3º. Поверхности второго порядка в пространстве.
Мы рассмотрим ортонормированный базис такой, что квадратичная форма (4) принимает диагональный вид:
.
(7)
Здесь
лишь предполагается, что
не равны одновременно нулю.
Напомним, что как и для кривых второго порядка справедлива
|
название |
Каноническое уравнение |
R |
|
r |
|
|
Эллипс
Мнимый эллипс
Пара мнимых пересекающихся прямых Гипербола
Пара пресекающихся прямых
Парабола
Пара параллельных прямых Пара мнимых параллельных прямых Две совпадающие прямые |
|
3
3
2
3
2
3
2
2
1 |
1
3
2
1
0
1
0
2
1 |
2
2
2
2
2
1
1
1
1 |
2
2
2
0
0
1
1
1
1 |
3. Ортогональные инварианты. Вместе с малой квадратичной формой мы можем рассматривать ее присоединенное преобразование. Если пользоваться только прямоугольными системами координат, то матрица малой квадратичной формы совпадает с матрицей присоединенного преобразования. Поэтому коэффициенты ее характеристического многочлена не меняются при замене одной декартовой прямоугольной системы координат другой такой же системой.
Определение 2. Величины, не меняющиеся при замене одной декартовой прямоугольной системы координат на другую декартову прямоугольную систему, называются ортогональными (или евклидовыми) инвариантами.
Итак, с линией связаны два ортогональных инварианта
,
.
-
след матрицы
,
- это детерминант
.
При произвольных заменах координат его
величина меняется, но знак (или обращение
в 0) остается инвариантным.
Замена базиса (6) имеет специальный вид, но если прямоугольная система координат меняется на прямоугольную, то матрица
(8)
ортогональная,
и ее детерминант равен 1 или –1. В этом
случае детерминант матрицы перехода S
в формуле (6) также равен
.
При замене базиса (6) детерминант матрицы
большой квадратичной формы умножается
на
,
т.е. остается неизменным. Мы получили
еще один ортогональный инвариант
уравнения второго порядка – известный
нам детерминант
, записанный несколько иначе:
.
Легко
видеть, что матрица перехода в формуле
(6) ортогональна тогда и только тогда,
когда ортогональна матрица (8) и
,
т.е. ортонормированный базис заменяется
на ортонормированный, а перенос начала
координат не производится. При этом
коэффициенты характеристического
многочлена матрицы большой квадратичной
формы не изменяется. Итак, коэффициенты
при
и
,
(9)
(10)
не
меняются при ортогональной замене
базиса и, возможно, меняются при переносе
начала координат. Величины такого типа
называются семиинвариантами
(т.е. полуинвариантами). Вычитая из (9) и
(10) соответственно
и
,
мы получаем семиинварианты
и
.
Впрочем,
то, что
- семиинвариант, видно и из формул (2).
Значения полученных здесь инвариантов и семиинвариантов позволяют найти коэффициенты в канонических уравнениях, и потому определяют линию второго порядка с точностью до положения на плоскости. Следует, однако, помнить, что эти величины связаны с многочленом второго порядка, а не с линией. Они меняются очевидным образом, если уравнение умножить на отличное от нуля число.
4. Поверхности второго порядка. Пусть уравнение (1) связывает координаты точки в трехмерном пространстве. В этом пункте мы покажем, что существует такая декартова прямоугольная система координат, при переходе к которой уравнение принимает один из 17 канонических видов.
В качестве базиса такой системы координат выберем тот ортонормированный базис, в котором малая квадратичная форма имеет диагональный вид. Таким образом, мы будем исходить из уравнения
(11)
и
запомним, что уже выбран определенный
ортонормированный базис. На коэффициенты
уравнения не накладывается никаких
ограничений, за исключением того, что
и
не обращаются в нуль одновременно.
Дальнейшие упрощения определяются
следующим вспомогательным предложением.
Предложение 3. Если в уравнение (11) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.
Это доказывается так же, как и предложение 1 § 1 гл. III.
Лемма. Если в уравнение (7) входит квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.
Доказательство. Аналогично кривым.
Итак, дадим классификацию (7) по r, R, s, S.
-
r = 3, т.е.
одновременно
по лемме, (7) принимает вид
.
I.1.
R = 4, т.е.
I.1.а.
S
= 4
и –1 одного знака
-
мнимый эллипсоид.
I.1.б. S = 2, s = 3 – эллипсоид.
I.1.в.
S
= 2, s
= 1
- двуполостной гиперболоид.
I.1.г.
S
= 0, s
= 1
- однополостной гиперболоид.
I.2.
R
= 3
S
= s
I.2.а.
s
= 3 -
- мнимый конус.
I.2.б. s = 1 – конус второго порядка.
-
r = 2, т.е. одно из собственных значений = 0
.
Матрица квадратичной формы (5):
,
.
II.1.
Если R
= 4, то переносом вдоль
.
.
II.1.а.
s
= 2, т.е.
и
одного знака
эллиптический параболоид.
II.1.б. s = 0 – гиперболический параболоид.
II.2.
R
= 3
.
Это 5 цилиндров: S = 1, s = 2 – эллиптический
S = 1, s = 0 – гиперболический
S = 0, s = 0 – пара пересекающихся плоскостей
S = 2, s = 2 – пара мнимых пересекающихся плоскостей
S = 1, s = 1 – мнимый эллиптический цилиндр.
-
r = 1.
.
III.1.
Если
, то
- параболический цилиндр( образующая
|| Oz, направляющая линия
– линия
III.2.
пара параллельных плоскостей, пара
мнимых параллельных плоскостей, пара
совпадающих плоскостей.
|
№ |
название |
Каноническое уравнение |
R |
S |
r |
s |
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17 |
“Мнимый эллипсоид”
Эллипсоид
Однополостной гиперболоид
Двуполостной гиперболоид
“Мнимый конус”
Конус
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Эллиптический цилиндр
Мнимый эллиптический цилиндр Гиперболический цилиндр
Пара пересекающихся плоскостей Пара мнимых пересекающихся плоскостей Параболический цилиндр
Пара параллельных плоскостей Пара мнимых параллельных плоскостей Пара совпадающих плоскостей |
|
4
4
4
4
3
3
4
4
3
3
3
2
2
3
2
2
1 |
4
2
0
2
3
1
2
0
1
3
1
0
2
1
0
2
1 |
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 |
3
3
1
1
3
1
2
0
2
2
0
0
2
1
1
1
1 |
