PraktykumLA+AG

Однорідні й неоднорідні СЛАР.

Однорідна СЛАР завжди сумісна, бо в

СЛАР називають однорідною, якщо

неї існує тривіальний розв’язок

вільні члени всіх рівнянь нульові, і

x 0. Будь-яка лінійна комбінація

неоднорідною, якщо хоч один з них

розв’язків однорідної СЛАР є

відмінний від нуля.

розв’язком цієї системи.

Дослідження однорідної СЛАР.

rang A r

Якщо ранг матриці Am n однорідної

СЛАР дорівнює r, то система має

СЛАР Ax

0

n r лінійно незалежних розв’язків

r n

r n

e1,e2,...,en r , які утворюють

безліч розв'язків

єдиний розв'язок

фундаментальну систему розв’язків

з (n r) сталими

x

0

(ФСР).

Кожний розв’язок однорідної СЛАР

лінійно виражається через сукупність

розв’язків, які утворюють ФСР цієї

системи.

Структура загального розв’язку

однорідної СЛАР. Якщо {e1,...,en r }

xзаг. одн.

— ФСР однорідної СЛАР, то

загальний розв’язок системи є

C1e1 C2e2

... Cn ren r

лінійною комбінацією розв’язків

e1,...,en r .

Структура загального розв’язку

неоднорідної СЛАР. Загальний

розв’язок неоднорідної СЛАР

xзаг. неодн.

xзаг. одн. xчаст. неодн.

дорівнює сумі загального розв’язку

відповідної однорідної СЛАР* і

деякого частинного розв’язку

неоднорідної СЛАР.

 detA 0

система має єдиний

Однорідна СЛАР має ненульовий

розв’язок тоді й лише тоді, коли

розв’язок x 0;

 detA 0

система має безліч

detA 0.

розв’язків

*

Неоднорідній СЛАРAx b відповідає однорідна СЛАР Ax 0.

Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

23

Метод оберненої матриці

A

X

n l

B

n l

X A 1B;

n n

(для невироджених матриць A)

Xm nAn n Bm n X BA 1

Метод Ґауса — Йордана

An nXn l

Bn l :

(для невироджених матриць A)

елементарні перетворення

(A | B)

рядків розширеної матриці

(En | X)

Геометричний вектор.

Геометричним вектором називають

B

напрямлений відрізок. Першу точку

напрямленого відрізка називають

a

початком вектора, а другу — кінцем