Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Juk_Ilyenko_Moklyachuk_Orlovskiy_DM_praktikum

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

605.14 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

1	=	1	.

2 − 5 + 6		( − 2)( − 3)

Тепер введемо невизначенi коефiцiєнти.

− 3 + − 2

( − 2)( − 3)

− 2

− 3

( − 2)( − 3)

= ( + ) + (−3 − 2 ). ( − 2)( − 3)

Так як коефiцiєнти при вiдповiдних степенях справа та злiва мають

спiвпадати, то отримаємо систему рiвностей

+ = 0

−

2 = 1.

−

Звiдси = 1, = −1. Отже,

( ) =

−

2 −

3 −

Винесемо у знаменниках 2 та 3 вiдповiдно.

( ) =

−

2 −

3 −

1 − /2

1 − /3

За таблицею генератрис,

= ∑∞=0 . Тому

1−

∞

∑

( ) = 2 · 1

−

− 3 · 1

−

= 2

( /2) − 3

( /3) =

∞

(2 1+1 − 3 1+1 ) .

= =0

∑

Отже, загальний член послiдовностi буде мати вигляд

= 2 1+1 − 3 1+1 .

№ 8.3. Для деякої послiдовностi { , ≥ 0} виконується наступна рiвнiсть:

0 + 1 −1 + 2 −2 + . . . + −1 1 + 0 = 1.

Записати у явному виглядi загальний член послiдовностi.

Розв’язок.

Заданий добуток нагадує елемент згортки послiдовностi саму на себе. Дiйсно, так як згортка є добутком двух генератрис, тобто, в загальному випадку,

( ) × ( ) =	( ∞	) ×	( ∞	)	=
	∑		∑
	=0		=0

∞

∑

=( 0 + 1 −1 + . . . + −1 1 + 0) = ( ),

то в нашому випадку отримаємо

( ) = 2( ).

Так як всi елементи згортки рiвнi 1, тобто

0 + 1 −1 + 2 −2 + . . . + −1 1 + 0 = 1,

то, за таблицею генератрис (див. додаток),

	∞	1
	∑	−	= 2
( ) =	=		= 2	( ).
	1
	=0

Вiдповiдно, так як ( ) = 2( ), то

1						∞
	−			−1/2		∑
		= (1 −		−1/2	=		,
( ) = √1		= (1 −	)		=	−1/2	(−1)
						=0

=	( − 1)( − 2)( − 3) . . . ( − ( − 1))	.
	!

Звiдси,

	=
= (−1) −1/2

= (−1) (−1/2)(−1/2 − 1)(−1/2 − 2)(−1/2 − 3) . . . (−1/2 − + 1) =

! (2

· 2

· 2 ·

2−

)

2 !

. . .

(2 − 1)!!

− 1)!!

Проведемо перевiрку для перших членiв послiдовностi.

= 0 : 2

= 1

= 1 =

(−1)!!

0!!

+ 1 0 = 1

(1)!!

= 1 : 0 1

1 =

2!!

= 2 :

= 1

1 − 12

(3)!!

2 0

4!!

= 3 :

= 1

1 − 2 1 2

(5)!!

2 0

6!!

№ 8.4. На складi знаходяться апельсини, банани, гранати, мандарини, хурма та яблука. Формуються фруктовi набори, в яких має бути не менш за 2 апельсини, не бiльш нiж 1 гранат, парна кiлькiсть бананiв, непарна

кiлькiсть мандарин, будь-яка кiлькiсть хурми та не бiльш нiж 1 яблу-

ко. Скiлькома способами можна набрати такi набори, якщо береться

фруктiв?

Розв’язок.

Введемо наступнi позначення: а - кiлькiсть апельсинiв, б - кiлькiсть

бананiв, i т.д. Тодi справедлива наступна система.

а ≥ 2

б .2

г ≤ 1

(м + 1)...2

х = 1

я = 1

Дати вiдповiдь на питання даної задачi можно за допомогою теорiї

генератрис. Генератриса даної задачi буде мати вигляд добутку кiлькох

елементiв, кожен з яких вiдповiдає певному виду фруктiв. Так як апель-

синiв має бути бiльше двох, то вiдповiдний елемент генератриси буде

мати вигляд ( 2 + 3 + 4 + . . .), тобто степенi змiнної будуть вдповiда-

ти можливим кiлькостям апельсинiв. Аналогiчним чином для кожного

з фруктiв складаємо вiдповiдний елемент генератриси, записуємо їх до-

буток та спрощуємо вираз за допомогою формули суми геометричної

прогресiї.

