gdz-po-geometrii-9-klass-Atanasyan-7-9-2001
.PDF
№ 1176.
D1 |
A |
|
H1 |
|
E |
|
D |
B |
F H2 |
|
D2 |
Построить ∆EDF с минимальным периметром.
Построим точку D1, симметричную точке D относительно AB и точку D2, симметричную точке D относительно AC.
CПрямая D1D2 пересечет AB в точке E, а прямую AC в точке F. ∆EFD — искомый.
№ 1178. |
C1 |
Так как ABB1A1 и DCC1D1 квадраты, то |
D1 |
||
|
O1 |
AB||A1B1||DC||D1C1; AB1||DC1 и AO2 = DO1. |
|
|
|
D |
C |
Докажем, что ADO1O2 — параллелограмм. |
|
Так как AO2=DO1, AO2||DO1, то AD||O1O2, а |
|
|
|
т.к. DAO2= DO1O2 (две параллельные |
A1 |
B1 |
прямые и секущая), то AD=O1O2. |
O2 |
|
|
A |
B |
№ 1179. |
|
|
См. рис. 333 (стр. 305 учебника).
Перенесем ∆SAB на вектор ВС . CC1 и DD1 будут его высотами, которые пересекутся в точке K. Тогда третья высота, опущенная на сторону CD, обязана проходить также через точку K и принадлежать прямой SK. Получаем, что SK CD, а, значит, и AB.
1180.
1)Случай, когда прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О очевиден, т.к. в этом случае точки А и А1, В и В1, С и С1 должны быть диаметрально противоположны.
2)∆MNK может лежать внутри и вне круга.
|
B1 B |
|
N |
Рассмотрим случай, когда он лежит вне |
|||
M |
|
|
|
круга (случай, когда он лежит внутри круга |
|||
|
O |
C1 |
аналогичен). |
|
|
|
|
|
Докажем, что ∆MNK – правильный. |
||||||
A |
|
||||||
A1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
B1C = В1С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 120o |
|
|
K |
|
|
ВС = В С |
|
||
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычтем, получим: |
СС1 |
= ВВ1 , аналогично, СС1 |
= ВВ1 |
= AA1 . |
|||
35
|
|
|
|
АА1 |
= АА1 = 120o |
||
|
|
|
|
В А |
1 |
= АС |
|
|
1 |
|
|
вычтем, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В1А |
= А1С , аналогично, В1А = А1С |
= |
ВС1 . |
|||||||
Пусть В1В = α, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NMK= |
А1СВ− АВ1 |
= |
1 |
|
(120o + 120o − α− 120o + α) = |
|
1 |
120o = 60o , |
||
|
|
2 |
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||
аналогично, NMK= MNK= MKN= 60o . |
|
|
|
|
||||||
Таким образом, ∆MNK – правильный. |
|
|
|
|
||||||
№ 1181. c |
a |
|
|
|
Построим прямую a′, симметричную a |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
O |
|
|
|
|
относительно точки O. |
|
|
|
|
|
|
a′ |
Наша искомая прямая будет проходить |
|||||||
|
|
|
через точку O и через точку пересечения |
|||||||
|
b |
|
|
|
|
прямой a′ и b. |
|
|
|
|
1182.
Построим сначала большее основание, затем проведем две окружности радиусами диагоналей. Затем от верхней точки
|
|
|
пересечения окружностей параллельным |
B |
C |
|
переносом (параллельно AD) начнем |
|
опускать отрезок ВC пока точка В не |
||
|
|
|
|
|
|
|
совпадет с окружностью с центром в |
|
|
|
точке D и C с окружностью с центром в |
A |
|
|
D точке А. |
АВСD – искомая трапеция. |
|||
№ 1183. |
|
|
Где бы точка A не лежала, существует два |
B2 |
B |
b |
|
A |
|
решения задачи. |
|
|
c |
|
|
C2 |
C |
|
|
|
|
||
36
A |
|
B2 |
B |
B2 |
B |
|
b |
b |
|
||
|
|
|
c
|
C2 |
C |
C2 |
c |
|
C |
A |
37
ГЛАВА XII.
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
№ 1184.
а) прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.
б) тетраэдр имеет: 4 грани, 6 ребер, 4 вершины. в) октаэдр имеет: 8 граней, 12 ребер, 6 вершин.
№ 1185.
Пусть имеется n-угольная призма. Так как призма получается параллельным переносом n-угольника и соединением соответствующих вершин, то число вершин равно 2n (2n делится на 2). А число ребер равно n+n+n=3n (3n делится на 3).
№ 1186.
Доказать, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна Pоснh (боковое ребро прямой призмы равно ее высоте).
Если развернуть боковую поверхность, то получится прямоугольник со сторонами a1+a2+...+an=Pоснования (a1,..., an — стороны основания) и h — высота призмы, т.о. S=Pоснh.
