10. Закон поглощения:

    1. для логического сложения: А  (A & B) = A;

    2. для логического умножения: A & (A  B) = A.

Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие - основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

Пример 1. Упростить формулу (А  В) & (А  С).

Решение:

1. Раскроем скобки: (А  В) & (А  С) = A & A  A & C  B & A  B & C;

2. По закону идемпотентности A & A =A, следовательно, A & A  A & C  B & A  B & C = A  A & C  B & A  B & C;

3. В высказываниях А и А & C вынесем за скобки А и используя свойство А + 1= 1, получим A  A & C  B & A  B & C = A & (1  C)  B & A  B & C = A  B & A  B & C;

4. Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А. A  B & A  B & C = A & (1  B)  B & C = A  B & C.

Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний - все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

Пример 2. Упростить выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

Решение:

3. Построение логической функции по ее таблице истинности:

Попробуем решить обратную задачу. Пусть дана таблица истинности для некоторой логической функции Z(X,Y):

X	Y	Z
0	0	1
0	1	0
1	0	1
1	1	0

Составить логическую функцию для заданной таблицы истинности.

Правила построения логической функции по ее таблице истинности:

1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1.

2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.

3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.

4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно 0, то этот аргумент взять с отрицанием.

Задания:

1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

• "Солнце есть спутник Земли";

• "2+3?4";

• "сегодня отличная погода";

• "в романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов";

• "Санкт-Петербург расположен на Неве";

• "музыка Баха слишком сложна";

• "первая космическая скорость равна 7.8 км/сек";

• "железо — металл";

• "если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным"; "если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный".

Укажите, какие из высказываний предыдущего задания истинны, какие — ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.

Составьте таблицы истинности логических выражений:

• А Ú (¬B  C) .

• ¬ (А Ú B)  (A  ¬ B) .

• (А Ú B) Ú (C  B) .

Составьте логическую функцию F (X, Y, Z) для заданной таблицы истинности:

X	Y	Z	F
0	0	1	0
0	1	1	0
1	0	0	1

Выражение (¬(¬А)  С) Ú B  (¬C) равносильно: а) A Ú (¬C) ; б) (¬A) Ú B; в) A  (¬C).

Индивидуальные задания

Вариант 1.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 2.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 3.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 4.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 5.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 6.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 7.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 8.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 9.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)

Вариант 10.

1. Постройте таблицу истинности для следующего логического выражения:

2. Установить, равносильны ли два высказывания:

и

3. Упростить логические выражения:

а)

б)