Типовой расчёт (ВМС)
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ÄЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ 230105, 090106
ФАКУЛЬТЕТА ВМС
МОСКВА 2007
Составители: И.В.Артамкин, Н.В.Белецкая, А.Ю.Воловиков, Ю.О.Головин
Редактор Ю.И.Худак
Контрольные задания содержат типовые расчеты по дифференциальным уравнениям, предназначенные для студентов 2 курса факультета ВМС (специальности 230105, 090106). Типовые расчеты выполняются студентами в письменном виде и сдаются преподавателю до начала зачетной сессии. Вопросы к зачету или экзамену могут быть уточнены и дополнены лектором.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.
Рецензенты: И.А.Соловьев А.Л.Шелепин
Контрольные задания напечатаны в авторской редакции Подписано в печать .07.2007. Формат 60£84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,86. Усл. кр.-отт. 7,44. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 200 экз. C
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияМосковский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) 119454, Москва, просп. Вернадского, 78
3
УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И СДАЧЕ ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ
1. Типовой расчет состоит из трех разделов:
-теоретические упражнения; -практические задания; -контрольные вопросы;
2.В начале раздела ¾Теоретические упражнения¿ приведена таблица распределения упражнений по вариантам. Указанные в ней упражнения выполняются студентом письменно, кроме того, студент должен быть готов к выполнению любого из остальных упражнений при сдаче типового расчета.
3.Все практические задания выполняются студентом письменно в соответствии с распределением их по вариантам.
4.При сдаче типового расчета студенту предлагаются некоторые контрольные вопросы из приведенного списка.
5.При сдаче типового расчета обязательным является знание основных определений и формулировок теорем по темам, вклю- ченным в этот типовой расчет.
6.По результатам сдачи типового расчета студенту выставляется оценка.
7.Знаком ¾*¿ помечены дополнительные теоретические упражнения, практические задания и контрольные вопросы. Они рассчи- таны на студентов, претендующих на отличную оценку и не являются обязательными для остальных студентов.
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТИПОВОЙ РАСЧЕТ •1
Типовой расчет •1 включает следующие темы:
1.Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
2.Дифференциальные уравнения n-го порядка.
|
|
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Таблица распределения упражнений по вариантам |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
• |
|
|
|
упражнения |
|
• |
|
|
|
упражнения |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1(à), 2(à), 4(à), 6(à) |
9 |
|
1(ã), 2(á), 4(â), 6(à) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
1(á), 3(à), 5(à), 6(á) |
10 |
|
1(ä), 3(á), 5(â), 6(ä) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
1(â), 2(á), 4(á), 6(â) |
11 |
|
1(à), 2(â), 4(à), 6(ã) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
1(ã), 3(á), 5(á), 6(ã) |
12 |
|
1(á), 3(â), 5(à), 6(â) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
1(ä), 2(â), 4(â), 6(ä) |
13 |
|
1(â), 2(à), 4(â), 6(á) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
|
1(à), 3(â), 5(â), 6(á) |
14 |
|
1(ã), 3(à), 5(â), 6(à) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
7 |
|
1(á), 2(à), 4(á), 6(â) |
15 |
|
1(ä), 2(á), 4(à), 6(á) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
8 |
|
1(â), 3(à), 5(á), 6(ã) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Упражнение 7* относится ко всем вариантам. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. Показать, что уравнение Бернулли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
y0 + p(x)y = q(x)y®; ® = 0; ® = 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сводится к линейному уравнению для |
новой искомой |
|
функции |
|||||||||||||||||||
z = y1¡®. Используя этот прием, свести к линейному уравнению: |
|
|||||||||||||||||||||
a) y0 + 2xy = y2ex2; á) y0 ¡ 2exy = 2exp |
|
; â) 3x2y2y0 ¡ 2y3 = x3; |
|
|||||||||||||||||||
y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
y |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ã) 3y0 + y = |
|
; |
ä) 2y0 ln x + |
|
= |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y2 |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax + by + c |
|
|
a |
b |
|
|
||||||
2. Показать, что уравнение y0 = f µ |
|
¶ ïðè 4= |
¯ a1 |
b1 |
¯ |
6= |
||||||||||||||||
a1x+b1y+c1 |
||||||||||||||||||||||
0 сводится к однородному для новых переменных » = x+h¯; ´ = y+¯k, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
ãäå h è k - решения системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
½
5
Используя этот прием, свести к однородному уравнению:
a) y0 = |
x + 2y ¡ 3 |
; á) y0 |
= |
|
3y + 3 |
|
; â) y0 = |
x + 8y ¡ 9 |
: |
|
2x ¡ 2 |
2x + y ¡ 1 |
10x ¡ y ¡ 9 |
||||||||
|
|
|
|
|
Какую замену следует применить при 4 = 0, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?
3. Пусть y1 - решение уравнения Рикатти
y0 + a(x)y + b(x)y2 = c(x):
Показать, что введение новой искомой функции z = y ¡ y1 ïðè-
водит к уравнению Бернулли. Используя этот прием, найти путем подбора частное решение y1 и свести к уравнению Бернулли:
à) x2y0 + xy + x2y2 = 4;
á) 3y0 + y2 + x22 = 0;
â) xy0 ¡ (2x + 1)y + y2 = ¡x2.
