МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Методы оптимальных решений

Вариант 7

Исполнитель: студент

Специальность экономическая безопасность

Группа ЭПБ-12П

Ф.И.О Семкова Наталья Николаевна

Пермь

2013

Задание №1

Решить графически

.

Для построения области допустимых решений строим граничные прямые, соответствующие данным ограничениям.

Областью решения есть многогранник:

Построив прямую, отвечающую значению целевой функции (на рисунке изображена красным пунктиром), находим максимальное и минимальное значение. Прямую двигаем параллельным образом до последнего касания обозначенной области.

Для нахождения максимума:

Прямая пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим:

,

Максимальное значение целевой функции:

Для нахождения минимума:

Прямая пересекает область в точке С. Так как точка С получена в результате пересечения прямых (4) и (5), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим:

,

Минимальное значение целевой функции:

Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (5), то на отрезке CA функция F(x) будет принимает одно и тоже минимальное значение.

Задание №2

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли, используя симплексный метод, а также построить двойственную задачу и решить ее симплекс-методом.

Составим математическую модель.

Пусть – количество изделий (где– количество видов изделий, ). То есть, – количество изделий первого вида, – количество изделий второго вида и т.д. Известно – количество единиц ресурсов (, где – количество видов ресурсов, ) в единице продукции. Тогда – количество единиц ресурсов -ого вида для изделия -ого вида. Общее количество ресурсов будет иметь вид: , где – количество ресурсов -ого вида, что есть в наличии. Известно, что – стоимость единицы продукции -ого вида. Тогда – общая стоимость продукции-ого вида, а общая стоимость всей продукции будет иметь вид: .

То есть, математическая модель задачи имеет вид:

Найти максимум линейной функции при условии: , , .

F=3.7+3+6+2

Введением дополнительных неотрицательных переменных, преобразуем ограничения в систему уравнений.

F=3.7+3+6+2

=>

Строим симплексную таблицу и решаем симплекс-методом.

№	Базис
0		5	8	3	8	1	0	0	85	28 1/3
		7	6	9	3	0	1	0	100	11 1/9 (min)
		3	7	10	5	0	0	1	150	15
		-3.7	-3	-6	-2	0	0	0

Получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,85,100,150). Он неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке выбрали максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выбрали столбец, соответствующий переменной , так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислили значения по строкам и из них выбрали наименьшее. Следовательно, 2-ая строка является ведущей. Разрешающий элемент (9) находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Следующие преобразования таблицы: заполняем расчетную строку теми же элементами, разделенными на расчетный; остальные элементы расчетного столбца заполняем 0; остальные ячейки заполняются элементами, вычисленными по формулам: , где – новый элемент, –начальное значение элемента, – расчетный элемент, образующий с первую диагональ квадрата , – элементы, образующие вторую диагональ квадрата .

№	Базис
1		2.67	6	0	7	1	-0.33	0	51.67
		0.78	0.67	1	0.33	0	0.11	0	11.11
		-4.78	0.33	0	1.67	0	-1.11	1	38.89
		0.97	1	0	0	0	0.67	0	66 2/3

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов – найден оптимальный план: X = (0,0,11.11,0,51.67,0,38.89).

По условиям прямой задачи:

F=3.7+3+6+2

формируем двойственную задачу:

F=85+100+150

Введением дополнительных неотрицательных переменных, преобразуем ограничения в систему уравнений.

T=85+100+150

=>

Строим симплексную таблицу и решаем симплекс-методом.

№	Базис
0		5	7	3	-1	0	0	0	3.7	0,74
		8	6	7	0	-1	0	0	3	0,38
		3	9	10	0	0	-1	0	6	2,00
		8	3	5	0	0	0	-1	2	0,25 (min)
		-85	-100	-150	0	0	0	0	0

№	Базис
1		0	5,13	-0,13	-1	0	0	0,63	2,45	3,92
		0	3	2	0	-1	0	1	1	1 (min)
		0	7,88	8,13	0	0	-1	0,38	5,25	14
		1	0,38	0,63	0	0	0	-0,13	0,25
		0	-68,13	-96,88	0	0	0	-10,63	21,25

№	Базис
2		0	3,25	-1,38	-1	0,63	0	0	1,83	2,92 (min)
		0	3	2	0	-1	0	1	1	-
		0	6,75	7,38	0	0,38	-1	0	4,88	13
		1	0,75	0,88	0	-0,13	0	0	0,38	-
		0	-36,25	-75,63	0	-10,63	0	0	31,88

№	Базис
3		0	5,2	-2,2	-1,6	1	0	0	2,92
		0	8,2	-0,2	-1,6	0	0	1	3,92
		0	4,8	8,2	0,6	0	-1	0	3,78	6,3 (min)
		1	1,4	0,6	-0,2	0	0	0	0,74
		0	19	-99	-17	0	0	0	62,9

№	Базис
4		0	18	19,67	0	1	-2,67	0	13	0,72
		0	21	21,67	0	0	-2,67	1	14	0,67
		0	8	13,67	1	0	-1,67	0	6,3	0,79
		1	3	3,33	0	0	-0,33	0	2	0,67
		0	155	133,33	0	0	-28,33	0	170

Получим первый опорный план: Y1 = (2,0,0,6.3,13,0,0.67). Он неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.

№	Базис
5		0	0	1,1	0	1	-0,38	-0,86	1
		0	1	1,03	0	0	-0,13	0,05	0,67
		0	0	5,41	1	0	-0,65	-0,38	0,97
		1	0	0,24	0	0	0,05	-0,14	0
		0	0	-26,59	0	0	-8,65	-7,38	66,67

Конец итераций: индексная строка не содержит положительных элементов – найден оптимальный план: Y = (0,0.67,0,0.97,1,0,0).