2. Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением.

В случае, если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.

В общем случае неосторожный выбор базиса может запутать картину.

Чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем тянуть цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование.

Определение 4. Векторы из пространства называются относительно линейно независимыми над пространством, если их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит.

Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из V_n относительно линейно зависимы над любым подпространством.

Определение 5. Базисом пространства V_n относительно подпространства L называется такая система е₁,…,е_к линейно независимых векторов из V_n, которая после пополнения каким-нибудь базисом из L образует базис во всем пространстве.

Такой базис легко построить. Для этого достаточно выбрать какой-нибудь базис в L, дополнить его до базиса во всём пространстве и затем отбросить векторы исходного базиса из L. Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.

Всякую систему относительно линейно независимых векторов над L можно дополнить до относительного базиса. Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой-нибудь базис подпространства L. Получится некоторая система векторов из V_n , которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить относительный базис, нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве V_n , а затем отбросить базис подпространства L.

Итак, пусть преобразование в пространствеV имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности, можно предположить, что оно равно нулю.

Рассмотрим снова цепочку (5) подпространств, полученных в п.1:

0N₀⁽¹⁾…N₀^(p) = N₀^(p+1) =…,

где подпространство N₀^(k) есть ядро преобразования ^k. Так как преобразование в пространствеV не имеет отличных то нуля собственных значений, то, очевидно, N^(p) совпадает при этом со всем пространством V.

Выберем в максимальном из этих подпространств N₀^(p) базис относительно содержащегося в нем подпространства N₀^(p-1). Пусть векторы этого базиса будут

e₁,…,e_q.

Очевидно, что это будут присоединенные векторы (р-1)-го порядка. Мы уже видели (см. упражнение на стр.211), что N₀^(p)N₀^(p-1). Поэтому векторы

Аe₁,…,Аe_q

лежат в N₀^(p-1). Покажем, что эти векторы линейно независимы вN₀^(p-1)относительно лежащего в нем подпространстваN₀^(p-2).Действительно, пусть не все_i= 0 и

₁Ае₁+…+_q Ае_q= А(₁е₁+…+_q е_q)N₀^(p-2).

Тогда вектор х = ₁е₁+…+_q е_q N₀^(p-2), а это противоречит предположению, что векторыe₁,…,e_qлинейно независимы надN₀^(p-1).

Дополним векторы Ае₁,…, Ае_qдо базиса вN₀^(p-1)относительноN₀^(p-2). Мы получим тогдаq+sвекторов Ае₁,…, Ае_q,f₁,…,f_s,

которые представляют собой максимальное число линейно независимых присоединенных векторов порядка р-2.

Снова применим к этим векторам преобразование А и полученную систему векторов из N₀^(p-2)дополним, как и выше, до базиса вN₀^(p-2)относительно

N₀^(p-3).

Продолжая этот процесс, мы дойдем до подпространства N₀^(p)и выберем базис в этом пространстве, состоящий из максимального числа линейно независимых собственных векторов.

Расположим полученные векторы в следующую таблицу

e₁ … e_q

е₁…е_qf₁…f_s

² е₁…²е_qf₁…f_s (12)

…………………………………………..

…………………………………………..

^р-1 е₁… ^р-1 е_q ^р-2f₁…^р-2f_s…h₁…h_r

Векторы нижней строчки образуют базис в подпространстве N₀⁽¹⁾. Векторы двух нижних строчек образуют базис вN₀⁽²⁾, так как это есть базисN₀⁽²⁾относительноN₀⁽¹⁾в соединении с базисомN₀⁽¹⁾. Векторы трех нижних строчек образуют базис вN₀⁽³⁾и т.д. Наконец, все векторы таблицы образуют базис вN₀^(p), т.е. во всем пространствеV.

Покажем, что в этом базисе матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Действительно, рассмотрим произвольный столбец таблицы (12), например, для определенности первый.

Обозначим для удобства ^р-1е₁через₁,^р-2е₂– через₂и т.д. и рассмотрим действие преобразованияна каждый из этих векторов. Так как₁– собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению, то А₁= 0.

Дальше, по определению,

₂ =^р-2е₁ =^р-1е₁ =₁

и аналогично

₃ =₂,

……………

_р =_р-1.

