Тема 2.
Необходимые математические сведения из линейной алгебры, теории систем линейных уравнений, выпуклого анализа
(эта версия темы №2 не полная, см. укр. вариант)
Векторы
В дальнейшем будем считать, что всегда являетсявектором – столбцом
-j-ый элемент (j-ая компонента ) вектора x.
Далее в зависимости от контекста будем называть либоточкой, либовектором.
Вектор – строкубудем обозначать так:
Скалярное произведениевекторовзапишем как(д.б. одной размерности)
DefМножество векторовлинейно независимотогда и только тогда, когда система(ноль – столбец)имеет только тривиальное ( нулевое ) решение относительно
Матрицы
Рассмотрим матрицу Aразмерностиmn.
Обозначим через
– вектор-столбец, элементы которого являются элементамиj-го столбцаA,.
- вектор – столбец с элементамиi- ой строкиA,.
С учетом обозначений иможно записать=
def 1.Рангом матрицы А по столбцамназывается наибольшее число линейно независимых векторов средиn m-мерных столбцов.
При этом максимальное число линейно независимых столбцов равно максимальному числу линейно независимых строк. Значит аналогично определению 1 определяется ранг матрицы по строкам.
def 2.Рангом матрицы А по минорамназывается наибольший порядок минора среди миноров, отличных от нуля (минор– это определитель подматрицы ).
Для произвольной матрицы Аранг по столбцам, ранг по строкам и ранг по минорам равны.
def .МатрицаАназываетсяневырожденной(неособенной), если она квадратная (m=n) и полного ранга (rang A =n). Только невырожденная матрица имеет обратную.
Системы линейных уравнений
Система mлинейных уравнений сnпеременнымиможет быть записана в виде
или в виде матричного уравнения
Ax=b(1)
Единственное решение системы существует в том случае, если m = nиА– неособенная.
Тогда
Используя наше обозначение дляj-го столбцаА, матричное уравнение (1) можно переписать в виде
Таким образом решение системы уравнений можно свести к отысканию линейной комбинациивекторов, которая равна векторуb. Коэффициенты этой линейной комбинации и есть элементыx1, x2 , ….. , xn вектораx. ЕслиА– неособенная матрица, то векторылинейно-независимы, а значит существует одна и только одна такая комбинация.
Выпуклые множества
Пусть x1, x2 , ….. , x k– произвольные точки из.
Выпуклой линейной комбинацией(ВЛК) этих точек называется сумма вида:
,
где – произвольные неотрицательные числа, такие, что
.
Теорема:ПустьХ– выпуклое множество,x1, x2 , ….. , x k– произвольные точки изХ. Тогда множествоХ содержит любую выпуклую линейную комбинацию этих точек.
Доказательство:
Доказательство проведем с помощью метода математической индукции (по числу точек k).
Ситуация, когда k= 1 тривиальна.
При k= 2 утверждение теоремы совпадает с определением выпуклого множества.
Пусть любая выпуклая линейная комбинация k – 1точек множестваХ принадлежит данному множеству.
Рассмотрим kточекx1, x2 , …..,xk -1 , x k.
Их линейная выпуклая комбинация:
Если , топриитеорема справедлива.
Пусть. Тогда.
Числа,- неотрицательны и их сумма равна единице:
Следовательно, выражение – выпуклая линейная комбинация точекx1, x2 , ... , x k -1множестваХ.По предположению индукции .
В таком случае точка является выпуклой линейной комбинацией двух точек изХи, следовательно,.