6____2004
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 20. |
|
|
|
1. |
|
|
|
Что означает сходимость последовательности в пространстве l |
||||||||
стремящихся |
к нулю последовательностей |
x = (x1, x2 ,...),(xk R) |
с нормой |
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
= sup | xk | ? |
Убедиться, |
что выполняются |
аксиомы |
нормы, |
т.е. норма |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
определена корректно. |
|
|
|
|
||||||||
2. |
|
|
|
Дано пространство C[-1, 1] непрерывных на [-1, 1] функций с нормой |
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
= max | x(t) | . Образует |
ли множество многочленов |
степени |
≤ k под- |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t [−1,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространство в пространстве С[-1, 1]?
3. Пусть R∞ - пространство бесконечных последовательностей с действительными элементами. Образуют ли подпространство в R∞ последовательности, в которых все элементы отличны от 1?
4.Рассмотрим метрическое пространство R2 и соответствующую метрическую топологию. Доказать, что множество открытых прямоугольников с центрами, имеющими иррациональные координаты, является базой этой топологии.
5.Проверить ортогональность векторов f1 =(1, −2, 1, 3) и f2 =(2, 1, −3, 1) в
евклидовом пространстве и дополнить их до ортогонального базиса.
241
242
Асташова И.В. Никишкин В.А.
Геометрия и топология
Тесты
Москва 2004
Тест 1 (векторная алгебра)
Вариант 1
1.Суммой векторов а={4,-2} и b={2,3} является вектор:
а) {6,-1}; б) {6,1}; в) {2,-5}.
2.Скалярное произведение векторов а={3,-1,5} и b={2,1,-6} равно:
а) –25; б) 5;
в) 6i-j-30k.
3.Векторное произведение векторов а={1,-1,2} и b={0,1,3} равно:
а) –5i+3j+k; б) 5;
в) –5i-3j+k;
4.Векторы а={1,3,10} и b={0.5, 1.5, 5} являются
а) коллинеарными; б) перпендикулярными;
в) пересекающимися под углом, не равным 900.
5. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а={1,2,2} и b={3,1,0}, равна:
а) 65 ; б) 5; в) 1.
6. Векторы a=i, b=j и c=i+k:
а) образуют правую тройку векторов; б) не образуют правой тройки векторов;
7.Объем параллелепипеда, построенного на векторах a={1,0,1}, b={2,-1,4} и c={0,1,2} равен:
а) -4; б) 2; в) 4.
8.Векторы a={2,3,1}, b={-1,0,-1} и c={2,2,2} в трехмерном пространстве:
а) образуют базис; б) не образуют базис.
9. Разложение вектора p={-2,4,7} по базису e1={0,1,2},e2={1,0,1},e3={-1,2,4} имеет вид:
а) e1 - 2 e2 + e3. б) -e1 + e2 + 3 e3. в) 2 e1 - e2 + e3.
246
74 ; в) 
35 .
30 ; б) 30; в) -30.
107 ; в) 
117 .Тест 2 (аналитическая геометрия, часть 1)
Вариант 1
1. Уравнение прямой
y = 2x +3
называется:
а) каноническим уравнением прямой; б) уравнением прямой, проходящей через две точки; в) уравнением прямой «в отрезках»; г) нормальным уравнением прямой;
д) уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Точки М1(0,-1) и М2(3,1) лежат от прямой
2x + y −6 = 0
а) по одну сторону; б) по разные стороны.
3. Следующие уравнения
2x +3y + z +1 = 0x − y +3z −5 = 0
являются уравнениями: а) плоскости;
б) каноническими уравнениями прямой; в) параметрическими уравнениями прямой;
г) прямой как линии пересечения плоскостей.
4. Нормальный вектор плоскости
3x +2 y − z = 0
имеет следующие координаты:
а) {-3, 2, -1}; б) {-1, 2, 3}; в) {3,2,-1}.
5. Плоскости, задаваемые уравнениями
2x +3y − z −1 = 0 , 3x + y + z +5 = 0 ,
являются:
а) параллельными; б) перпендикулярными;
в) пересекающимися под острым углом.
6. Расстояние от точки M(3, 1, -1) до плоскости
22x +4 y −20z −45 = 0
равно:
а) 3/2; б) 2/3; в) 45.
249
7. Направляющий вектор прямой
x 5−1 = y−−12 = z−+63
имеет следующие координаты:
а) {1, 2, -3}; б) {4, -3, -3}; в) {-5, 2, -18}; г) {5, -1, -6}.
8. Прямые, задаваемые уравнениями
x −2 = |
y −1 |
= z + 4 , |
x −4 |
= |
y +1 |
= |
z −3 |
, |
||
3 |
|
2 |
6 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
являются:
а) пересекающимися; б) скрещивающимися.
Вариант 2
1. Уравнение прямой
2x − y +5 = 0
называется:
а) каноническим уравнением прямой; б) общим уравнением прямой; в) уравнением прямой «в отрезках»;
г) нормальным уравнением прямой; д) уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2.Точки М1(1,5) и М2(3,-7) лежат от прямой
x− y +10 = 0
а) по одну сторону; б) по разные стороны.
3. Следующие уравнения
x −4 2 = y 5+1 = z−+13
являются уравнениями: а) плоскости;
б) каноническими уравнениями прямой; в) параметрическими уравнениями прямой;
г) прямой как линии пересечения плоскостей.
4. Нормальный вектор плоскости
− x +12 y + z +7 = 0
имеет следующие координаты:
а) {6, 19, 8}; б) {-1, 12, 1};
250