6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Далее особо будем рассматривать одномерные инвариантные подпространства.

Пусть - одномерное инвариантное подпространство, порождаемое вектором, т.е..

Определение12. Вектор , удовлетворяющий условию

(3)

называется собственным вектором, а соответствующее число - собственным числом (характеристическим числом) линейного оператора.

Итак, если - собственный вектор, тообразуют одномерное инвариантное подпространство и обратно, все векторы одномерного инвариантного подпространства являются собственными.

Теорема 3. В комплексном линейном пространстве всякое линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор.

Доказательство. Пусть - базис в, т.е.. Пусть матрица линейного операторав базисеимеет вид:. Условием того, что- собственный вектор имеет вид:

.

(4)

Т.о., задача построения собственных чисел и собственных векторов сводится к решению системы (4). Эта система однородных уравнений, она имеет нетривиальное решение , если ее определитель равен нулю, т.е.

(5)

или кратко

.

(5’)

Это уравнение степени относительно. Оно имеет хотя бы один (комплексный) корень. Подставляя в (4) вместонайденное, получим однородную систему с определителем равным нулюона имеет ненулевое решение- собственный вектор, а- собственное значение. ■

Многочлен, стоящий в левой части (5), называется характеристическим многочленом матрицы , само уравнение (5) – характеристическим уравнением матрицы. В процессе доказательства было показано, что корни характеристического многочлена - собственные значенияи обратно, собственные значения преобразования- корни характеристического многочлена.

Т.о. собственные значения преобразования определяются независимо от базиса, то должно быть, что корни характеристического многочлена не зависят от базиса. Далее будет показано, что, более того, сам характеристический многочлен не зависит от базиса. Потому говорят о характеристическом многочлене преобразования(а не о характеристическом многочлене матрицы).

Замечание. Если рассматривать вещественные числа и вещественные линейные пространства, то решений уравнения (5) может не быть, ,,. Выпишем вид характеристического многочлена:, где- след матрицы.

Пример. ,.

Свойства собственных векторов и собственных значений.

1) Все собственные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, в месте с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Действительно, они получены как решения СЛОУ образуют линейное подпространство.

2) Теорема 4. Если собственные векторы , принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Доказательство. (Методом математической индукции). - очевидно. Пусть верно для. Докажем, для. Предположим противное. Пусть:

.

(6)

Пусть . Подействуемна это равенство. Имеем,. Умножив (6) на, вычитая из последнего равенства, имеем. Т.е., получили, чтовекторлинейно зависимы. Получили противоречие. ■

3) Если и- матрицы линейного преобразованияв различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают. Действительно,.

4) Известно, что у характеристического многочлена могут быть простые корни, т.е. кратности 1, а могут быть кратные корни.

Теорема 4. Пусть - корень характеристического многочлена кратности. Тогда, ему соответствует не болеелинейно независимых собственных векторов.

Доказательство. Пусть имеется линейно независимых собственных векторов, соответствующих:. Дополним их до базиса в:. В этом базисе матрицаимеет вид, где- матрица размера. Составим матрицуи вычислим для нее определитель. Раскладывая его по первым столбцам, получаем:. По определению кратности,. ■

Замечание. Характеристическому значению кратности могут соответствовать меньше, чемлинейно независимых собственных векторов: например,,. Один независимый собственный вектор.

5) Линейное преобразование имеет собственное значение равное нулю оно не является взаимно однозначным.

Доказательство. . Еслии обратно. ■