую симплексную таблицу (таблица 5).

Таблица 5

ci	БП	30	20	0	0	0	bi
		x1	x2	x3	x4	x5
30	x1	1	0	0,38	-3,07	0	153,8
20	x2	0	1	-0,4	7,7	0	115,4
0	x5	0	0	0,13	-3,07	1	28,8
j		0	0	2,3	61,5	0	6923

Из таблицы 5 находим опорный план:

,

Так как все оценки свободных переменных положительные, найденное решение является оптимальным:

Максимальная прибыль составит 6923 рублей, при этом необходимо произвести 153,8 кг бисквитного теста и 115,4 кг песочного теста. В оптимальном плане ресурсы яиц и сахара равны нулю (х₃=х₄=0), так как они используются полностью. А резерв трудовых ресурсов х₅ = 28,8, что свидетельствует о излишках.

Построение двойственной задачи

Оценки, приписываемые каждому виду ресурсов, должны быть такими, чтобы оценка всех используемых ресурсов была минимальной, а суммарная оценка ресурсов на производство единицы продукции каждого вида - не меньше цены единицы продукции данного вида.

Обозначим через y₁ - двойственную оценку дефицитности яиц, через y₂ –сахара, y₃ – трудовых ресурсов. Тогда прямая и двойственная задачи формулируются:

прямая задача

двойственная задача

Решение прямой задачи дает оптимальный план производства песочного и бисквитного теста, а решение двойственной задачи - оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для производства:

Двойственные оценки ресурсов y_i^* – это оценочные коэффициенты _j дополнительных переменных х₃, х₄, х₅ в последней симплексной таблице.

Исходя из анализа оптимальных двойственных оценок, можно сделать следующие выводы.

Ресурсы яиц и сахара используются полностью. Полному использованию этих ресурсов соответствуют полученные оптимальные оценки y₁, y₂, отличные от нуля. Значит, трудовые ресурсы недоиспользуются (х₅ = 28,8 чел.-ч.).