- •Вопрос 1. Понятие систем линейных уравнений. Их решения.
- •Вопрос 2.Методы решение систем линейных уравнений.
- •Вопрос 3. Определители 2-го и 3-го порядка
- •Вопрос 4 Определители n-го порядка.
- •Вопрос 5. Понятие минора и алгебраического дополнения.
- •Вопрос 6. N-мерные векторы, операции над ними.
- •Вопрос 7 Понятие эн-мерного векторного пространства. Линейная зависимость вектора.
- •Вопрос 10. Ранг матрицы.
- •Вопрос 8. Определение ранга матрицы
- •Вопрос 9.10.11
- •Вопрос 12.Обратная матрица
- •Вопрос 15. Плоскость. Взаимное расположение плоскостей.
- •Вопрос 16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Вопрос 17. Основные понятия и свойства функций
- •Вопрос 18.Понятие элементарной функции и их классификация.
- •Вопрос 19.Числовая последовательность и её пределы.
- •Вопрос 20. Предел функции основные понятия о пределах. Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин
- •Вопрос 24. Правила дифференцирования
- •25. Производная основный элементарных функций. Таблица производных
- •Вопрос 26. Понятие Дифференциала и его свойства. (продолжение вопрос 24)
- •Вопрос 27. Теорема о промежуточном значении.
- •Вопрос28.Применение производной в исследовании функций
- •Вопрос 29:Понятие экстремума функции
- •Вопрос 30. Выпуклые функции.
- •Вопрос 33.
- •Вопрос 34. Экстремумы функций нескольких переменных. (Не весь)
- •Вопрос 36 Методы интегрирования.
- •Вопрос 37. Определенный интеграл Римана, Дарбу, Ньютона-Лейбница, виды интегрируемых функций.
- •Вопрос 39 Несобственные интегралы
Вопрос 3. Определители 2-го и 3-го порядка
определители 2-го порядка
1. Определения. В ряде вопросов математики используются некоторые специальные выражения, называемые определителями (или детерминантами). Простейшие из них – это так называемые «определители 2-го порядка». Покажем, как эти определители возникают при решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему
а1x + b1y = c1,
а2x + b2y = c2.
Чтобы исключить неизвестное у, умножим второе уравнение на b1 и вычтем то, что получится, из первого уравнения, умноженного на b2. В результате окажется
(а1 b2 – а2 b1) х = c1 b2 – c2 b1.
Коэффициент при х записывается в виде и называется определителем 2-го порядка. Таким образом, определитель 2-го порядка есть некоторое число, определяемое как числами а1, а2, b1, b2, так и их взаимным расположением. Это расположение задается квадратной таблицей .
Чтобы подчеркнуть, что эта таблица рассматривается как нечто целое, ее окаймляют круглыми скобками или двумя парами вертикальных чёрточек: или.
Такие таблицы называют матрицами 2-го порядка. Про определитель говорят, что он порождён матрицей. Необходимо чётко понимать разницу между определителем и матрицей. Первый есть число, а вторая – просто таблица, составленная из четырёх чисел.
Итак, определителем матрицы называется число, находимое по формуле:
Det = а1 b2 – а2 b1.
Числа а1, а2, b1, b2 называют элементами определителя и порождающей его матрицы. Различают также первый столбец и второй столбец, первую строкуи вторую строку. Строки и столбцы определителя называютрядами. Пара чисел а1, b2 образуют главную диагональ (+) определителя, пара чисел а2, b1 – вторую диагональ (–).
2. Основные свойства определителей 2-го порядка.
I. Определитель не изменится, если его строки превратить в столбцы, а столбцы в строки (равноправность строк и столбцов):
II. При перестановке строк (столбцов) определитель меняет знак:
III. Если строки (столбцы) определителя одинаковы, то определитель равен нулю:
IV. Если все элементы одной из строк определителя умножить на некоторое число, то весь определитель умножится на это число, т.е. общий множитель элементов одной строки можно вынести за знак определителя:
V. Если элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю:
VI. Если к одной из строк прибавить другую, умноженную на любое число, то определитель не изменится:
определители 3-го порядка
Определение. Определителем третьего порядка называется число:
= a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 – a3 b2 c1 – a2 b1 c3 – a1 b3 c2 .
Примеры.
= 72 + 280 +18 – 168 – 135 – 16 = 51; = -9 + 28 – 20 – 10 – 24 – 21 = – 56.
2. Основные свойства определителей 3-го порядка.
Те же свойства, что и у определителей 2-го порядка.
3. Миноры и алгебраические дополнения.
Если в матрице 3-го порядка вычеркнуть строку и столбец, то определитель, порождённый оставшейся матрицей 2-го порядка, называется минором того элемента, на котором пересекаются вычеркнутые ряды.
Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, умноженный на (-1)p , где р – сумма номеров рядов, пересекающихся , пересекающихся на нашем элементе.
Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов парных произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.