lecture_kaumov

Из условия равновесия левой части стержня (см.рис.18.20) вытекает, что

dM Mz .

Учтем, что t const согласно (18.14). Эту константу можно вынести:

Найдем геометрический смысл подынтегрального выражения. Рассмотрим нашу площадку (рис.18.23). Из рисунка видно, что площадь

треугольника BDO равна 1 a d , т.е.

2

Рис.18.23 Рис.18.24

Интеграл – это сумма таких площадей. Таким образом, получим, что интеграл равен удвоенной площади фигуры, которая ограничена штриховой линией, изображенной на рис.18.25.

Определение: Эту площадь А* назовем площадью просвета трубы.

Рис.18.25

Подставляя (18.18) в (18.16) видим, что:

t( ) 2 A* Mz .

Отсюда вытекает формула Бредта:

Из (18.19) следует, что при кручении труб разрушение начинается там,

где толщина стенки минимальна.

18.6. Угол закрутки тонкостенных стержней замкнутого профиля

Рассмотрим поворот сечения на угол - угол поворота правого торца относительно левого (рис.18.26). При этом точка N перейдет в точку N .

Из рисунка видно, что:

131

Отсюда вытекает, что зависит от . Для осреднения угла поворота разных точек контура используют следующий подход. В (18.23) слева и справа у нас одинаковые функции. Значит и интегралы от них будут одинаковы:

Ранее было получено, что слева интеграл равен 2A* (см.формулу

Таким образом, получаем следующую формулу Бредта для угла :

132

Здесь интеграл можно назвать относительным периметром стенки трубы:

18.7. Кручение стержней открытого профиля

Рассмотрим кручение стержней с прямоугольным сечением.

m

h

133

Точное решение получено Сен-Венаном. Но можно получить приближенное решение и инженерными методами, считая, что стержень – это совокупность круглых валов, как это показано на рис.18.30.

Рис.18.30

Введем систему координат (см. рис. рис.18.29). Если считать, что напряжения не меняются по ширине рассматриваемого прямоугольника, а только по высоте, то получим:

Рис.18.31

Разбив площадь на микроплощадки и вычисляя силу dQ, которая действует на нее, можно подсчитать момент, который создает сила dQ. Например, от горизонтальных напряжений момент будет

dM dA . (18.29)

Приравнивая сумму всех моментов крутящему моменту можно найти выражение для k :

b h3

Здесь: J 12 .

Формулу для теперь можно записать в виде, аналогичном случаю круглых валов (см. формулу (18.5)):

Для угла закрутки стержня прямоугольного сечения формула имеет

вид:

2Jp G

Здесь в отличие от круглых валов (см.формулу (18.10)) в знаменателе есть коэффициент 2.

134

Если стержень состоит из нескольких прямоугольников (см. рис.18.16), то выкладки (18.28) – (18.31) будут такими же. Изменится только момент инерции Jp . Он будет состоять из суммы моментов каждого прямоугольника:

Сравнивая (18.31) с (18.19) можно заметить, что в отличие от тонкостенных стержней замкнутого профиля в стержнях с открытым

профилем максимальные напряжения возникают там, где t tmax , т.е.

там, где стенка является наиболее толстой. Значит и разрушение начнется в самом толстом месте сечения.

Отметим, что стержни с замкнутым профилем намного прочнее и жестче, чем стержни с открытки профилем. Для примера можно рассмотреть трубу квадратного сечения ширины а, постоянной толщины t (см. рис.18.28).

Если же разрезать трубу вдоль оси (например, вдоль ребра), то получим стержень с открытым контуром. Вычислим максимальное напряжение (которое будет при t /2) и угол закрутки. Учитывая, что J 4a t3 /12

получим:

Найдем отношения напряжений и углов закрутки 2 / 1, 2 / 1:

2 / 1 3a/2t, 2 / 1 0.75a2 /t2 .

Видно, что при малых t напряжение 2 и угол 2 будут гораздо больше. Например, если положить а = 20 см., t = 1мм., то получим

Можно сказать, что после разреза трубы прочность понизилась в 300 раз, а жесткость в 30000 раз.

135

19. СЛОЖНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

Сложная деформация – это совокупность двух или более простых типов деформации бруса.

Их виды:

1)Растяжение с изгибом.

2)Кручение с изгибом.

3)Кручение с изгибом и растяжением.

