lecture_kaumov

Для отыскания Сi учтем, что прогиб должен быть ограничен при

любых s. Однако первые 2 слагаемых не ограничены, т.к. e s при s .

Отсюда вытекает, что должно быть С1 С2 0.

Хотя для анализа решения можно и не искать С3, С4, найдем их для

Следующее уравнение относительно C3 получим из статических соображений. Виду симметричности задачи реакция основания справа (см. рис 16.18) известна: R P2.

Рис.16.18

Как видно из рис.16.18, в сечении под силой (при s = 0) согласно определению поперечной силы:

Подставляя s = 0 находим из (16.24):

111

Анализ решения.

Изобразим графически полученные решения. Если нет силы Р, то согласно решению балка оседает как жесткое тело на величину vчаст (см.рис. 16.19).

Рис.16.19 Рис.16.20

Если есть только сила P , то осадка имеет волнообразный, но затухающий характер, как это изображено на рис. 16.20. Видно, что при отсутствии силы веса под действием только силы Р некоторые области балки приподнимаются над нулевым уровнем грунта.

Балка не будет приподниматься над первоначальным уровнем (т.е. будет отрицательным) только тогда, когда:

vчаст vmax .

Суммарная осадка балки для этого случая изображена на рис.16.21.

Рис.16.21

Практические выводы из решения. Для того чтобы фундамент или дорожное полотно, не отрывались от грунта под действием сосредоточенной

силы необходимо, чтобы погонный вес фундамента или полотна был достаточно большой. Это означает, что толщина фундамента или дорожного полотна должна быть достаточно велика.

112

17. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотрим сжатый стержень.

P Pкр

Рис.17.1 Рис.17.2

Пусть сила Р приложена в центре тяжести сечения стержня. На первый взгляд у силы Р нет плеча, значит Mx 0, значит, для изгиба нет причин.

Это справедливо при малых Р. Однако при некотором значении Р происходит резкая смена прямолинейной формы в криволинейную при малейшем поперечном воздействии (см.рис.17.2).

Это явление называется потерей устойчивости.

Сила Р, при которой это происходит, называется критической, а соответствующее ей напряжение называют критическим напряжением:

кр Ркр .

А

Опыт показывает, что для потери устойчивости стержня требуется меньшая сила, чем для разрушения сжатием, например, кубика из того же материала. Таким образом:

здесь Р* - разрушающая сила, σ* - предел прочности на сжатие.

Уменьшая критическое напряжение σкр на коэффициент запаса kуст получают допустимое напряжение [σ]уст , больше которого не должно быть рабочее напряжение:

|σ| ≤[σ]уст.

Для удобства расчетов часто пользуются таблицами, в которых приводится коэффициент φ, показывающий, насколько [σ]уст меньше основного допустимого напряжения [σ]:

φ=[σ]уст / [σ].

Если на растяжение и сжатие разрушающие напряжения различны, то под φ понимают величину:

φ=[σ]уст / [σ]сж.

113

17.1 Формула Эйлера

Впервые формулу для вычисления Pкр вывел Л. Эйлер.

Рис.17.3

Рассмотрим балку, потерявшую устойчивость, т.е. P Pкр (см. рис.17.3).

Изгиб здесь имеет место под действием момента MX Pкр v , где v –

прогиб. Для отыскания Pкр используем уравнение изогнутой оси балки:

Действительно, легко проверить, что после подстановки (17.3) в (17.2) слева получиться то же самое, что и справа.

Константы В и С отыскиваем из условий закрепления: (1): s 0,v 0 на левом краю

(2): s l,v 0 на правом краю

114

Отсюда

(1): C 0

Поскольку это противоречит исходному предположению, то рассмотрим уравнение

Sin al 0.

Оно имеет следующие решения:

увеличиться не может. Аналогично и для других решений (17.4). Таким образом, получим что:

115

Очевидно, что изгиб произойдет в той плоскости, которая требует меньшее значение кр . Видно, что кр в (17.6) и (17.7) отличаются только

моментом инерции. Таким образом, нужно взять тот случай, в котором момент инерции меньше:

Известно, что момент инерции достигает наименьшего значения относительно одной из главных центральных осей. Следовательно, для вычисления кр необходимо найти главные центральные оси и главные

моменты, а затем выбрать из них наименьшее. Отметим особенности применения формулы (17.8)

1)Здесь предполагалось, что в обеих плоскостях опоры - шарнирные.

2)При выводе формулы предполагалось, что стержень упругий и

соблюдается закон Гука, поскольку уравнение изогнутой оси балки получено при условии, что стержень линейно упругий. Следовательно, формула верна только тогда, когда справедлив закон Гука.

Примечание. Вывод формулы Эйлера можно провести и из других соображений, а именно из закона сохранения энергии, полагая что W Э , где

где - перемещение точки приложения силы вдоль оси стержня.

116

Таким образом:

2EJ

Pкр l min .

( 2)2

Введем параметр n – число волн, которые образуются при продольном изгибе балки, тогда получим:

2EJ

Pкр l min .

( n)2

Пользуясь этой аналогией, получим еще одну (приближенную) формулу для случая, изображенного на рис. 17.11:

2EJ

Pкр min2 .

(0.7l)

Рис. 17.11

В расчетной практике вместо n используют - коэффициент приведенной длины :

1 . n

Запишем формулу Эйлера с помощью нового обозначения:

118

Это наиболее употребительный вид формулы Эйлера.

17.3 Предельная гибкость. Длинный стержень

Рассмотрим условие применимости формулы Эйлера (17.9):

кр пц .

Таким образом, формула Эйлера применима, если:

*

То есть, если условная длина достаточно большая, то формула Эйлера применима. Поэтому такие стержни называют длинными.

17.4 Формула Ясинского

Он изучил более 2000 экспериментов и показал, что если * , то кр

можно вычислять по формуле:

кр a b

Это и есть формула Ясинского.

Здесь a и b константы материала. Например, для стали:

119

a2,66Tсм2 26,6kHсм2

b0,0066Tсм2 0,066kHсм2

Кроме того, для стали предел текучести

T 2,4Tсм2 24kHсм2 .

Из формулы Ясинского видно, что если очень мал, то

кр 2,66Tсм2 T .

Это означает, что для изгиба стержня-образца требуется больше усилий, чем для того, чтобы сплющить этот образец. Поэтому формула Ясинского справедлива только тогда, когда:

a b T

Это условие применимости формулы Ясинского.

Отсюда b T a, или

Если же: a T , то стержень называют коротким: b

17.5 Продольный изгиб

Снова рассмотрим изгиб балки под действием продольной центральной силы Р, но предварительно изогнутой приложенными по концам сосредоточенными моментами m (см. рис. 17.12). Этот момент может быть вызван внецентренным нагружением продольной силой Р, если он имеет эксцентриситет е. Тогда m=Ре.

120