Таким образом, преобразование переводит векторы первого столбца снова в себя, т.е. подпространствоL, натянутое на эти векторы, инвариантно относительно. Матрица преобразования А в подпространствеLв базисе

₁,…,_римеет вид

(13)

Матрица (13) есть жорданова клетка, отвечающая собственному значению =0. ОбозначаетсяJ_p(0). Аналогичное инвариантное подпространство отвечает каждому из столбцов таблицы (12), и размерность каждого такого подпространства равна числу векторов в соответствующем столбце. Так как матрица преобразования А в базисе, состоящем из векторов какого-либо столбца таблицы (12), имеет вид (13), то матрица преобразования во всем пространствеVв базисе, состоящем из всех векторов таблицы (12), состоит из жордановых клеток, число которых равно числу столбцов в этой таблице, а размер каждой клетки равен числу векторов соответствующего столбца.

Если вместо преобразования рассмотреть преобразование+₁Е, то, так как матрица преобразования₁диагональна, мы получим тот же результат для преобразования пространстваV, имеющего только одно собственное значение, равное произвольному числу₁. Соответствующие жордановы клетки матрицы преобразования+₁Е будут иметь вид:

J_p(₁)=. (14)

Вспоминая теперь, что для произвольного преобразования мы можем разложить пространствоVв сумму инвариантных подпространств, в каждом из которых преобразование А имеет только одно собственное значение (см. формулу (11)), мы получаем отсюда полное доказательство теоремы.

Теорема.Пусть задано произвольное линейное преобразование А в комплексном пространствеnизмерений. Предположим, что у А имеетсяk(kn) линейно независимых собственных векторов

e₁,f₁,…,h₁,

соответствующих собственным значениям ₁,₂,…,_к. Тогда существует базис, состоящий изkгрупп векторов *):

e₁,…е_р;f₁,…,f_q; h₁,…h_s, (1)

В котором преобразование А имеет следующий вид:

Ае₁=₁е₁, Ае₂= е₁+₁е₂,…, Ае_р= е_р-1+₁е_р;

Аf₁=₂f₁, Аf₂= f₁+₂f₂,…, Аf_q= f_q-1+₂f_q;

…………………………………………………. (2)

Аh₁=_kh₁, Аh₂=h₁+_kh₂,…, Аh_s=h_s-1+_kh_s.

4^o. Примеры. Найти жорданову форму матрицы и матрицу перехода к жордановому базису для преобразования, заданного в исходном базисе матрицей

а) А= .

Характеристический многочлен |A-E| = 0(1-)⁴=0=1 – собственное значение. |A-1E|х = 0~единственный собственный вектор (1;0;0;0)^Т:N₁⁽¹⁾(1;0;0;0)^Т .

(A-E)²==.

(A-E)²x=0 dim N₁⁽²⁾=2.

(A-E)³==~(0;0;0;1)dim N₁⁽³⁾=1.

(A-E)⁴=0 dim N₁⁽⁴⁾=4.

e₁= (0;0;0;1)^T; (A-E)e₁= (4;3;2;0)^T;

(A-E)²e₁= (12;4;0;0)^T;

(A-E)³e₁= (8;0;0;0)^T.

=, || = 64.

^-1=.

A’=^-1A=.

б)

А=.

|A-E| === [(-2)+1]²= = (²-2+1)²=(-1)⁴.

(А-Е) = ~~ 2 собственных вектора,dimN₁⁽¹⁾=2.

(А-Е)²==~ ~(0;0;1;1).dimN₁⁽²⁾=3.

(А-Е)³==dimN₁⁽³⁾=4.

е₁=(0;0;0;1)^Т.

(А-Е)е₁=(-3;4;-1;1)^ТN₁⁽²⁾.

(А-Е)²е₁=(-2;2;0;0)^ТN₁⁽¹⁾-собственный вектор.

Другой собственный вектор: (0;-1;-1;1).

.|| ==8-6+2=4.

^-1=.

A’=^-1A==

===

=.

1В самом деле, если- собственное значение преобразования, т.е., то, т.е.- собственный вектор, отвечающий собственному значению.