- •1. Абсолютная и относительная погрешности числа(определения, предельные погрешности, примеры)
- •2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).
- •3.Погрешность суммы и разности(вывод абсолютной и относительной погрешности из общих формул решения основной задачи теории погрешности).
- •4. Погрешности произведения и частного(вывод относительной и абсолютной погрешности из общих формул решения основной задачи теории погрешности).
- •5. Метод Гаусса(прямой и обратный ход), условия применимости метода.
- •Описание метода
- •Условие совместности
- •7.Метод Ньютона (метод касательных прямых) для уточнения изолированного корня алгебраического или трансцендентного уравнения.
- •Алгоритм
- •Метод простых итераций для численного решения алгебраических или трансцендентных уравнений. (Суть метода и геометрическая интерпретация).
- •Достаточные условия сходимости метода простой итерации (теоремы, оценки погрешностей).
- •Конечные разности различных порядков. Таблицы разностей.
- •Постановка задач аппроксимации функции, общей задачи интерполирования, простейшей задачи интерполирования.
- •Первая интерполяционная формула Ньютона (общая формула и формулы для линейного и квадратичного интерполирования).
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа (вывод, доказательство единственности).
- •15. Постановка задачи численного интегрирования.
- •16. Вывод квадратурных формул Ньютона - Котеса.
- •17. Формула трапеции и ее остаточный член(вывод основной и общей формулы, запись остаточного члена, оценка шага интегрирования)
- •18. Формула Симпсона и ее остаточный член (вывод основной и обобщенной формул, запись остаточного члена, оценка шага интегрирования)
- •19. Постановка задачи численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •20.Метод Эйлера для решения скалярной задачи Коши (вывод расчетной формулы, геометрический смысл) и его недостатки.
- •21.Метод Эйлера для систем дифференциальных уравнений.
- •Усовершенствованный метод Эйлера.
- •Модифицированный метод Эйлера Коши.
7.Метод Ньютона (метод касательных прямых) для уточнения изолированного корня алгебраического или трансцендентного уравнения.
f(x)=0 (1)
пусть является корнем решения (1) этот корень отделен на отрезкепричемне прерывна и сохраняет опред. знаки на отрезке [a,b] найдем какой-либо способ (n-е приближение) к корню.
Тогда точное решение уравнение (1) можно записать как существование некоторого приближения уточнимтак как функцияf(x) не прерывна на отрезке [a,b], то с учетом равенства (2) можно записать к данному равенству применим формулу Тейлора:
Тогда с учетом равенства (3)+(2) следует:
Геометрически это означает замену небольшой дуги кривой касательной проведенный к некоторой точке кривой по этому метод ньютона называют метод касательных.
Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближениелучше предыдущего.
Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.
Пусть — определённая на отрезкеи дифференцируемая. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:
где — угол наклона касательной в точке.
Следовательно искомое выражение для имеет вид:
Если За взять 0, то точка будет лежать вне отрезка [a,b] за начальное приближение берется та точка значение функции в которой совпадает со значением второй производной этой функции в любой точки отрезка [a,b].
Алгоритм
Задается начальное приближение .
Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или(то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение:.
Метод простых итераций для численного решения алгебраических или трансцендентных уравнений. (Суть метода и геометрическая интерпретация).
Суть метода:
f(х)=0 (1) непрерывная функция заменим эквивалентным уравнением (2).
Выберем каким либо способом грубое приближение корня и обозначим его х0.
Подставим х0 в правую часть уравнения (2), получим х1= , х2= ….. хn= (3)
Если последовательность окажется сходящейся то
Переходя к пределу в равенстве (3), получим Стало бытьявляется корнем уравнения (2)и уравнения (1).
Достаточные условия сходимости метода простой итерации (теоремы, оценки погрешностей).
Теорема сходимости:
Пусть существует функция определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Причем все значения функции принадлежат отрезку [a,b], тогда если существует правильная дробь 0<q<1 такая что длягдеn=0,1,2… сходятся независимо от начального приближения , причем предельное значениеи этот корень единственный.
Доказательство:
приводя к эквивалентному виду
Обозначим за q=sup
Последовательность приближений хn есть частичные суммы Sn+1 ряда 4
S2=x1
S3=x2……
Sn+1=xn
Члены ряда 4 по абсолютной величине начиная с 3, меньше членов арифметической прогрессии со значениями 0<q<1, q;q2;q3;…;qn.
Геометрическая прогрессия является сходящейся, значит существует
В силу непрерывности можно записать, значит этот корень уравнения (2).
Докажем единственность:
Пусть существует которая является корнем (2)
, найдем
с- внутренняя точка отрезка [a,b].
Замечание 1:
Константа q – носит название константы Липшиця.
Наша теорема справедлива, если функция будет определена и дифференцируема на интервале (-, +), но лишь в том случае, когда константа Липшиця.
В условиях теоремы метод итерации сходится для любого х0[a,b] благодаря чему он является самоисправляющийся, т.е. отдельные ошибки в вычислениях не влияют на результат.
Оценка приближений
Рассмотрим модуль разности известно, что модуль суммыПроцесс итерации сходится тем быстрее чем меньшеq.
При желании можно вывести
Замечание: Если q=1\2, то
Процесс итерации следует продолжать до тех пор пока 2 последующих приближений не будет удовлетворять условию
Докажем, что каждое из приближений xn располагается ближе к корню.
т.е. последовательность приближений изменяется монотонно и каждое последующее приближение nрасполагается ближе к корню .
Теорема сходимости 2:
Пусть определена и дифференцируема на некотором отрезке [a,b], причем х=имеет кореньлежащий в более узком отрезке, гдетогда если:
, то все последующие приближения будут принадлежать интервалу [a,b], и процесс итерации будет сходится к единственному корню уравнения х=, причем будет выполняться оценка (5).