4. Пусть y1 =6 0 решение линейного дифференциального уравне-
ния 2-го порядка |
a(x)y00 + b(x)y0 + c(x)y = 0 |
|
Показать, что введение новой искомой функции u = yy
к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка1 приводитотноси-
тельно v = u0. Используя этот прием, понизить порядок уравнения (проверив, что y1
à) x2y00 ¡ 4xy0 + 6y = 0, y1 = x2; á) x2y00 + xy0 ¡ y = 0, y1 = x;
â) xy00 + 2y0 + xy = 0, y1 = sin x x .
5. Пусть дифференциальное уравнение F (x; y; y0; y00) = 0 однородно относительно y; y0; y00 (т.е. не меняется при замене y; y0; y00 íà ky; ky0; ky00). Показать, что для новой искомой функции z, такой, что y0 = zy, получится уравнение 1-го порядка.
Используя этот прием, понизить порядок уравнения:
6
à) xyy00 ¡xy02 = yy0; á) yy00 = y02 + 15y2px; â) (x2 + 1)(y02 ¡yy00) = xyy0.
6. Пользуясь теоремой существования и единственности, выделить |
|
на плоскости (x; y) области, в которых через каждую точку прохо- |
|
дит единственная интегральная кривая ДУ: |
|
a) y0 = 2 + p3 y ¡ 2x; |
á) (x ¡ 2)y0 = py ¡ x; â) y0 = 1 + tg y; |
ã) (y ¡ x)y0 = y ln x; |
ä) xy0 = y + py2 ¡ x2: |
7*. При каких неотрицательных a нарушается единственность решений уравнения y0 = jyj® и в каких точках?
Сколько решений уравнения проходит через эти точки?
7
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Задача • 1. |
Изобразить приближенно методом изоклин инте- |
|||||||||||||||||||||||||||||
гральные кривые данных уравнений. Выделить области возраста- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ния (убывания) решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
• |
|
|
уравнение |
|
• |
уравнение |
• |
|
уравнение |
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
y0 = x + y |
|
2 |
y0 = y ¡ x |
3 |
y0 |
= |
1 |
(x ¡ 2y + 3) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
y0 = (y ¡ 1)2 |
5 |
y0 = (y ¡ 1)x |
6 |
|
y0 |
|
= x2 ¡ y2 |
|
|||||||||||||||||||
|
7 |
y0 = x2 + 2x ¡ y |
8 |
y0 |
= |
|
y + 1 |
|
9 |
|
y0 |
= |
x + y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
¡ |
1 |
|
x |
¡ |
y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
y + x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
10 |
|
|
y |
= |
y ¡ x |
|
|
11 |
y |
= 2x |
|
|
y |
12 |
|
y |
|
= x2 + y |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
13 |
y |
0 |
= cos (x |
¡ |
y) |
14 |
y |
= |
y ¡ 3x |
15 |
|
y |
0 |
|
= x |
¡ |
ey |
|
|||||||||||
|
x + 3y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача • 2. Дано уравнение dxdt = A(t ¡ a)®x¯(x ¡ b):
1.Указать на плоскости (t; x) множества точек, где:
а) выполнены условия теоремы существования и единственности; б) решение возрастает (убывает); в) решение имеет максимум (минимум).
2.Найти общее решение.
3.Нарисовать эскиз интегральных кривых.
4.а) При каких значениях x0 решение задачи Коши с начальными данными x(¡2) = x0 существует на всем луче [¡2; +1) ?
б) Тот же вопрос для начальных данных: x(2) = x0.
• |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A |
2 |
1 |
2 |
¡2 ¡1 ¡2 ¡1 |
2 |
1 |
2 |
¡2 |
¡1 |
¡2 ¡1 1 |
|||||
® |
1 ¡1 ¡1 ¡1 ¡1 ¡1 ¡1 |
¡1 ¡1 |
¡1 |
1 |
¡1 |
¡1 ¡1 0 |
|||||||||
¯ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
a |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
¡1 |
0 |
0 |
¡1 |
¡1 |
0 |
1 |
b |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
¡1 ¡1 |
¡1 ¡1 |
¡1 |
¡1 |
¡1 |
1 |
8
Задача • 3.
Вариант 1. Сосуд емкостью 100 л наполнен рассолом, содержащим 10 кг растворенной соли. В одну минуту в него втекает 3 л воды и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же емкости, первоначально наполненный водой, из которого избыток жидкости выливается. В какой момент времени количество соли в обоих сосудах будет одинаково?
Вариант 2. Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 м/сек, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 50 м/сек. Найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску, если сопротивление доски движению пули пропорционально квадрату ее скорости.
Вариант 3. Известно, что скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству и что половина его первоначального количества распадается в течение 1600 лет. Определить, какой процент данного количества радия распадается в течение 100 лет.
