Напряжения в наклонных сечениях бруса

Рассечем растянутый стержень плоскостью , наклонной к поперечному сечению под углом (рис. 3.4а). Угол условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Рис.3.4

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении (сжатии) одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения во всех точках и наклонного сечения одинаковы.

Площадь наклонного сечения стержня можно выразить через площадь поперечного сечения:

Из условия равновесия отсеченной части (рис. 3.4б) легко установить, что равнодействующая внутренних сил в наклонном сечении , откуда

Разложим напряжение на два составляющих напряжения: нормальное , перпендикулярное к плоскости сечения , и касательное , параллельное этой плоскости (рис. 3.4в):

(3.4)

Нормальное напряжение считается положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремиться вращать тело относительно любой т.С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 3.4в показано .

Из формул (3.4) видно, что в поперечных сечениях ( ) нормальные напряжения будут наибольшими , а касательные напряжения отсутствуют. При и нормальные и касательные напряжения равны нулю. Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Из второй формулы (3.4) следует, что касательные напряжения принимают значения от (при ) до (при ).

Таким образом, наибольшие касательные напряжения будут в площадках, наклонных под углом 45 к оси бруса:

.

Нормальные напряжения в этих площадках () равны

.

Определение деформаций

Опыт показывает, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокращаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются (рис. 3.5).

Рис.3.5

Изменение первоначальной длины стержня называется абсолютным удлинением.

Выделим (рис. 3.5) бесконечно малый элемент стержня длиной . После приложения нагрузки он получит удлинение . Относительная продольная линейная деформация этого элемента

и

При простом растяжении для всех сечений , значит удлинения всех малых элементов одинаковы, т.е. .

Суммируя удлинения малых элементов по всей длине стержня получим

Таким образом, относительная продольная деформация при растяжении равна

(3.5)

Аналогично найдутся поперечные деформации (рис. 3.5)

(3.6)

Здесь знак (–) поставлен потому, что при растяжении поперечные размеры уменьшаются. Для изотропных материалов поперечные деформации одинаковы: .

Деформации и – безразмерные величины.

Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона

(3.7)

Коэффициент Пуассона есть величина постоянная только для данного материала в пределах упругих деформаций и определяется экспериментально. Для различных материалов коэффициент Пуассона имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,5 (для резины и парафина). Для стали .

Чем больше величина силы, тем больше, при прочих равных условиях, удлинения бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно.

Для целого ряда материалов при нагрузках, не превышающих некоторого предела, опытом установлена следующая зависимость

или или , (3.8)

где Е – коэффициент, зависящий от физических свойств материалов.

Коэффициент пропорциональности Е между напряжениями и деформациями называется продольным модулем упругости или модулем Юнга.

Размерность Е такая же, как и у напряжения.

Из формулы (3.8) получим

(3.9)

Величина называется жесткостью бруса при осевой нагрузке.

Впервые закон о прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями сформулировал Роберт Гук и этот закон носит его имя.

Формулы (3.8) – (3.9) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении (сжатии) бруса.

Общая формулировка закона Гука: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

Для определения полного удлинения ступенчатого бруса и бруса, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются на участках с постоянными и А и результаты суммируются алгебраически по всем участкам

(3.10)

При продольной нагрузке, распределенной по длине бруса, а также в случае, когда площадь бруса переменна по длине его оси , для определения перемещения необходимо рассматривать брус, состоящий из бесконечного множества бесконечно малых участков длиной . Удлинения каждого такого участка определяются выражением , а полное изменение участка бруса длиной

или (3.11)

Здесь и выражения нормальной силы и площади в произвольном сечении.

Рис.3.6

Иногда требуется опреде-лить перемещение какого-либо поперечного сечения стержня. Смещение сечения зависит от деформации не всего бруса, а лишь некоторой его части между сечением и неподвижной задел-кой. Так, например, для стерж-ня, показанного на рис. 3.6а, сме-

щение сечения равно удлинению заштрихованной части.

Если требуется определить изменение расстояния между двумя сечениями: и (рис. 3.6б), то для этого необходимо определить изменение длины заштрихованных участков, лежащих между указанными сечениями.

Учет собственного веса бруса (колонны)

A_z

q_z

Рис.3.7

N_z

_z

W_z

Рис.3.8

Вначале рассмотрим брус переменного сечения (рис. 3.7), для которого задан закон изменения площади поперечных сечений . Продольная сила в любом сечении такого бруса равна

(3.12)

где объемный вес материала бруса. погонная распределенная нагрузка от веса.

Напряжения в любом сечении равны

(3.13)

Перемещение любого сечения относительно заделки находиться так:

или (3.14)

Рассмотрим частный случай, брус постоянного сечения (рис. 3.8)

Эпюры и , показывающие изменение продольной силы и нормальных напряжений по длине бруса, изображены на рис. 3.8б,в.

Перемещение любого сечения относительно заделки:

при при .

Учитывая, что вес бруса . Эпюра перемещении сечений бруса показана на рис. 3.8г.

Найдем изменение длины колонны, показанной на рис. 3.3. Используем формулы (3.11)

(3.15)

Здесь интеграл от 0 до разбит на сумму двух интегралов по двум участкам, т.к. для каждого участка различны и

I участок

II участок

Подставив это в (3.15), получим

Если , то колонна удлиняется, если станет короче.