641132TВ - -TБ TА1_13.01.2015

10

Вариант 22.

Задача 1.

В урне a белых, b красных и c чёрных шаров. Из урны одновременно извлекли m шаров. Найти вероятности событий:

A₁все шары белые;

A₂среди извлеченных только один чёрный шар;

A₃извлечено k белых, l черных и n красных шаров;

A₄среди извлеченных хотя бы один чёрный шар;

A₅все шары одного цвета;

A₆среди извлеченных нет двух шаров одного цвета.

Вариант	a	B	c	m	k	l	n
22	3	5	2	4	1	2	1

Решение.

4 шара из 10 можно выбрать:

способами, где

Имеем: способов.

1) Вероятность Р(A₁) = 0, поскольку выбирают 4 шара, а белых всего 3.

2) Определим вероятность A₂ , среди выбранных четырех шаров – один черный, а три других могут быть только белыми и красными (либо три белых, либо два белых и красный, либо один белый и два красных, либо три красных). Один черный шар из двух можно выбрать способами.

Три белых шара из трех можно выбрать способом.

Два белых шара из трех можно выбрать способами, 1 красный их 5-и можно выбрать способами.

Один белый шар из трех можно выбрать способами, 2 красных их 5-и можно выбрать способами.

Три красных шара из пяти можно выбрать способами.

Искомая вероятность:

3) Один белый шар из трех можно выбрать способами, 1 красный их 5-и можно выбрать способами, два черных шара из двух можно выбрать способом.

Искомая вероятность:

.

4) Таким образом, среди извлеченных должно быть один либо два черных шара. Вероятность того, что среди извлеченных один черный шар мы уже рассчитали в пункте 2.

Рассчитаем вероятность того, что среди извлеченных два черных шара. Тогда оставшиеся два шара могут быть - либо оба белых, либо оба красных, либо красный и белый.

2 белых шара из 3 можно извлечь способами, две красных шара из 5 можно извлечь способами, один белый шар из трех можно выбрать способами, 1 красный их 5-и можно выбрать способами. Два черных шара из двух можно извлечь способом.

Искомая вероятность:

5) То есть все шары должны быть красного цвета (только шаров этого цвета достаточно). Четыре красных шара из пяти можно выбрать способами.

Искомая вероятность:

6) Вероятность Р(A₆) = 0, поскольку число выбранных шаров должно делиться на три (по количеству цветов), а мы выбираем 4, то есть два шара как минимум будут одного цвета.

Задача 2.

В урне a белых, b синих и c зелёных шаров. Из урны последовательно извлекли m шаров. Найти вероятности событий:

A₁шары появились в порядке: синий, белый, зеленый и т.д.;

A₂два первых шара – белые, а остальные – синие;

A₃синих шаров больше, чем зеленых.

Вариант	a	b	c	m
22	4	2	6	3

Решение.

Учитываем, что мы определяем вероятность извлечения очередного шара последовательно поскольку уменьшается и общее число шаров, и число шаров того цвета, который мы уже извлекли.

Вероятность А₁:

.

Вероятность А₂:

.

Определим вероятность А3 – синих шаров больше, чем зеленых. Всего выбрано 3 шара, но синих всего 2. Таким образом, возможные комбинации:

1) 2 синих, 1 зеленый;

2) 2 синих, 0, зеленых, 1 белый;

3) 1 синий, 0 зеленых, 2 белых.

Определим их вероятности (учитываем число перестановок или очередность).

Р(2с, 1з) = 6*2/12*1/11*6/10 = 72/1320 = 0,05454

Р(2с, 1б) = 6*2/12*1/11*4/10 = 48/1320 = 0,03636;

Р(1с, 2б) = 6*2/12*4/11*3/10 = 144/1320.

Получаем Р(А3) = (72 + 48 +144)/1320 = 264/1320 = 0,2.

Задача 3.

В городе три коммерческих банка, оценка надёжности которых  p₁, p₂, p₃ соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития администрацию города интересуют ответы на следующие вопросы: какова вероятность того, что

A₁обанкротится только i-ый банк;

A₂обанкротятся только j-ый и k-ый банки;

A₃обанкротится не более одного банка;

A₄все три банка обанкротятся;

A₅хотя бы один банк избежит банкротства.

