Вопрос 24. Правила дифференцирования

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u±v)' = u'±v'

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

(u — v + w)' = u' — v' + w'

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

(uv)' = u'v + uv'

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)' = cv' (с = const).

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

Например, (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'

Теорема 3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

Теорема 4. Если y = f(u) и и = (ф(х)) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f (ф(х)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

25. Производная основный элементарных функций. Таблица производных

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ееаргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Вопрос 26. Понятие Дифференциала и его свойства. (продолжение вопрос 24)

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке x существует конечная производная ,Тогда по определению предела функции разностьявляется бесконечно малой величиной при х стремящемуся к нулю.

Выразив из равенства (1) приращение функции, получим . Если у неравно 0, то в правой части равенства первое слагаемоеy∆x линейно относительно ∆х. Поэтому при ∆х стремящемуся к нулю, оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и ∆х. Второе слагаемое α∆х- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение α\y стремится к нулю при ∆x стремящемуся к нулю.

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно ∆х частью приращения функции; чем меньше ∆х , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях ∆х (и при у не равно 0 ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью у∆х , т.е (3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают dy, следовательно

Дифференциал функции представляет собой преращение ординаты касательной, проведённой к графику функции y=f(x) в данной точке, тогда х получает преращение ∆х.

Свойства

1. С= const

dC=0

2. d (U+- Y) = dU+-dY)

3. d(U*Y)= Y*dU+U*dY

4. d(U\Y)= Y*dU-U*dY\Y^2

5. d(CU) = CdU

6. Рассмотрим сложную функцию y=f(u(x)). Пусть функции y=f(u), u=u(x) дифференцируемы, тогда

Таким образом, если аргументом функции является функция другого аргумента, то форма дифференциала совпадает с формой дифференциала (7), когда аргументом функции является независимая переменная. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.