Juk_Ilyenko_Moklyachuk_Orlovskiy_DM_praktikum

9.= ({1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (1, 5), (1, 4)});

10.= ({1, 2, 3, 4, 5}, {(4, 3), (5, 1), (1, 2)});

11.= ({1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (4, 5)});

12.= ({1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (2, 3), (4, 5), (5, 3)});

13.= ({1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (4, 5)});

14.= ({1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 5)});

60

ЗАНЯТТЯ 4

Функцiональнi вiдношення

Навчальнi задачi

№ 4.1. Задано спiввiдношення мiж множинами = { , , , } та =

{1, 2, 3, 4, 5} з графiком = {( , 2), ( , 1), ( , 5), ( , 4)}.

а) Визначити, чи буде дане спiввiдношення скрiзь визначеним, сюр’- єктивним, iн’єктивним та функцiональним.

б) Побудувати граф вiдношення.

в) Знайти образ множини = { , } та прообраз множини = {3, 4}.

Розв’язок. а) не є скрiзь визначеним, адже його область визначення { , , } не спiвпадає з множиною .

не є сюр’єктивним, адже його область значень {1, 2, 4, 5} не спiвпадають з множиною .

не є функцiональним, адже його графiк мiстить двi пари ( , 1)

та ( , 5) з однаковими другими та рiзними першими координатами.

є iн’єктивним, адже його графiк не мiстить пар з однаковими першими та рiзними другими координатами.

б) Зобразимо у виглядi графу.

61

в) Знайдемо образ ( ) та прообраз (−1)( ).

( ) = {1, 2, 5}, так як = { , } та {( , 2), ( , 1), ( , 5)} .

(−1)( ) = { }, так як = {3, 4} та ( , 4) .

№ 4.2. Побудувати не всюди визначене, не сюр’єктивне, не функцiональне та iн’єктивне спiввiдношення мiж нескiнченними множинами.

Розв’язок. Нехай = [0, 2], = (−∞, ∞), = {( , )| 2 + 2 = 1; ≥ 0}. Покажемо, що дане спiввiдношення має заданий набiр властивостей.

а) Побудоване спiввiдношення не є скрiзь визначеним, адже область його визначення [0, 1] ̸= .

62

б) Побудоване спiввiдношення не є сюр’єктивним, адже область його значень [−1, 1] ̸= .

в) Побудоване спiввiдношення не є функцiональним, адже точки (0, 1)

та (0, −1) належать графiку спiввiдношення, проте мають однакову першу та рiзнi другi координати.

г) Побудоване спiввiдношення є iн’єктивним, адже його графiк не мiстить пар з рiзними першими та однаковими другими координатами.

№ 4.3. Встановити бiєкцiю мiж множинами [0, 1] та (0, 1).

Розв’язок. Будемо вважати, що = [0, 1], = (0, 1). Нехай =

{12 , 13 , . . . , 1 , . . .}, = {0, 1, 12 , 13 , . . . , 1 , . . .} = {0, 1}. Очевидно, що

= , = , = .

Встановимо бiєкцiю мiж множинами та у виглядi тотожностi ( ) = . Бiєкцiю мiж множинами та задамо наступним

{( , ) | + = } та композицiю вiдношення самого на себе

Розв’язок. Знайдемо область визначення вiдношення ( ). Так як вiдношення симетричне, то ( ) = ( ), i ми автоматично знайдемо область значень.

63

Виразимо : + = (1 − ) = − = −1 . Отже, для визначеностi не може бути рiвним одиницi, тому ( ) = ( ) = {1}.

Знайдемо композицiю вiдношення самого на себе. Для того щоб знайти її, потрiбно розглянути пари ( , ) та ( , ), для яких дане вiдношення виконується. Це означає, що

+ ( − 1) =

+ − = = .

Отже, композицiєю вiдношення самого на себе буде вiдношення= {( , ) | = }.

№ 4.5. Перевiрити вiдношення = {( , ) 2| ( ) = 3 + } на бiєктивнiсть.

Розв’язок. Так як функцiя ( ) визначена для будь-якого , то вiдношення є всюду визначеним.

Вiдношення буде сюр’єктивним, адже для будь-якого можна пiдiбрати таке , що = 3 + .

64

Перевiримо вiдношення на функцiональнiсть. Для того, щоб не було функцiональним, потрiбно щоб iснували такi рiзнi 1 та 2 , що ( 1) = ( 2). Перевiримо, чи це можливо.

