Министерство образования Российской Федерации

Московский Финансово Юридический Университет (Калининградский филиал)

____________________________________________________________________________

Малаховский н.В.

Методические указания и контрольные задания

для студентов заочного отделения по дисциплине

Линейная алгебра

Калининград, 2011

Пояснительная записка

Целями и задачами дисциплины «Линейная алгебра» являются накопление необходимого запаса сведений по математике, а также освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать экономические задачи, помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов; развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследования экономических проблем, развитию стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы.

Дисциплина «Линейная алгебра» является предшествующей для следующих дисциплин: математический анализ, теория вероятностей м математическая статистика, методы оптимальных решений, информатика, математические методы и модели, микроэкономика, макроэкономика, статистика, эконометрика. Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

В результате изучения этой дисциплины студент должен: знать: основы линейной алгебры, необходимые для решения экономических задач, уметь применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач, ладеть навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач; методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.

Фундаментальность подготовки в области математики включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, точность формулировок математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык. В ходе изучения дисциплины “Линейная алгебра” основное внимание уделяется изучению основных понятий и методов линейной алгебры, а также роли и месту линейной алгебры в решении различных экономических задач.

Практическая часть дисциплины предназначена для выработки у студентов логического и аналитического мышления, формирования вычислительных навыков, умения проводить приближенные расчеты, привития первичных навыков работы с наиболее популярными прикладными программами.

Методические указания по выполнению контрольной работы по линейной алгебре

Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами.Элементы матрицы нумеруются двумя индексами, первый из которых обозначает номер строки, а второй- номер столбца. Число строк и столбцов матрицы называется еепорядком:. Матрица, число строк и столбцов которой совпадает, называетсяквадратной.

Для матриц определены следующие линейные операции: сложение, умножение матрицы на число, умножение матриц.

Складываются матрицы поэлементно, поэтому можно найти сумму только матриц одинакового порядка.

При умножении матрицы на действительное числокаждый элемент этой матрицы умножается на это число.

Произведением матрицы А порядкана матрицу В порядканазывается матрица С порядка, каждый элемент которойпредставляет собой сумму произведений элементовi-той строки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В:

.

Следует обратить внимание, что умножить можно только те матрицы, в которых число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй матрице. Также следует иметь в виду, что в общем случае умножение матриц не коммутативно: .

Определителемквадратной матрицыА называется числоdetA , поставленное в соответствие этой матрице по определенному закону.

Для квадратных матриц второго порядка: .

Определители более высоких порядков можно вычислить согласно теореме:

Теорема. Определитель квадратной матрицыАпорядкаnравен сумме произведений элементов некоторой строки (или столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:

,

где -алгебраическое дополнение элементаматрицыА, а- минор этого элемента, то есть определитель матрицы порядкаn-1, полученной из матрицы Авычеркиванием j–го столбца и i-той строки.

Обратной матрицейк квадратной матрице А называется такая матрица, что, где- единичная матрица соответствующего порядка.

Теорема. Если, то

.

Следует обратить внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице.

Рангом матрицыназывается наибольший порядок ее отличного от нуля минора (иличисло линейно независимых строк или столбцов матрицы).

Миноромпорядкаkпроизвольной матрицыА называется определитель, составленный из элементов матрицыА, стоящих на пересечении любых ееkстрок иkстолбцов.

Существуют два метода нахождения ранга матрицы: метод окаймляющих миноров(состоящий в последовательном вычислении миноров с первого порядка и до тех пор, пока это возможно, либо пока все миноры порядкаk+1не окажутся =0, тогдаrangA=k), либометод элементарных преобразований(матрица приводится к ступенчатому виду, и тогда ранг равен числу ненулевых строк матрицы).

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

-действительные числа, называемыекоэффициентами системы, а-действительные числа, называемыесвободными членами.

Система называется совместной, если существует хотя бы одно ее решение, то есть если найдется такой набор чисел, что при подстановке этих чисел вместо соответствующих переменных, каждое уравнение системы обращается в тождество.

Возможны три случая: - система не имеет решений;

- система имеет единственное решение;

- система имеет бесконечно много решений.

Теорема Кронекера- Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги ее основной и расширенной матриц равны.

Основной матрицей системыназывается матрица ее коэффициентов,расширенной- матрица, включающая помимо коэффициентов столбец свободных членов.

Существуют три основных метода решения СЛАУ.

1)Матричный метод,основанный на матричной записи системы. Вектор-столбец решения находится как. Ввиду громоздкости вычислений применяется в основном в теории.

2) Метод Крамера,заключается в вычислении основного определителя системыи определителей, в которыхi-тый столбец заменен столбцом свободных членов. Решение системы в этом случае :.

3) Метод Гаусса, или метод последовательного исключения переменных. Система уравнений, а точнее, ее расширенная матрица путем элементарных преобразований (замена уравнений местами, умножение уравнения на число, прибавление к одному уравнению системы другого, умноженного на некоторое число) приводится к ступенчатому виду. Далее из каждого уравнения, начиная с последнего, выражается соответствующая переменная. Метод Гаусса - самый универсальный из предложенных, позволяет решать практически все системы.

Однородные системы линейных уравнений - это системы, в которых столбец свободных членов равен 0. Однородная система уравнений совместна всегда, так как она имеет нулевое решение.

Теорема. Однородная СЛУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Система решений называется фундаментальной, если любое решение СЛАУ выражается в виде ее линейной комбинации.