lecture_kaumov
.pdfРассмотрим случай, когда к грузу приложена внешняя сила F(t), переменная во времени. Исследуем наиболее опасный случай, когда она является периодической:
F(t) F0 Sin( 0t) . |
(20.13) |
Коэффициент 0 характеризует то, насколько часто меняется направление воздействия силы F(t).
Запишем уравнение равновесия верхней части стержня
N Fин F(t) 0.
Подставляя сюда (20.11), (20.12), (20.13), получим:
|
l |
|
Sin( 0t) 0 . |
|
|
|
A E m l F0 |
|
|||
l |
|
||||
|
|
которое называется уравнением |
|||
Поделив на т , получаем уравнение, |
|||||
вынужденных колебаний: |
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
Sin( 0t) 0. |
(20.14) |
|
|
|
l l 2 |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
m |
|
Ищем решение в виде:
l B Sin 0t C Cos 0t .
Тогда
l B 0 Cos 0t C 0 Sin 0t,
l B 02 Sin 0t C 02Cos 0t
Подставляя в (20.14), находим:
B 02 Sin 0t C 02 Cos 0t 2 B Sin 0t 2 C Cos 0t F0 Sin 0t 0, m
|
B 02 2 B |
F |
|
Sin 0t C 02 2 C Cos 0t 0. |
|
|
0 |
|
|||
m |
|||||
|
|
|
|
Чтобы это уравнение выполнялось в любое время, скобки должны быть равны нулю. Отсюда получаем:
|
|
|
|
F |
|
|
B 02 |
2 |
B |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
m |
|
|
C 2 |
2 C 0 |
C 0 |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
Из первого уравнения находим:
B F0 .
m( 2 02)
Выводы: как видно из выражения для B, если собственная частота колебания стержня будет приближаться по величине к частоте изменения
155
Выразим Fдемп через перемещение груза. Считаем абсолютно жесткими стержни, соединяющие демпфер с грузом и основанием. Тогда перемещение поршня совпадает с перемещением груза.
Согласно закону движения тела в вязкой жидкости:
|
F |
демп |
|
|
l |
|
, |
(20.15) |
|
|
|
где - коэффициент вязкости. Отсюда:
|
(20.16) |
Fдемп l . |
Запишем уравнение равновесия верхней части нашего стержня:
N Fдемп Fин F 0
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
AE l l m F Sin |
t 0 |
( m) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20.17) |
|||||||
|
l l |
|
l 2 |
|
|
|
Sin 0t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение ищем в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l B Sin 0t C Cos 0t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Подставляя в (20.17), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
B 2 |
Sin |
t C 2 |
Cos |
t B |
|
Cos |
|
t |
C |
|
|
Sin |
t |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
F0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
m |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
m |
|||||||
B 2 |
Sin |
t C 2 |
Cos |
t |
Sin |
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Собирая множители при Sin 0t |
и Cos 0t |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B 2 02 C 0 |
|
|
|
|
|
0 |
Sin 0t |
C 2 |
02 B 0 |
|
|
|
|
Cos 0t 0. |
||||||||||||||||||||||
m |
|
m |
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы уравнение удовлетворялось в любой момент времени t, квадратные скобки должны быть равны нулю. Отсюда получаем систему:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|||
B 2 |
02 C 0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
m |
m |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B |
0 |
|
|
|
C ( |
|
|
0 ) 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выразим С из 2-го уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
B . |
(20.18) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
m( 2 |
02) |
|
157
Подставляя его в первое уравнение, получим:
B( 2 2) B |
0 2 |
|
|
|
F0 |
, |
|||||
m2 ( 2 02 ) |
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
m |
|||||
Отсюда получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F m ( 2 |
2) |
|
|
. |
|||||
0 |
|
0 |
|
|
|||||||
B |
|
|
|||||||||
m2 2 02 0 2 |
|||||||||||
Из выражения (20.18) находим С: |
|
F0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
2 |
|
2 2 |
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
m |
( ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Выводы из решения: Как видно, в знаменателе стоит сумма квадратов двух выражений, следовательно, знаменатель никогда не будет равен 0, таким образом, явления резонанса никогда не будет.
Однако при 0 , если вязкость демпфера мала, то коэффициент C будет очень большой. Поэтому для того, чтобы перемещения были малы, вязкость демпфера должна быть достаточно велика.
Примечание: на сегодня масляные демпферы требуют больших затрат по обслуживанию, поэтому ведутся исследования по отысканию податливых конструкционных материалов, которые обладали бы вязкими свойствами, достаточными для демпфирования. Такое свойство материалов называют внутренним трением, им обладают практически все материалы, но в разной степени. Вязкие свойства проявляются в них ярче при высоких температурах.
158