4)Растяжение с кручением.

5)Косой изгиб (изгиб в двух плоскостях).

19.1. Эпюры внутренних силовых факторов

Разделим брус сечением на две части. На одну часть со стороны другой в трехмерном пространстве действует 6 силовых факторов Nz ,Qy ,Qx , Mx ,My , Mz . Правила знаков для сил и моментов, действующих в

плоскости xz, принимаем такими же, как и для плоскости уz (они были введены в разделе 3.1). В отличие от случая простого изгиба их эпюры строятся в аксонометрии (или в изометрии), причем, обычно эпюры Nz,Mz изображаются на отдельных рисунках, эпюры Qx,Qy - на одном отдельном рисунке, Mx,My - также на одном отдельном рисунке.

Пример: Рассмотрим L-образную балку (рис.19.1). На каждом участке ось z направляется вдоль стержня, а оси x,y-перпендикулярно стержню. При этом систему x, y, z желательно передвигать как жесткое целое.

Рис.19.1

Вычислим силы и моменты в четырех сечениях (см. рис.19.1).

136

Рассмотрим сечение 3:

Поскольку на втором участке сверху действует погонная сила q, то эпюра Mx будет криволинейной и вогнутой.

Строим эпюры сил и моментов по следующим правилам.

1.Знаком снабжается только эпюра Nz . Силу Nz откладываем

перпендикулярно оси стержня в произвольном направлении, снабжая знаком «-», если участок сжимается.

2.Крутящий момент Mz откладываем также в произвольном

направлении, но без знака.

3. Если рассматривается воздействие на сечение левой части бруса и если суммы внешних сил положительны, то Qx,Qy тоже положительны и

откладываются в направлении осей x,y (и наоборот, если рассматривается действие на сечение правой части бруса, то положительные внешние силы дают отрицательные вклады в Qx,Qy ).

тоже не снабжаются. Важное правило: Mx ,My откладываем в плоскости

действия сил и моментов, которые их вызывают. Например, в нашем случае M x -по вертикали, M y - по горизонтали.

Рис.19.2

137

Опасным называется сечение, в котором или Mx , или My принимают

экстремальные значения.

Из эпюры Mx ,My видно, что в нашем случае на первом участке

опасным является сечение, которое находится на стыке двух участков, на втором участке опасным является сечение, расположенное в заделке.

По эпюрам определяют вид деформации: 1-ый стержень испытывает растяжение с изгибом, 2-ой испытывает сжатие и кручение с изгибом.

19.2. Растяжение с изгибом

Рассмотрим растяжение с изгибом (см. рис.19.3).

Рис.19.3 Рис.19.4

Проанализируем задачу отыскания нормального напряжения .

Ясно, что он складывается из напряжений, возникающих при

Рис.19.5

138

Ясно, что из (19.1) следует ряд формул для простых деформаций:

Mx y.

Jx

19.3. Максимальные напряжения при растяжении с изгибом

Из формулы видно, что в разных точках с разными x,y напряжение разное. При расчете на прочность необходимо знать maxсжат (максимальное сжимающее напряжение) и maxраст (максимальное растягивающее напряжение).

Рассуждаем от противного. Найдем сначала линию, на которой напряжение минимально, то есть 0.

Подставим =0 в (19.1):

(19.2) – это уравнение прямой в плоскости х,у (см.рис.19.6).

Рис.19.6

Напомним определение: прямая, на которой 0, называется нейтральной.

139

Ясно, что вблизи нейтральной линии напряжение не нуль, но очень мало. И чем дальше от этой линии, тем напряжение больше. Следовательно,

maxраст , maxсж возникают в точках, наиболее удаленных от этой нейтральной

каком сечении maxсж или maxраст будут наибольшими.

Поэтому при растяжении с изгибом опасными являются все те сечения, в которых илиMx , или My экстремальны.

19.4 Косой изгиб

Это случай сложной деформации, при котором есть только изгиб в двух плоскостях.

В этом случае в формуле (19.1), полагаем N 0.

Уравнение нейтральной линии получает вид:

Mx y My x 0.

Видно, что нейтральная линия проходит через центр тяжести. Особенностью косого изгиба и растяжения с изгибом в общем случае

является то, что нейтральная линия (штриховая прямая на рис.19.7) не перпендикулярна равнодействующей F поперечных сил Fх , Fу .

Рис.19.7

140