№ 1187. |
|
|
|
|
|
|
|
а) нет; |
|
б) нет; |
|
в) нет; |
г) да; |
д) нет |
|
№ 1189. |
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
B1 |
|
|
C1 |
|
C1 |
|
A |
|
|
D1 |
|
A1 |
a′ |
D1 |
1 |
B |
|
C |
|
B |
C |
|
|
|
|
|
||||
A |
|
|
D |
|
A |
|
D |
а) т.к. AD1||BC1, AD1=BC1 и C1D1||AB, C1D1=AB, то ABC1D1 —
параллелограмм.
б) т.к. AC= A1C1, AC||A1C1 и AA1=CC1 и AA1||CC1, то AA1C1A —
параллелограмм.
38
№ 1190.
|
|
B1 |
Х2 |
|
C1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
M |
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
N |
|
|
|||
|
B |
|
|
Х1 |
|
||||
|
|
|
|
C |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
|
|
D |
|
|
|||
№ 1191. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем, что B1D1H1H2 — трапеция. |
|
|
|
|
|
||||
A1 |
|
|
D1 |
Так как B1D1H1H2 — плоскость, то |
|||||
|
|
|
|
H2C=CH1= |
1 |
|
CD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B1 |
|
C1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Так как B1D||BD, а ∆CH2H1∆CBD |
|||||||
|
|
D |
|||||||
A |
|
|
|||||||
|
|
|
(по 2 сторонам и углу между ними), |
||||||
|
|
H1 |
|||||||
B |
H2 |
то BD||H1H2||B1D1, т.е. H1H2B1D1 — |
|||||||
C |
|
трапеция. |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
№ 1192. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
B1 |
|
|
C1 б) |
|
|
|
B1 |
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
A1 |
B M |
|
D1 |
|
A1 |
|
M |
||
N |
|
C |
B |
D1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
A |
|
|
D |
|
A |
N |
|
||
|
|
|
|
|
D |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ 1193. |
C1 |
а) AB=BC=1; CC1=2; |
|
||||||
B1 |
|
|
|||||||
A1 |
|
D1 |
|
|
AC= |
12 +12 = |
2 ; |
||
|
|
|
AC1= |
2 + 4 = |
6 . |
||||
B |
|
C |
|
|
|||||
|
б) AB=8; BC=9; CC1=12; |
|
|||||||
A |
|
D |
|
AC= 64 + 81 = |
145 ; |
||||
|
|
AC1= |
145 +144 = |
289 = 17 . |
|
||||
в) AB = |
39 ; BC=7; CC1=9; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
AC= |
39 + 49 = 88 ; |
|
|||||
|
|
AC1= |
88 + 81 = |
169 = 13 . |
|
||||
39
№ 1194.
AB=BC=CC1=a
AC= 
a2 + a2 = a 
2 AC1= 
2a2 + a2 = a 
3 .
№ 1195.
Т.к. объем тела, состоящего из двух других тел, равен сумме объемов этих тел минус их пересечение, то
а) V=V1+V2
б) V=V1+V2– 13 V1= 32 V1+V2.
№ 1196.
AB=8; BC=12; AA1=18. V=AB BC AA1=8 12 18=1728 см3
aкуба= 3 V = 3 1728 =12 см.
№ 1197.
AC1=13; BD=12; BC1=11.
Т.к. BD=AC, то по теореме Пифагора
|
CC1= AC2 − AC2 |
= 132 − 122 |
= |
25 = 5 |
см |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
BC= |
BC12 − CC12 |
= |
112 − 52 = |
6 16 = 4 |
6 см |
|
|
AB= |
AC2 − BC2 |
= |
122 − 16 6 = |
48 = 4 |
3 см |
|
|
|
V = 4 3 S 4 6 = 240 |
2 |
см3 |
|
||
№ 1199. |
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
B1 |
Дано: BAC=120°, AB=5 см, AC=3 см, Sграни=35 |
|||||
|
C1 |
см2. |
|
|
|
|
|
|
Найти: V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
По теореме косинусов: |
|
|
|
||
A |
B |
BC2=25+9–2 5 3 cos120°=34+15=49 см2 |
|||||
|
|
BC=7 см. |
|
||||
D |
|
|
|
|
|||
C |
BC BB1=35; |
BB1=35:7=5 см. |
|||||
V=SоснH= |
1 |
AB AC sin BAC BB = |
1 |
5 3 sin120° 5= 75 3 см3. |
|
|
|||
|
2 |
1 |
2 |
4 |
|
|
40
№ 1200.
Т.к. все ребра равны a, то в основании призмы лежит правильный n- угольник.
а) V= |
1 |
|
|
a a a sin60°= a3 |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) V=a a a=a3; |
|
|
|
3a3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
в) V=a |
|
6a |
a cos30° |
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2a |
3 |
|
|
г) V= |
|
a 8a |
|
cos22,5° |
= |
4a cos22°30' = |
|
. |
|||||||||||
|
|
tg22°30' |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 − |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 − 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ 1201. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ 1202. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
N |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х1 |
C |
|
Х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№1203. |
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L
N
A
M
№ 1204.
|
D |
|
|
N |
M |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
К |
|
|
|
C |
41
№ 1205.
S
An A5
A1
O1 |
O3 |
A2 |
O2 A3 |
Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный n-угольник, т.е.
