7. О приведении матрицы преобразования к диагональному виду.
Предложение
8. Матрица
линейного преобразования
в базисе
имеет диагональный вид
все векторы базиса – собственные векторы
преобразования.
Доказательство.
Действительно, если
-
собственный, то![](/html/537/286/html_mq3lz4tSmU.EivH/img-cSnp5a.png)
![](/html/537/286/html_mq3lz4tSmU.EivH/img-NuqkJV.png)
-ый
элемент столбца
,
равен
,
а остальные равны нулю. Обратно,
аналогично. ■
Предложение
9. Если
преобразование имеет и попарно различных
собственных значений, то существует
базис из собственных векторов этого
преобразования.
Доказательство.
Следует из теоремы
4.
Может оказаться,
что собственное значение имеет кратность
,
но существует
линейно независимых собственных
векторов.