Вариант 4. В воде с температурой 20± в течение 10 мин. тело охлаждается от 100± äî 60±. За сколько времени тело охладится до 30±, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды?
Вариант 5. В резервуаре находится 60 л рассола, содержащего 5 кг растворенной соли. В каждую минуту в него вливается 3 л воды и вытекает 2 л рассола, причем концентрация соли поддерживается равномерной. Сколько соли останется в резервуаре через 40 мин?
Вариант 6. Моторная лодка движется со скоростью 18 км/час. Через 5 мин после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 6 км/час. Найти расстояние, пройденное лодкой по инерции за 15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
Вариант 7. В воздухе комнаты объемом 200 м3 содержится 0,15 %
9
углекислого газа (СО2). Вентиляция подает в минуту 20 м3 воздуха,
содержащего 0,04 % СО2. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится вдвое?
Вариант 8. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м?
Вариант 9. Электрическая цепь состоит из последовательно вклю- ченных источника постоянного тока, дающего напряжение V , ñî-
противления R, самоиндукции L и выключателя, который включа- ется при t = 0. Найти завимость тока от времени при t > 0.
Вариант 10. Электрическая цепь состоит из последовательно вклю- ченных источника постоянного тока, дающего напряжение V , ñî-
противления R, конденсатора емкости C и выключателя, который включается при t = 0. Конденсатор до замыкания цепи не заряжен. Найти зависимость тока от времени при t > 0.
Вариант 11. Последовательно включены сопротивление R è êîí-
денсатор емкости C, заряд которого при t = 0 равен q0. Öåïü çàìû- кается при t = 0. Найти силу тока в цепи при t > 0.
Вариант 12. Найти атмосферное давление на высоте h, если на поверхности Земли давление равно 1 кг/см2 и плотность воздуха
0,0012 ã/ñì3. Использовать закон Бойля-Мариотта, согласно которому плотность пропорциональна давлению.
Вариант 131. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2R = 1; 8 м и высотой H = 2; 45 м через отверстие
в дне диаметром 2r = 6 см? Ось цилиндра вертикальна.
Вариант 14. Воронка имеет форму конуса радиуса R = 6 см и высоты H = 10 см, обращенного вершиной вниз. За какое время
1pВ задачах вариантов 13-14 принять, что жидкость вытекает из сосуда со скоростью, равной 0; 6 2gh, ãäå g = 10 ì/ñåê2 - ускорение свободного падения, h - высота жидкости над отверстием.
10
вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие диаметра 0,5 см, сделанное в вершине конуса?
Задача • 4.
а) Найти общее решение линейного уравнения 1-го порядка двумя способами.
б) Найти частное решение, удовлетворяющее условию y(0) = y0.
• |
уравнение |
y0 |
• |
уравнение |
y0 |
1 |
y0 ¡ 2y = x2 + x |
0 |
2 |
y0 + 3y = x2 ¡ x |
1 |
3 |
y0 ¡ y = sin x + x |
2 |
4 |
y0 + y = x sin x |
0 |
5 |
y0 ¡ 2y = xex |
1 |
6 |
y0 + y = e¡x + x |
2 |
7 |
y0 ¡ 3y = sin x + ex |
0 |
8 |
y0 + 2y = e¡2x + sin x |
1 |
9 |
y0 ¡ 2y = e2x + ex |
2 |
10 |
y0 ¡ y = ex + cos x |
0 |
11 |
y0 ¡ y = xe¡x + e2x |
1 |
12 |
y0 + 3y = e¡3x + e3x |
2 |
13 |
y0 + 2y = e¡2x + xex |
¡1 |
14 |
y0 + y = e¡x + xex |
¡2 |
15 |
y0 + y = ex + xe2x |
¡1 |
|
|
|
Задача • 5*. Найти общее решение дифференциального уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ния первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
• |
уравнение |
|
|
|
|
|
• |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2xdy + (x2y4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
+ 1)ydx = 0 |
2 |
2xy0 |
+ y = y2 |
|
|
x ¡ x2y2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 |
2 + ( |
|
p |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
+ |
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
2xyy0 |
= |
|
x6 |
¡ |
y4 + y2 |
4 |
(y0 + 1) ln |
y +p |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x + 3 |
|
x + 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y |
|
|
x2y + 1)xy = 0 |
|
6 |
xy + 2y + x5y3ex = 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
7 |
y0x3 sin y = xy0 ¡ 2y |
|
8 |
(2x2y ln y ¡ x)y0 |
= y |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
9 |
xyy0¡x2 |
y2+1 = (x+1)(y2+1) |
10 |
yy0 + x = |
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
11 |
5 |
|
|
|
p 4 |
|
|
|
6 |
)dy = 0 |
12 |
(2xe |
y |
4 |
|
)y0 = ye |
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6x |
ydx + (y |
ln y ¡ 3x |
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
13 |
(x2¡1)dx + (x2y2 + x3 + x)dy = 0 |
14 |
y0 = |
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(x3 + y + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
15 |
y0 = |
(3x + y3¡1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|