660,5См2

Из таблиц сортамента двутавров видно, что лежит между: №33=597см³ и №36 =743см³. Cначала проверим №33 с учетом допускаемой перегрузки 5% от , т.е.=1616,8кН/см².

17,7КН/см2

Итак, №33 не подходит балке даже с учетом перегрузки.

Проверяем №36

16КН/см2

Проверяем №36 по условию прочности (5.18), подставляя данные из сортамента: 0,75см;423см³; 13380см⁴

10КН/см2

Итак, окончательно для балки выбираем двутавр №36, который отвечает всем условиям прочности.

Для определения деформации балки, т.е. – углов поворота сечений ипрогибов балки, с соблюдением условий метода Клебша для всех трех участков балки, записываем дифференциальные уравнения (5.20) и интегрируем их:

I участок левая часть (см. рис. 5.10)

I

Здесь в формуле а) первый минус – т.к. левая часть, второй минус – т.к. он стоит в (5.20)

II участок левая часть

II

Здесь слагаемое с интегрируется без раскрытия скобок согласно п.4 метода Клебша.

III участок левая часть

III

Все условия метода Клебша выполнены, поэтому должно быть: ,. Для определенияconst ирассмотрим условия закрепления балки:

1. Сечение А, опора, т.е. при . Подставим это в формулуIс), получим

(1)

2. Сечение В, опора, т.е. при . Подставим это в формулуIIIс)

(2)

Решаем уравнения (1) и (2) найдем

= – 173,67, = 258,75

По формулам в) и с) на каждом участке балки вычислим и. Результаты вычислений сведем в таблицу

м	0	1	1,5	2	3	4	5	6	7
кНм2	-173,7	-171,2	-172,8	-174,4	-112,8	-12,1	82,8	126,8	109,9
кНм3	258,8	86,5	0	-88,7	-237,4	-301,3	-263,5	-152,6	-28,2

М	8	9	10	4,12
кНм2	42,1	-31,6	-66,2	0,470
кНм3	50,1	54,0	0	-302,2

По этим данным строим эпюру и эпюру. Из эпюрывидно, что при4м на эпюременяется знак, а согласно зависимости (5.19)в сечении, гдевеличинаимеет экстремум. Найдем его. Расчеты показали, что при4,12м величина=0,47, т.е. близка к нулю. В этом сечении балки= – 302,2кНм³. С учетом этого строим окончательные эпюры на рис. 5.11. (По аналогии с надо найти(наIII участке при м) и вычислить).

Проверка балок на жесткость

Из условий нормальной работы конструкций часто ограничивают максимальные прогибы балок. Обычно вводят следующие ограничения: допускаемые прогибы пролета балки длиной , а для консолей длиной, или эти данные берут из справочников.

Условия жесткости балки:

– в пролете

– в консолях

Проверим балку рассматриваемого примера.

Из рис. 5.11 или таблицы находим

левая консоль: 1,5м,1см,=258,8кНм³, кН/см², 13380см⁴,

1см

Условия жесткости консоли выполняется.

пролет: 8,5м,2,83см,=302,2кНм³

2,83см

Итак: Двутавр №36 отвечает всем требованиям к прочности и жесткости рассматриваемой балки.

Примечание: Если жесткость где-то не выполняется, берут следующий номер двутавра и проверяют его на жесткость.

Статически неопределимые балки при изгибе

Как уже ранее мы отмечали, в случае действия нагрузки на балку в одной плоскости, минимальное число связей, обеспечивающее неподвижность балки по отношению к основанию, равно трем. Эти три связи являются абсолютно необходимыми. Удаление хотя бы одной из таких связей превращают балку в геометрически изменяемую систему (механизм). Поскольку для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, то балки, закрепленные тремя связями, являются статически определимыми. Исключение составляют многопролетные шарнирные балки, которые могут быть статически определимыми и при числе внешних связей больше трех (об этом выше уже говорилось).

Очень часто, для обеспечения требуемой прочности и жесткости балки, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений, т.е. ввести некоторые «лишние» связи.

В балках с «лишними» связями все реакции нельзя определить только из уравнений равновесия. Такие балки будут статически неопределимыми.

Число «лишних» неизвестных определяет степень статической неопределимости системы.

Для раскрытия статической неопределимости балок разработаны несколько методов. Рассмотрим один из них – с использованием метода Клебша для определения деформации балки. Порядок расчета таких балок заключается в следующем:

1. Составляем обычные три уравнения статики для всей балки (как при определении опорных реакций).

2. Для всех участков балки с учетом правил метода Клебша записываем дифференциальные уравнения (5.20) и интегрируем их.

3. Из условий закрепления балки составляем дополнительные уравнения, которые с уравнениями статики дают необходимую систему алгебраических уравнений для определения всех опорных реакций и констант и.

После определения всех опорных реакций, расчет балки на прочность и жесткость ведется обычным (как показано выше) путем.

Пример: Здесь четыре опорных реакции: и. Задача однажды статически неопределима.

1. Уравнения статики:

(1)

(2)

2. Уравнения деформации балки. Здесь один участок лев. часть

а)

в)

с)

3. Рассмотрим закрепление балки:

Сечение А (заделка), при . Подставим в уравнение в), найдем. СечениеА, при и. Подставим в с) найдем.

Сечение В, опора, при ,. Подставим в с)

(3)

Решаем уравнения (1)(3) и находим ,.

Энергия деформации.

От в точках сечения возникаюти(1)

От возникают, определяемый формулой Журавского и-по закону Гука при сдвиге.

Как показано выше в разделе 3 (3.16), при действии иудельная энергия деформации, аналогично оти,. В общем случае. Анализ показал, чтомного меньше, поэтому.

В объеме тела энергия деформации .

Подставляя сюда (1) получим

(2)

В объеме всего бруса, площадью сечения и длинойl, полную энергию U найдем интегрированием по иl

Здесь учтено, что и по ,.

Итак, при плоском изгибе

(5.21)

В случае чистого изгиба, когда поl и балка постоянного сечения получим из (5.21)

(5.22)

84