- •Вопрос 1. Понятие систем линейных уравнений. Их решения.
- •Вопрос 2.Методы решение систем линейных уравнений.
- •Вопрос 3. Определители 2-го и 3-го порядка
- •Вопрос 4 Определители n-го порядка.
- •Вопрос 5. Понятие минора и алгебраического дополнения.
- •Вопрос 6. N-мерные векторы, операции над ними.
- •Вопрос 7 Понятие эн-мерного векторного пространства. Линейная зависимость вектора.
- •Вопрос 10. Ранг матрицы.
- •Вопрос 8. Определение ранга матрицы
- •Вопрос 9.10.11
- •Вопрос 12.Обратная матрица
- •Вопрос 15. Плоскость. Взаимное расположение плоскостей.
- •Вопрос 16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Вопрос 17. Основные понятия и свойства функций
- •Вопрос 18.Понятие элементарной функции и их классификация.
- •Вопрос 19.Числовая последовательность и её пределы.
- •Вопрос 20. Предел функции основные понятия о пределах. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин
- •Вопрос 24. Правила дифференцирования
- •25. Производная основный элементарных функций. Таблица производных
- •Вопрос 26. Понятие Дифференциала и его свойства. (продолжение вопрос 24)
- •Вопрос 27. Теорема о промежуточном значении.
- •Вопрос28.Применение производной в исследовании функций
- •Вопрос 29:Понятие экстремума функции
- •Вопрос 30. Выпуклые функции.
- •Вопрос 33.
- •Вопрос 34. Экстремумы функций нескольких переменных. (Не весь)
- •Вопрос 36 Методы интегрирования.
- •Вопрос 37. Определенный интеграл Римана, Дарбу, Ньютона-Лейбница, виды интегрируемых функций.
- •Вопрос 39 Несобственные интегралы
Вопрос 12.Обратная матрица
Обра́тная ма́трица — такая матрицаA−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицуE:
Квадратная матрицаобратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть еёопределительне равен нулю. Для неквадратных матриц ивырожденных матрицобратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввестипсевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Свойства обратной матрицы
, где обозначаетопределитель.
для любых двух обратимых матриц и.
где обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента .
Если необходимо решить систему линейных уравнений, (b — ненулевой вектор) где— искомый вектор, и еслисуществует, то. В противном случае либо размерностьпространстварешений больше нуля, либо их нет вовсе.
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
Метод Гаусса—Жордана
Возьмём две матрицы: саму A и единичнуюE. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равнойA−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц (трансвекциюилидиагональную матрицус единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
.
.
Вторая матрица после применения всех операций станет равна , то есть будет искомой. Сложность алгоритма —.
С помощью матрицы алгебраических дополнений
—транспонированная матрица алгебраических дополнений;
Полученная матрица A−1 и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.
Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определительисходной матрицы и умноженной натранспонированную матрицуалгебраических дополненийэлементов исходной матрицы.
Выбор начального приближения
Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору, обеспечивающие выполнение условия(спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы(а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и, то можно взять, где; если же A — произвольная невырожденная матрица и, то полагают, где также; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что, положить). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, чтобудет малой (возможно, даже окажется), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.
Примеры
Матрица 2х2
Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .
вопрос 13Кривые второго порядка. К кривым второго порядка относятся эллипс, гипербола и парабола. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах2 + 2Вху +Су2 + 2Дх + 2Еу +F = 0, где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А2+В2+С2≠0.
Эллипс.Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина).
Каноническое уравнение эллипса:
Х и у принадлежат эллипсу. а – большая полуось эллипса. b – малая полуось эллипса
У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса. Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.
Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)
Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная , отличная от ноля.
Каноническое уравнение гиперболы
Гипербола имеет 2 оси симметрии: а – действительная полуось симметрии ,b – мнимая полуось симметрии
Ассимптоты гиперболы:
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы: У2=2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)
Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β)2=2р(х-α) Вопрос 14.Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых.
Взаимное расположение прямых.
Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:
– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;
– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;
– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;
– прямые совпадают.
Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями:
где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.
Расстояние между параллельными прямыми.
Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)
где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:
Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторахи , и может быть найдено по формуле (4.35).
Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.