( 1) = 31 + 1 = ( 2) = 32 + 2

31 − 32 = 2 − 1

( 21 + 1 2 + 22)( 1 − 2) = 2 − 1

21 + 1 2 + 22 = −1

21 + 1 2 + 22 + 1 = 0

Останню рiвнiсть можна вважати квадратним рiвнянням вiдносно 1. Запишемо його дискримiнант:

= 22 − 4( 22 + 1) = −3 22 − 1 < 0

Аналогiчний результат отримаємо, вважаючи змiнною 2. Так як дискримiнант в обох випадках вiд’ємний, це означає, що дане рiвняння не буде мати розв’язкiв в дiйсних числах, тобто для рiзних 1 та 2 неможливе однакове значення ( 1) та ( 2). Це доводить те, що вiдношення є функцiональним.

Перевiримо вiдношення на iн’єктивнiсть. Для цього достатньо, щоб функцiя ( ) = 3 + була монотонною. Для перевiрки знайдемо похiдну: ′( ) = 3 2 + 1. Так як похiдна не перетворюється в нуль для всiх

65

б) Побудувати граф вiдношення.

в) Знайти образ множини та прообраз множини .

г) Побудувати спiввiдношення мiж нескiнченними множинами, яке має той самий набiр властивостей.

1.= { , , , , }, = {1, 2, 3}, = {( , 2), ( , 3), ( , 1), ( , 2), ( , 1)},

= { , }, = {2, 3};

2. = { , , , }, = {1, 2, 3, 4}, = {( , 4), ( , 3), ( , 2), ( , 1)},

= { , }, = {1, 3};

3.= { , , , }, = {1, 2, 3, 4, 5}, = {( , 3), ( , 5), ( , 4), ( , 1)},

= { , }, = {1, 4};

4.= { , , , , }, = {1, 2, 3, 4}, = {( , 1), ( , 2), ( , 4), ( , 3)},

= { , }, = {1, 2};

5.= { , , , , }, = {1, 2, 3}, = {( , 2), ( , 1), ( , 3), ( , 3)}, =

{ , }, = {3, 1};

67

10.= { , , }, = {1, 2, 3}, = {( , 1), ( , 3), ( , 2), ( , 3)}, =

{ , }, = {2, 3}.

№4.8. Для спiввiдношення = ( , , ) визначити, якi властивостi виконуються для даного сiввiдношення, та побудувати мiж скiнченими множинами спiввiдношення з протилежними властивостями.

1.= {многочлени 2 степеня однiєї змiнної з дiйсними коефiцiєнтами }, = , = {( многочлен ; його корiнь )};

2.= { множина кругiв на площинi }, = {множина точок площини},

= {(круг ; його центр )};

3.= {ВУЗи Києва }, = { жителi Києва }, = {( ВУЗ ; людина, що його закiнчила)};

4.= { прiзвища студентiв групи }, = {0, 1, 2, . . . , 100}, = {(

прiзвище ; кiлькiсть букв у прiзвищi)};

5.= { функцiї, визначенi на [0, 1]}, = , = {( функцiя ; ордината точки її максимуму )};

6.= { пари кiл на площинi }, = 2, = {( пара кiл ; координати точки їх перетину)};

7.= { множина книг в бiблiотецi }, = , = {( книга ; кiлькiсть сторiнок в цiй книзi )};

8.= { полiтичнi партiї мiста }, = { жителi цього мiста }, = {(

партiя ; член партiї )};

68

9.= { пари прямих на площинi }, = , = {( пара прямих ; абсциса точки їх перетину )};

10.= { чоловiки мiста }, = { жiнки мiста }, = {( чоловiк ; його дружина )}.

№4.9. Знайти ( ), ( ), , ( ), ( ). Перевiрити вiдношення на бiєктивнiсть.

1.= {( , ) | > + 3};

2.= {( , ) | > 2 − 5};

3.= {( , ) | = ( )};

4.= {( , ) | 2 + 2 = 4};

5.= {( , ) | 2 + 1 = };

6.= {( , ) +| − < / };

7.= {( , ) +| = sin( )};

8.= {( , ) |2 + 2 < 2 };

9.= {( , ) |2 4 = ( )};

10.= {( , ) −| 3 + 5 sin( ) = 3}.

№4.10. Встановити бiєкцiю мiж множинами та

1.= [0, 1], = ;

2.= { всi кола площини }, = × × (0, +∞);

69