HO1=HO2=HO3=...=HOn=r.
Значит,
A4 |
SO1=SO2=...SOn= SH2 + r2 . |
№ 1206.
Из задачи № 1205 все апофемы правильной пирамиды равны друг другу, площадь каждой боковой грани равна ha2 , где h — апофема,
а a — сторона основания пирамиды, значит,
Sбок= 12 h(a1 + a2 + ... + an ) = 12 Pосн h.
№ 1207.
Дано: SH=7, AB=5, DB=8.
SНайти: боковые ребра По теореме Пифагора:
D |
AH = |
2 |
|
DB 2 |
25 − 16 = 3 см; |
||
AB |
− |
2 |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
C SA = SC = |
AH2 + SH2 |
= |
49 + 9 = |
58 см; |
H |
|||||
B |
SB = SD = |
DH2 + SH2 |
= |
16 + 49 = |
65 см. |
№ 1208.
S
|
A6 |
A5 |
|
|
|
A1 |
H |
A4 |
|
|
O |
|
A2 |
A3 |
Дано: A1A2=a, SSA3A6=SSA1A2.
Найти: Sбок.пов.
A3A6=2R=2a; HO=r= a |
3 |
; |
|
2 |
|
SO= 
SH2 + HO2 , т.к. SSA3A6 = SSA1A2, то
a |
SH2 + |
3a2 |
= a SH ; |
2 |
|
4 |
|
42
|
|
|
4SH2+3a2=16SH; |
|
|
||
SH= |
a |
; |
SO= |
a2 |
+ |
3 a2 |
=a; |
|
4 |
||||||
2 |
|
|
|
4 |
|
||
Sбок.пов.=6 a2 a=3a2.
№ 1211.
S
D
A
H
B
D
A
H
C
№ 1212.
Дано: AB=m,
|
а) h=2 м, a=3 м. |
|
|
|
|
Так как V = 1 |
Sосн.h, а в основании лежит |
||
|
3 |
|
|
|
C |
квадрат, то |
|
V = 1 322=6 м3; |
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
б) h=2,2 м, AB=20 см, BC=13,5 см, |
|||
|
ABC=30°. |
1 |
|
|
|
SABC |
= |
20 13,5 sin30°=67,5 см2; |
|
|
2 |
|||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = 1 67,5 220=4950 см3. |
|||
|
|
|
3 |
|
BSD=α. |
|
|
|
|
S |
Найти: V. |
|
|
|
|
|
|
|
BD= |
m2 + m2 = m 2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
B |
|
C Так как SB=SD=SC=SA, то tg α |
= |
BH |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
SH |
|
|
|
||
|
SH= |
m |
2 |
; |
V = |
1 m2 |
m |
2 |
|
= |
m3 |
2 |
. |
||||
A H2 |
|
|
|
α |
|
|
|||||||||||
D |
|
2tg |
α |
|
3 |
2tg |
|
6tg |
α |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||||
№ 1214.
а) r= 2
2 см, h=3 см.
V=Sоснh=π 8 3=24π см3. б) V=120 см3, h=3,6 см.
V=Sh=πr2h; |
r= |
V |
= |
120 |
= |
10 см. |
|
|
πh |
|
3,6π |
|
3π |
в) r=h, V=8π см3.
43
|
|
V=πr2h=πh3; |
h3=8; |
|
|
||||
№ 1215. |
|
|
|
Vцилиндра = πr2h |
|||||
|
1 h a2 3 |
|
|||||||
а) Vпризмы = |
; |
a |
= 2r ; |
a = |
3r |
||||
sin60° |
|||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
V |
h r23 |
3 |
= |
3 3 |
|
|
|
|
|
п = |
4πr2h |
|
|
||
|
|
|
|
Vц |
|
|
4π |
||
б) Vп = h a2; r = a 22 ;
h=2 см.
;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
2 h a2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πa2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vц |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) Vп = |
1 |
|
|
6r r cos30° h = 3 3r2h |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= |
3 |
|
3r |
2h |
= |
3 |
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
2πr2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vц |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) a=2rsin |
180° |
|
=2rsin |
45° |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
180° |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
45° |
|
|
|
|
|
45° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Vп= |
1 |
8 a r cos |
h=8r2h cos |
sin |
|
=2 |
|
2 r2h; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= |
2 |
|
2r |
2h |
= |
2 |
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
πr2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vц |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) Vп |
= |
1 |
|
|
n 2r sin |
180° |
rcos |
180° |
h = |
|
1 |
nr2h sin |
360° |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vп |
|
= |
n r2h sin |
360° |
|
|
n sin |
360° |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
= |
n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vц |
|
|
|
|
2πr2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|||||||||||||
№ 1216. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Дано: D = 1 м, h = L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найти: Sбок.пов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L=2πr=πD=π=h |
|
|
|
|
|
|
Sбок.пов.=L h=π2 м2. |
|||||||||||||||||||||||||||
№ 1217.
Задача сводится к нахождению площади боковой поверхности цилиндра высотой 4 м и диаметром 20 см.
44