( ) =

= ( 2+ 3+ 4+. . .)( 0+ 2+ 4+. . .)( 0+ 1)( 1+ 3+ 5+. . .)( 0+ 1+ 2+. . .) =

	2	1				1		4
=				(1 + )			=			.
=	− 1	−	2	(1 + )	2		=	4		.
1	− 1	−		1	−	1 −		(1 − )	(1 + )

Тепер потрiбно визначити, якiй послiдовностi вiдповiдає дана генератриса. Якщо степiнь чисельника бiльший або рiвний степеня знаменника, то використовуємо дiлення многочлена на многочлен. При отриманнi остачi, користуємося методом невизначених коефiцiєнтiв. Так як у нас степiнь чисельника меньший за степiнь знаменника, користуємося методом невизначених коефiцiєнтiв одразу.

(1 − )

− )

(1 − ) (1 + )

1 −

1 +

(1 − )3(1 + ) + (1 − )2(1 + ) + (1 − )(1 + ) + (1 + ) − (1 − )4

(1 − )4(1 + )

((− − ) 4 + (2 + + 4 ) 3 + (− − − 6 ) 2+

(1 − )4(1 + )

+ (−2 − + + 4 ) + ( + + + − ))

Так як права та лiва частина рiвностi мають спiвпадати, прирiвнюємо

коефiцiєнти при рiзних степенях. Наприклад, в лiвiй частинi вiдсутнiй 3,

що означає, що коефiцiєнт при 3 рiвний нулю, отже, в правiй частинi вiн

також має бути рiвним нулю, тобто 2 + + 4 = 0. Аналогiчним чином

звiряємо коефiцiєнти при всiх степенях , записуємо отриманi рiвностi в

систему, розв’язуємо її та отримуємо = −15/16, = 17/8, = −7/4, =

1/2, = 1/16, або

( ) = −

−

16(1 − )

8(1 − )2

4(1 − )3

2(1 − )4

16( + 1)

За допомогою таблицi генератрис, записуємо кожен iз доданкiв у ви-

глядi суми послiдовностi

∞

∑

( ) =

( + 1) +

16 =0

4 =0

∞∞ (

1		∑	∑	15			17			7

+		=0(−1)	= =0			+			( + 1) +		( + 1)( + 2)+
	16				16			8		8

+12( + 1)( + 2)( + 3) +		16(−1) )
1		1

Елементи даної послiдовностi i будуть вiдповiддю до задачi. Отже, за даних умов набрати фруктiв можна способами, де

= 1516 + 178 ( + 1) + 78( + 1)( + 2) + 121 ( + 1)( + 2)( + 3) + 161 (−1) .

Задачi для аудиторної та домашньої роботи

№ 8.5. Знайти генератриси послiдовностей 1. 0 = 1 = . . . = 1;

2. 0 = 1 = . . . = −1 = 0, = , ≥ ;

3. = −1− , > 0; 0 = 0;

+ 2

4.= sin( ), = 0, 1, 2, . . . ;

5.= ( + 1)( + 2), = 0, 0, . . . , − 1; = 0, ≥ ;

6.= , = 0, 1, 2, . . . .

№8.6. Знайти послiдовностi за генератрисою

1. ( − 2)3 ;

1 2. 2 2 − 4 + 5;

3 + 1 3. ( − 2)( + 1)3 ;

2 + 3 4. 2 − 7 + 12;

4 5. ( − 1)2( + 3);

6. 3 + 8;

4 − 3 7. 2 − 2 + 6;

8. ( + 1)(2 + 1);


9.	2 2 − 5			;
9.	4 − 5 2 + 6			;
	4 − 5 2 + 6
10.	(		) .
10.	(	1	) .
		−

№ 8.7. Виразити генератрису послiдовностi через генератрису послiдовностi

1.= +1, = 0, 1, 2, . . .

2.= , = 0, 1, 2, . . .

3.= +1 − , = 0, 1, 2, . . .

	, = 0, 1, 2, . . .
4. = ∑ =0

№ 8.8. На складi знаходяться 7 типiв товарiв ( 1, 2, . . . , 7). Скiлькома способами можуть бути зробленi такi замовлення, якщо береться товарiв? Замовлення формуються за наступними правилами:

1.1...3, 2 > 0, 3 ≤ 3, 4 = 1, 5 > 3, 6...2, 7 > 3;

2.1 = 2, 2 > 0, 3 ≤ 3, 4 = 1, 5 > 3, 6...2, 7 > 3;

3.1...4, 2 < 3, 3 = 4, 4 > 3, 5 < 2, 6...3, 7 = 3;

4.1 = 5, 2...3, 3...4, 4...5, 5 > 2, 6 > 2, 7 < 4;

5.1 = 3, 2 > 0, 3 ≥ 3, 4 < 4, 5...3, 6...3, 7 > 6;

№8.9. Скiлькома способами можна розбитий опуклий ( + 2)-кутник на трикутники дiагоналями, що не перетинаються всерединi цього многокутника?

