Комплекс макросів для багатокритеріального вибору оптимального об’єкта Теоретичні відомості

Lulla lex satis commodo omnibus est¹⁾

Liv., Hist., XXXIV, 3

При розв`язанні реальних задач об`єкт звичайно описується не одним, а декількома показниками його функціонування чи якості. При оптимізації вимоги до них можуть бути достатньо суперечливими, тобто поліпшення одного показника веде до погіршення іншого.

Існують наступні методи розв’язання багатокритеріальних задач.

1. Лінійна згортка критеріїв. .

2. Використання контрольних (нормативних) показників ,  – нормативне значення для . Задача зводиться до пошуку максимуму F(x).

3. Редукція до одновимірної задачі. Залишається один показник, а всі інші використовуються як обмеження.

4. Введення метрики в простір цільових функцій.

5. Компроміс за Парето. Побудова множини результатів, які неможливо покращити.

Введення метрики в просторі цільових функцій

Виникає задача визначення деякої компромісної точки, яка повинна в певній мірі відповідати всім вимогам. Це така точка, що будь-яка інша буде гірша неї за всією сукупністю характеристик (компроміс за Парето). Як правило, результати по кожному окремому показнику якості для цієї окремої точку будуть гірші, ніж у випадку однокритеріальної оптимізації за цим параметром.

Суть запропонованого підходу в тому, що кожному об`єкту і його можливому стану ставиться у відповідність точка в багатовимірному просторі (точніше, у m-вимірному, де m – кількість критеріїв якості об`єкта), координатами якої є параметри, що його описують. Простір нормовано в одиничний гіперкуб таким чином, що по кожній координаті рух від 0 до 1 відповідає зміні параметру від найгіршого до найкращого значення. Точка з координатами {1, 1, 1, .....1} завжди відповідає гіпотетичному ідеальному об`єкту, який має найкращі із можливих значення за всіма параметрами. Геометрична відстань від цієї вершини гіперкуба до точки, яка відповідає положенню конкретного об`єкта, відповідає віддаленості її від ідеального значення і може слугувати доповненням до величини комплексного показника об`єкта. Таким чином, ми маємо строгу, формалізовану процедуру отримання комплексного критерію, що має ясну геометричну інтерпретацію. У випадку нерівнозначності різних параметрів при обчисленні відстаней достатньо в формулу обчислення відстані додати множники вагових коефіцієнтів, що відповідають значущості параметрів.

Нормування відбувається в залежності від цілі оптимізації за конкретним критерієм. Для нормування вихідної змінної y_j у випадку, якщо ціллю оптимізації для даній змінній є знаходження мінімуму, використовується наступна формула

. (1)

Якщо метою оптимізацією по є знаходження максимуму, то нормування відбувається за наступною формулою

, (2)

де – максимальне можливе значення для j-го критерію, – мінімальне можливе значення для j-го критерію, – поточне значення j-го критерію, – нормоване поточне значення.

У тому випадку, коли метою оптимізації є попадання параметру в заданий інтервал, причому чим ближче до середини інтервалу – тим краще, то формула нормування простору приймає наступний вигляд

. (3)

Тут – інтервал, до якого має попасти значення критерію, що підлягає оптимізації.

Відстань між ідеальною та поточною точкою визначається як евклідова з доданням вагового коефіцієнту, що дозволяє урахувати нерівнозначимість досягнення оптимуму окремих критеріїв для загальної мети. Вона (відстань) обчислюється за формулою

. (4)

Тут L_u – відстань від ідеальної точки для u-го об’єкта; m – кількість критеріїв якості; j – номер поточного критерію якості; – нормоване значенняj-го критерію якості для u-го об’єкта; W_j – ваговий коефіцієнт, що визначає значущість j-го критерію якості, при цьому виконується умова .

Для визначення комплексного показника окремих об’єктів зручно користуватися величиною, що доповнює відстань до 1, а саме: G_u =1– L_u .

Значення G_u тим більше, чим ближче об’єкт до ідеальної точки. Це дозволяє отримати зручний для порівняння комплексний показник об’єктів: чим краще об’єкт – тим більше значення комплексного показника він має.

Задача визначення вагових коефіцієнтів при великій кількості параметрів якості є дуже складної. З одного боку, неточне завдання ваги зовсім змінює розраховані комплексні показники, з другого боку, при великій кількості параметрів – це задача по складності порівнянна з самою побудовою комплексного показника. Як правило, при кількості параметрів, більшій ніж 3...4, навіть висококваліфікований спеціаліст має труднощі з цією задачею. Тому в таких випадках використовується процедура формалізованого визначення вагових коефіцієнтів, яка базується на попарному порівнянні значущості параметрів. Задача попарного порівняння для будь-кого незрівнянно простіша, ніж визначення всіх вагових коефіцієнтів при великій кількості градацій (табл. 1). За результатами всіх відповідей виконується розрахунок вагових коефіцієнтів.

Таблиця 1. Градації порівняння критеріїв по їх значущості

Назва першого критерію	Градація	Назва другого критерію
Критерій А	Еквівалентні	Критерій В
Критерій А	Важливіше	Критерій В
Критерій А	Значно важливіше	Критерій В
Критерій А	Суттєво важливіше	Критерій В
Критерій А	Безумовно важливіше	Критерій В
Критерій В	Важливіше	Критерій А
Критерій В	Значно важливіше	Критерій А
Критерій В	Суттєво важливіше	Критерій А
Критерій В	Безумовно важливіше	Критерій А

Для перетворення простору необхідно для кожного критерію задати мету, виконання якої забезпечить найкраще значення даного критерію. Можливі варіанти завдання мети, які можуть використовуватись, приведені в табл. 2. Як видно, частина з них фактично є обмеженнями чи вказівками щодо виключення критерію з розгляду (ігнорувати).

Таблиця 2. Можливі цілі за кожним критерієм

Ціль	Уточнення цілі
Мінімум	–
	+ обмеження yi>a
	+ обмеження yi  a
Максимум	–
	+ обмеження yi<a
	+ обмеження yi  a
Інтервал	В центр
	В довільне місце
Півінтервал	yi > a
	yi  a
	yi<a
	yi  a
Константа	а
Ігнорувати	–

В описуваних макросах використовуються тільки три рівні порівняння і два види цілей.

Підготовка вихідних даних

Для більшості описуваних макросів вхідні дані готуються в формі, представленій в табл..3. Виняток – макрос розрахунку вагових коефіцієнтів, для якого потрібен тільки список назв об’єктів.

Таблиця 3. Форма представлення вхідних даних

Назви об`єктів	Критерії якості
	Критерій 1	Критерій 2	Критерій 3	...	Критерій m
Об`єкт 1				...
Об`єкт 2				...
...	...	...	...	...	...
Об`єкт N				...
Мета оптимізації за окремим критерієм