Вариант	p1	p2	p3	i	j	K
22	0,7	0,76	0,84	3	2	1

Решение.

1. Вероятность того, что обанкротиться только 3-й банк, а два других не обанкротятся:

Р(А1) = р1*р2*(1 – р3) = 0,7*0,76*(1 – 0,84) = 0,08512.

2. Вероятность того, что обанкротятся 2-й и 1-й банки, а 3-й не обанкротится:

Р(А2) = (1 – р1)*(1 – р2)*р3 = (1 – 0,7)*(1 – 0,76)*0,84 = 0,06048.

3. Вероятность того, что обанкротиться не более одного банка (то есть либо обанкротиться один из банков, либо ни один не обанкротиться):

Р(А3) = р1*р2*р3 + р1*(1 - р2)*р3 + (1 – р1)*р2*р3 + р1*р2*(1 - р3) = 0,7*0,76*0,84 + 0,3*0,76*0,84 + 0,7*0,24*0,84 + 0,7*0,76*0,16 = 0,86464.

4. Вероятность того, что все три банка обанкротятся:

Р(А4) = (1 – р1)*(1- р2)*(1 – р3) = 0,3*0,24*0,16 = 0,01152.

5. Вероятность того, что хотя бы один банк избежит банкротства (событие противоположно А4):

Р(А5) = 1 – Р(А4) = 1 – 0,01152 = 0,98848.

Задача 4.

В магазин поступают изделия трёх хлебозаводов, которые выпускают соответственно n₁ %, n₂ % и n₃ % объёма продукции. В продукции хлебозаводов брак составляет m₁ %, m₂ % и m₃ % соответственно.

1. Продавец наугад берёт один батон и продаёт покупателю. Найти вероятность того, что покупатель будет доволен качеством изделия.

2. У покупателя возникли претензии к качеству товара. На каком хлебозаводе вероятнее всего он изготовлен?

Вариант	n1	n2	n3	m1	m2	m3
22	52	36	12	2,7	1,7	0,6

Решение.

1) Вероятность того, что продукция:

первого хлебозавода – р(1) = 0,52;

второго хлебозавода – р(2) = 0,36;

третьего хлебозавода – р(3) = 0,12.

Вероятность что качественная продукция:

первого хлебозавода – р(А/1) = 0,973;

второго хлебозавода – р(А/2) = 0,983;

третьего хлебозавода – р(А/3) = 0,994.

Тогда вероятность того, что взятый наугад взятый батон качественный, определяется по формуле полной вероятности:

или 97,912 %.

Вероятность того, что он некачественный:

Р() = 1 – Р(А) = 1 – 0,97912 = 0,02088.

2) Вероятность того, что обнаруженный некачественный батон изготовлен на i-м хлебозаводе определяется по формуле Байеса:

на первом хлебозаводе –

Вероятность больше 50%, это и есть наиболее вероятный хлебозавод.

Задача 5.

В каждом из независимых испытаний событие A происходит с вероятностью p. Определить вероятности того, что:

1. в n₁ испытаниях событие A появится m₁ раз;

2. в n₂ испытаниях событие A появится m₂ раз;

3. в n₁ испытаниях событие Aпоявится не менее m₁ раз и не более m₃ раз;

4. в n₂ испытаниях событие A появится не менее m₂ раз и не более m₄ раз.

Вариант	n1	n2	m1	m2	m3	m4	p
22	10	115	6	60	8	75	0,7

Решение.

1) Используем формулу Бернулли:

подставляем:

.

2) Используем локальную формулу Лапласа:

_{табличная функция Лапласа;}

_{n – общее число испытаний.}

_{Подставляем:}

3) Определим значения Р(7) и Р(8):

;

;

Получаем:

4) Используем интегральную формулу Лапласа:

;

- табличная функция Лапласа, определяем по статистическим таблицам.

Подставляем:

.

Литература.

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статис­тика. — М.: Высш. шк., 1999.

2. Горбань С. Ф., Снижко Н. В. Теория вероятностей и математи­ческая статистика. — К.: МАУП, 1999.

3. Гурский Е. М. Теория вероятностей с элементами математичес­кой статистики. — М.: Высш. шк., 1971.

4. Береславская В.А., Стрельникова Н.М., Хинканина Л.А. Теория статистики: Учебное пособие. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2008. – 136 с.