№8.10. Скiлькома способами можна перемножити чисел, що стоять у заданому порядку?

№8.11. Скiлькома способами можна розбитий опуклий ( + 2)-кутник на трикутники дiагоналями, що не перетинаються всерединi цього многокутника?

№8.12. На колi взято 2 точок. Скiлькома способами можна соплучити цi точки попарно хордами так, щоб цi хорди не перетиналися всерединi круга?

№8.13. Скiлькома способами можна отримати суму 12 очок при довiльнiй кiлькостi пiдкидань грального кубика?

ЗАНЯТТЯ 9

Експоненцiйнi генератриси

Навчальнi задачi

№ 9.1. Знайти експоненцiйну генератрису для послiдовностi = ,

= 0, 1, 2, . . .

Розв’язок. За означенням експоненцiйної генератриси,

( ) =

+ . . . +

+ . . . =

−

1)! + . . .)

= +1!+

+. . .+(

(

1)!+. . . = (1 + 1!

+ 2! + . . . +

−

= .

−

№ 9.2. Нехай = ( − 1)( − 2) . . . ( − + 1), = 1, 2, . . ., 0 = 1. Довести тотожнiсть


	∑
( + ) =	( ) ( ) − .
	=0

Розв’язок. Знайдемо спочатку експоненцiйну генератрису послiдовностi ( ) . Маємо:

( ) = 1 +		+	( − 1)	+ . . . +	( − 1) . . . ( − + 1)	+ . . . = (1 + ) .
	1!		2!		!

Аналогiчно, якщо ( ) = ( − 1)( − 2) . . . ( − + 1), = 1, 2, . . ., то експоненцыйна генератриса ( ) буде рiвна ( ) = (1+ ) . В силу тих же 98

мiркувань, експоненцiйна генератриса послiдовностi ( + ) буде мати вигляд ( ) = (1 + ) + . Але (1 + ) + = (1 + ) · (1 + ) = ( ) · ( ) =

( ). Маємо:

(1 + ) = 0

+ 1

+ 2 2

+ . . . + =

+ . . . +

0! !

1!( − 1)!

!( − )!

0! !

1 +

+ . . .

( − 1)!

( − 2)!

= ( , 0) + ( , 1)

+ ( , 2)

+ . . . + ( , )

де ( , ) =

= ( ) - число пере-

= ( − 1)( − 2) . . . ( − + 1)

( − )!

становок (розмiщень) з елементiв по - кiлькiсть способiв вибрати об’єктiв iз врахування порядку iз даних об’єктiв. Отже, ( ) = (1 + )

є експоненцiйною генератрисою для розмiщень взагалi, якщо обчислювати кiлькiсть способiв впорядкування об’єктiв, а не їх вибору, то доцiльно використовувати експоненцiйнi генератриси.

З означення добутку двох експоненцiйних генератрис, прирiвнявши

коефiцiєнти при однакових степенях отримаємо


		∑
( + )	=	( ) ( )	−	.
			−
		=0

№ 9.3. Скiльки послiдовностей iз чисел 1 i 2 довжини 7 можна утворити, якщо кожна послiдовнiсть має непарну кiлькiсть одиниць, та не менше двох двiйок?

Розв’язок. Якби ми просто вибирали числа 1 i 2 без врахування порядку, твiрна функцiя мала б вигляд ( ) = ( + 3 + 5 + 7)( 2 + 3 +

4 + 5 + 6 + 7). Але, оскiльки порядок чисел в послiдовностi iстотнiй, потрiбно застосовувати експоненцiйну генератрису, яка буде мати вигляд 99

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.05.20151.59 Mб9Ivanyuk_Zvit.docx
#
17.03.20162.34 Mб124IVDP_Demidenko_2009.pdf
#
17.03.201614.13 Mб70JavaScript- The Definitive Guide, 6th Edition.pdf
#
05.12.2018404.99 Кб3jhbfewwjeygcjhbfhg jn.doc
#
12.09.201953.25 Кб1Judicial Precedent_ed.doc
#
12.05.2015605.14 Кб40Juk_Ilyenko_Moklyachuk_Orlovskiy_DM_praktikum.pdf
#
10.11.2018233.98 Кб2KarlyuchenkoVstup_do_spets_metod.doc
#
12.05.2015566.37 Кб16Kato_Lomb-Kak_ya_izuchayu_yazyki_pdf.pdf
#
12.07.2019339.02 Кб1kerkegor_syoren_strah_i_trepet.rtf
#
17.03.201625.82 Кб39khimiya.docx
#
21.11.201933.72 Кб2KKZ_novi.docx