8. Интерполяционный многочлен Лагранжа (вывод, доказательство единственности).

Стоит задача построить алгебраический многочлен ln(x) обл. двумя свойствами.

1. Степень многочлена h

2. Значение многочлена в ключевых точках h_n(x_i)=f(x_i)

Предложено построить вспомогательный полином p_i(x), i=0,n со свойствами

Первое равенство в формуле (1) позволяет на основании теоремы Безу записать

C_i- константа.

На основании (2) равенства в формуле (1)

Выражая из формулы (3) c_i и подставляя в (2) окончательно получим

Тогда искомый полином Ln(x) запишется

8. Вычисление лагранжевых коэффициентов. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

Проверим выполнение первого преобразования:

1. Степень полинома ln(x) не превышает n поскольку линейная комбинация полинома в степени не превышает n имеет такую же степень

2. 

Иногда используют другую формулу полинома Лагранжа:

Используя представленные выше формулы запишем формулу Лагранжа.

Ln(x)=П_n+1(x)

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.

Поскольку полином Лагранжа является объектом приближения, то совершенно обязательно получить оценку погрешности метода.

R_n(x)=f(x)-Ln(x) в x=x^* x[a,b] можно получить

Получим оценку метода интерполирования полинома Лагранжа

x-точка интерполирования

f^[n+1]- конечные разности.

Покажем единственность построенного полинома (по исходной информации) предложим противное, что существует удовлетворяющее тем же свойствам 1 и 2.

Рассмотрим полином их разности Q_n(x)=Ln(x)-

Очевидно что степень полинома Q не выше n.

Q_n(x_i)=Ln(x_i)-=f(x_i)-f(x_i)=0

Получим противоречие имеетn+1 корень.

Выход из противоречия возможно их случай

15. Постановка задачи численного интегрирования.

Если функция f(x) непрерывна на ab и мы знаем первообразную, то (1)

Но очень часто первообразная f(x) не может быть найдена с помощью элементарных средств она сложная и через интеграл вычислить затруднительно или невозможно. Кроме того подынтегральная функция бывает задана таблично тогда само понятие первообразная теряет смысл. Поэтому, важное значение, имеет приближенное вычисление численных интегралов. Задачи численного интегрирования заключается на основе ряда значений от интегральных функций.

16. Вывод квадратурных формул Ньютона - Котеса.

Пусть для данной функции y=f(x) определенной на [a,b] нужно вычислить определенный интеграл для этого необходимо выбрать шаги разбить [a,b] на n равных частей. x₀=a, x₁=h, x₂=h, …, x_n=b.

Будем представлять, что знаем значение функции в этих точках y_i=f(x_i).

Для вычисления интеграла необходимо представить виде квадратичной формулы

(2) Формула Ньютона – Котеса A_i- некоторый коэффициент формулы.

Выпишем интегральный полином Лагранжа для функции f(x) с учетом узлов сетки.

получим, что

17. Формула трапеции и ее остаточный член(вывод основной и общей формулы, запись остаточного члена, оценка шага интегрирования)

1. n=1

Оценка:

Интегрируя выражение по h и воспользовавшись теоремой о среднем получим

18. Формула Симпсона и ее остаточный член (вывод основной и обобщенной формул, запись остаточного члена, оценка шага интегрирования)

Формула получается при n=2 из формулы Ньютона – Котеса

Оценка:

Разбивая промежуток на равных частей точками , и применяя формулу (71)

(71)

к каждому из частичных промежутков длины , получаем обобщенную формулу Симпсона:

Оценка погрешности этой формулы следует из  (72)

следует

 (74)