3. Теоретическая справка

1. Магнитное поле, созданное током прямолинейной цилиндрической катушки индуктивности, существует как внутри, так и вне катушки, причем внутри катушки индукция магнитного поля больше, чем снаружи. Продольная компонента B_z магнитной индукции максимальна на оси z катушки и, если витки уложены равномерно вдоль ее длины, может быть найдена по формуле

, (9)

где m₀ = 4p10^-7 Гн/м, W , l , a – число витков, длина, радиус катушки, l₁, l₂ – координаты торцов катушки на продольной оси z, начало (z = 0) которой совмещено с плоскостью поперечного сечения, проходящей через точку наблюдения, причем l=l₁+l₂. Формула (9) получена представлением цилиндрической катушки как совокупности колец бесконечно малой ширины dz, обтекаемых током IWdz/l.

Индукция , создаваемая одиночным витком радиуса а с током I₀, определяется сложением составляющих поля dB, создаваемых в точке наблюдения N элементарным участком витка (рис.3)

Составляющие поля находим по закону Био-Савара. Радиус-вектор здесь всегда нормален к элементу провода . Следовательно, угол между и равен 90⁰, и по определению

, (10)

dB₁=μ₀Idl/(4πr²). Здесь r – расстояние от точки на окружности витка до точки наблюдения. Продольные (направленные по оси z) составляющие поля от

а) б)

Рис.3

элементов dl₁ и dl₂, лежащих на одном диаметре, складываются, а поперечные (перпендикулярные оси) – уничтожаются. Продольная составляющая поля от любого элемента dl определяется соотношением dB_z=dBsinα=μ₀Idlsinα/(4πr²).Чтобы найти суммарное продольное поле, складываем все его составляющие, для чего в последнем выражении заменяем dl на длину окружности витка 2πd. Согласно рис. 3 sinα=a/r, а . Следовательно,

. (11)

Можно определить индукциюB_z на оси z катушки (рис. 4), если ее торцы находятся на расстояниях z₁ и z₂ от точки наблюдения.

Рис. 4

Представим катушку как совокупность колец бесконечно малой ширины dz, обтекаемых током I₀W₀dz, где W₀=W/l – число витков на единицу длины катушки. Составляющая индукции, созданная в осевом направлении каждым из таких колец, определяется, согласно (11), выражением

(12)

Поле всей катушки в произвольной точке, лежащей на оси z: . (13)

Заменив геометрические размеры на конструктивные обозначения z₁=l₁; z₂=l₂, получим выражение (9).

Из (9) следует, что в центре катушки, вдоль ее оси, продольная компонента вектора магнитной индукции максимальна и убывает к краям тем быстрее, чем меньше длина катушки. Для бесконечно длинной катушки B_z = μ₀IW/l не зависит от положения точки наблюдения аналогично кольцевой катушке.

Длинную катушку индуктивности (с большой величиной соотношения l/a) называют соленоидом.

2. В случае размещения внутри соленоида, по всей его длине, цилиндра из ферромагнитного материала (в данной работе – стального), магнитная индукция в цилиндре возрастет (в том числе и на его оси) в _r раз, где μ_r – относительная проницаемость магнитного материала [1].

В данной работе исследуется влияние на величину поля на оси соленоида полого стального цилиндра, который может занимать либо часть, либо всю длину катушки. При этом наблюдается явление магнитного экранирования [2], заключающееся в ослаблении магнитного индукции в полости внутри ферромагнитного тела, помещенного во внешнее магнитное поле. В работе последнее обеспечено полем соленоида. Физическая сущность явления определяется тем, что линии магнитной индукции внешнего поля стремятся пройти по пути с наименьшим магнитным сопротивлением, сгущаются внутри стенок экрана (μ_r 1) и почти не проникают в его полость. Для оценки эффективности экранирования вводят понятие коэффициент экранирования k, который равен отношению индукции магнитного поля в экранируемой области B_вн к индукции внешнего магнитного поля В₀.

В работе величину В₀ можно приближенно принять равной величине индукции внутри соленоида в присутствии стального цилиндра. Заметим, что внешний ферромагнитный экран не меняет поля внутри соленоида.

3. Магнитное поле, созданное постоянными токами, в области окружающего их пространства можно характеризовать понятием скалярного магнитного потенциала исходя из условия потенциальности поля

. (14)

Однако и в этой области пространства разность магнитных потенциалов U_м= φ_м1– φ_м2 двух точек является многозначной функцией, так как интеграл от напряженности магнитного поля, взятый по любому замкнутому контуру равен нулю только тогда, когда этот контур не пронизывает поверхностей, «натянутых» на контуры с токами, создающими магнитное поле. В противном случае по закону полного тока

, (15) где – сумма токов, охватываемых контуром интегрирования. При этом выражение (15) можно представить в виде

. (16) где – разность магнитных потенциалов или магнитное напряжение между точками А и В. Выражение (3.8) дает возможность обосновать принцип действия пояса Роговского (гибкой катушки индуктивности), используемого для измерения магнитного напряжения и магнитодвижущей силы IW. Пояс Роговского представляет собой катушку малого сечения с гибким длинным цилиндрическим неферромагнитным сердечником (любой диэлектрик, обычно полиэтилен). Витки намотаны по всей длине сердечника, выводы сделаны посредине.

Для измерения разности магнитных потенциалов между двумя точками пространства достаточно разместить концы пояса Роговского в них и в режиме переходного процесса измерить напряжение на его выводах аналогично тому, как это делают при измерении индукции. В каждом витке пояса Роговского наводится напряжение, пропорциональное производной от скалярного произведения , где В_ср – вектор индукции на оси, S – площадь сечения витка катушки. Так как в витке вектор S совпадает с и витки включены последовательно, то суммарное напряжение на выводах пояса Роговского пропорционально интегралу для силовых линий, сцепленных с витками его катушки. Коэффициент пропорциональности  между показаниями пикового вольтметра и магнитным напряжением определяется при образовании поясом Роговского замкнутого контура по соотношению α= U_п0 /IW, где U_по – показание вольтметра при известных токе I и числе витков W соленоида.

При разнесении концов пояса Роговского внутри соленоида магнитное напряжение

(17)

где U_п – показание пикового вольтметра. В случае, когда концы пояса Роговского вынесены за пределы соленоида, т.е. замкнутый контур можно представить не сцепленным с витками соленоида,

. (18)

Из выражения (17) следует возможность определения продольной компоненты магнитной индукции В_zо в центре соленоида по формуле , (19)

где ΔU_м – изменение величины магнитного напряжения на интервале изменения положения точек отсчета (концов пояса Роговского) на длину Δz вдоль оси соленоида вблизи его центра. Последнее условие необходимо для обеспечения наибольшего постоянства величины и соответственно более строгого выполнения условия линейности зависимости φ_м(z).