23. Нормальные системы дифференциальных уравнений и их решение методом исключения неизвестных

Система дифф. ур-ий вида , гдеx– независимая переменная,- неизвестные функции, наз-ся нормальной системой дифф. ур-ий. решением этой системы назыв. набор изnф-ий, при подстановке которых в каждое ур-е системы получается тождество. Решение задачи Коши для этой системы: нахождение решений этой системы, удовл. заданным начальным условиям. Каждую нормальную систему можно свести к дифф. ур-ю с одной неизвестной ф-ей. Это происходит путем исключения неизвестных.

24. Определение числового ряда и его сходимость. Необходимое условие сходимости числового ряда

опр.:Бесконечная сумма, гденаз-ся числовым рядом.n-ая частичная суммаполучается последовательность частичных суммS_nряда. ЕслиS_nсходится, то ряд сходится и его сумма равна. Если жеS_nрасходится, то ряд также расходится.теор.:Если рядсходится, то.следствие:Еслиили не сущ-ет, торасходится.док-во:Пустьсходится, тогда.

25. Свойства сходящихся числовых рядов

теор.:Пусть рядыисх-ся, причеми, тогда:1)сх-ся и;2)сх-ся и;3)-n-ый остаток ряда,док-во:1)Рассм..;2)Рассм..

;3).

26. Сходимость числовых рядов с неотрицательными членами

, где- числовой ряд с неотрицат. членами.посл-ть частичных сумм- неубывающая посл-ть, отсюдасходится тогда и только тогда, когдаограничена сверхувернатеорема:Ряд с неотрицат. членами сх-ся тогда и только тогда, когдаограничена сверху.

27. Признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами.

теор.:Пустьи- числовые ряды с неотрицат. членами,, тогда:1)Еслисх-ся, тогдатоже сходится;2)Еслирасходится, тотоже расх-ся.следствие:Если, то ряды сх-ся или расх-ся одновременно.док-во:

если,еслисх-ся, тоограничена сверхуограничена сверхусх-ся. Если жерасходится, тонеограничена сверхунеогран. сверхурасх-ся., т.е.для, т.е.. Из теоремы следует, что ряды сходятся или расходятся одновременно.

28. Признак Даламбера для числовых рядов с неотрицательными членами

теор.:- числовой ряд с положит. членами и. Тогда:1)q<1 – ряд сх-ся;2)q>1 – ряд сх-ся;3)q=0 – требуется дополнит. исследование.док-во:1)q<1. Возьмем, тогда, т.е.и т.д. Получаем, что. Рассм. ряд- сх-ся, отсюда по признаку сравнениясх-ся;2)q>1. Возьмем, тогда, т.е.и т.д. Получаем, что.расх-ся.3)q=1. Рассм. ряд- он сх-ся.. Рассм.- расходится,нужно дополнительное исследование.

29. Радикальный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членами

теор.:- числовой ряд с неотриц. членами и. Тогда:1)q<1 – ряд сх-ся;2)q>1 – ряд сх-ся;3)q=0 – требуется дополнит. исследование.док-во:1)q<1. Возьмем, тогда. Рассм.- сх-ся, т.к.по признаку сравнениясх-ся;2)q<1. Возьмем, тогдарасх-ся;3)q=1. Рассм. ряд- он сх-ся.. Рассм.- расходится,нужно дополнительное исследование.

30. Интегральный признак Коши для числовых рядов с неотрицательными членам

теор.:- числовой ряд с неотриц. членами,- невозрастающая ф-я.. Тогдасх-ся или расх-ся одновременно сдок-во:Возьмеми рассмотрим [k,k+1].. Проинтегрируем это неравенство по [k,k+1]:, т.е.;. Еслисх-ся, то. Рассм.., где- неубывающая ф-я, огран. сверху числомS- конечный. Пустьрасх-ся, тогдарасх-ся. Пустьсх-ся иn=Iи.- неубывающая последовательность, ограниченная сверху- конечный, и, значит, ряд сх-ся. . Пустьрасх-сяряд расх-ся.

31. Знакочередующиеся числовые ряды. Признак Лейбница

опр.:Ряд вида, где, наз-ся знакочередующимся.теор.:Пусть- знакочередующийся ряд. Если 1), 2), то этот ряд сходится.док-во:;;

, но, т.е.- невозрастающая посл-ть., т.е.еще и ограничена снизу. Следовательно.

, т.е.- неубывающая посл-ть.

ограничена сверху, следовательно.- перейдем к пределу при, получим, чтоиесли взять, то, т.е. ряд сходится.

32. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки Даламбера и Коши для произвольных числовых рядов

опр.:Рядабсолютно сходится, если сходится ряд.опр.:Если рядсх-ся, но не абсолютно, то он сходится условно.теор.(признак Даламбера для произв. рядов):- произв. числовой ряд. Пусть, тогда если:1)q<1, то ряд абс. сх-ся,2)q>1, то ряд абс. расх-ся,3)q=1, то нужно доп. исслед-е.док-во:1)q<1по пр. Даламбера для рядов с неотрицат. членамисх-ся, следовательноабсол. сх-ся;2)q>1. Рассм.расх-ся.теор.(радикальный признак Коши для рядов с произвольными членами):- ряд с произв. членами. Пусть, тогда если:1)q<1, то ряд абс. сх-ся,2)q>1, то ряд абс. расх-ся,3)q=1, то нужно доп. исслед-е.док-во:1)q<1. по признаку Коши для рядов с неотрицат. членамисх-ся, следовательноабсол. сх-ся;2)q>1. Рассм.расх-ся.теор.:Если ряд абсолютно сх-ся, то он сходится.