mat_analiz_tipovik
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
”МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ“
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
I семестр
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Для студентов очного обучения факультетов Электроники, ИТ, РТС
МОСКВА 2013
Составители: И.М.Аксененкова, В.П.Барашев, О.А.Евсеева, Т.Р.Игонина, Е.Ю.Кузнецова, О.А.Малыгина, Н.С.Чекалкин
Редактор Н.С.Чекалкин
Контрольные задания содержат типовой расчет по разделам математического анализа (теория пределов и дифференциальное исчисление), вошедшим в программу I семестра I курса дневного отделения. Типовой расчет выполняется студентами в письменном виде и сдается преподавателю до начала зачетной сессии. Приведенные в пособии вопросы к зачету или экзамену могут быть уточ- нены и дополнены лектором. В приложении, написанном О.А.Малыгиной, излагается краткая теория и методика решения типовых
задач по следующим темам: ”Непрерывность функции“ è ”Дифференцирование функции одной переменной“.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета университета.
Рецензенты: Т.Н. Бобылева, А.В.Татаринцев
c МИРЭА, 2013
Контрольные задания напечатаны в авторской редакции Подписано в печать 00.00.2013. Формат 60 x 84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 6,05. Усл.кр.-отт. 24,2. Уч.изд.л. 6,5. Тираж 100 экз. С 000
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
”Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики “
119454, Москва, пр.Вернадского, 78
3
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
I семестр ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
|
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ |
|
|
|
К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) |
|
|
|
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ |
||
|
|
|
2 |
|
|
- |
|
1. |
|
ÂÌ |
|
Определение предела последовательности. Подпоследова- |
|||
|
тельность, частичный предел. |
МИРЭА |
|
2. |
Критерий Коши. Свойства сходящихся последовательностей. |
||
|
Теорема о пределе промежуточной последовательности. |
||
3. |
Определение предела функции. Теорема о пределе промежу- |
||
|
точной функции. Первый замечательный предел. |
|
|
4. |
Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно ма- |
||
|
лых и бесконечно больших функций. |
|
|
5. |
Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограни- |
||
|
ченной функций. |
|
|
6. |
Второй замечательный предел. Раскрытие неопределен- |
||
|
ностейКафедраМГТУ00, 0, 1∞. |
|
|
|
∞ |
|
|
7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий, о непрерывности сложной функции.
|
|
4 |
|
|
10. |
Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, |
|||
|
непрерывных на отрезке. |
|
|
|
11. |
Точки разрыва и их классификация. |
|
|
|
12. |
Производная, ее геометрический и механический смысл. |
|||
13. |
Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости. |
|||
14. |
Арифметические действия с производными. |
2 |
||
|
|
|
|
|
15. |
Таблица производных. |
|
- |
|
16. |
Производные сложной и обратной функций. |
|||
|
|
|
ÂÌ |
|
17. |
|
|
МИРЭА |
|
Дифференциал, его связь с производной, геометрический |
||||
|
смысл, инвариантность. |
|
|
|
18. |
Теорема Ролля, ее геометрический смысл. |
|
||
|
Кафедра |
|
|
|
19. |
Теорема Лагранжа, ее геометрический смысл. Теорема Коши. |
|||
20. |
Правило Лопиталя. |
|
|
|
21. |
Многочлен Тейлора, формула Тейлора. |
|
||
22. |
Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и |
|||
|
Лагранжа. |
ÌÃÒÓ |
|
|
23. |
Локальный экстремум функции одного переменного. Необхо- |
|||
|
димое и достаточное условия экстремума. |
|
||
24. |
Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба. |
|||
25. |
Асимптоты графика функции. Существование наклонной |
|||
|
асимптоты. |
|
|
|
26. |
Частные производные функции нескольких переменных. Тео- |
|||
|
рема о равенстве смешанных производных. |
|
||
27. |
Дифференцируемость функции нескольких переменных. |
|||
|
Дифференциал. |
|
|
5
28.Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
Вопросы к экзамену (зачету) могут быть уточнены и дополнены лектором потока.
ВВЕДЕНИЕ
Данный материал излагается студентам на лекциях и практи- ческих занятиях. От студента требуется успешное овладение2материалом по указанным темам, т.е. необходимо знать-определения
понятий, формулировки и доказательства основных теорем курса. ÂÌ
Студент также должен продемонстрировать умение решать зада- чи данного курса.
В течение семестра по курсу математического анализа про-
водятся две контрольные работы и выполняется типовой расчет. Контрольная работа •1 проводится примерно на 6-й неделе обуче- ния, контрольная работа •2 проводится примерно на 11-й неделе, а сдача типового расчета - в конце семестра.
|
|
Контрольная работа •1 |
|
Òåìà. |
“. |
|
||
|
|
”КафедраПредел функции. НепрерывностьМИРЭАи точки разрыва |
Öåëü. Проверить усвоение основных приемов вычисления пре- |
||
|
|
ÌÃÒÓ |
дела; проверить умения устанавливать непрерывность функции и определять характер точек разрыва.
Содержание. В контрольную работу входят задачи, идентич- ные задачам 1 8 данного пособия.
Контрольная работа •2
Òåìà. ”Производная. Правило Лопиталя и формула Тейлора“. Öåëü. Проверить усвоение основных приемов дифференциро-
вания; проверить умение вычислять предел функции с помощью правила Лопиталя и формулы Тейлора.
Содержание. В контрольную работу •2 входят задачи, идентичные задачам 9 18.
6
Типовой расчет
Òåìà. ”Исследование функции одной переменной и построение графиков. Функции нескольких переменных“.
Öåëü. Проверить умение исследовать функции, строить графики, решать прикладные задачи.
Содержание. В типовой расчет входят задачи 19 26. Типовой расчет выполняется каждым студентом в отдельной
тетради в соответствии с назначенным ему номером варианта. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Студент объясняет решения задач преподавателю, отвечает на во- |
||||||||||||||||||||
просы. Типовой расчет также предъявляется в начале экзамена |
||||||||||||||||||||
(зачета). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÂÌ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По итогам обучения проводится |
|
экзамен (зачет)-. |
||||||||||||||||||
|
Примерный вариант экзаменационного билета |
|||||||||||||||||||
1. |
Определение предела функции. Основные теоремы о преде- |
|||||||||||||||||||
|
лах (арифметические операции). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Кафедра |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
Вычислить предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
√ |
4x2 + 16x + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + x x−4 |
|
||||||||
|
à) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(3 + x) |
|
||||||
|
x→∞ (x + 5)2 − x2 |
|
|
á) x→∞ |
|
|||||||||||||||
3. |
Вычислить производную: |
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|||||||||||||
|
|
|
|
ÌÃÒÓ |
||||||||||||||||
|
à) y = √1 + tg 5x |
á) y = |
x arcsin 2x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
||
4. |
Написать уравнение касательной к кривой |
|
||||||||||||||||||
|
x = t cos t |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||||
|
{ y = t sin t |
|
в точке t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
Вычислить lim |
cos |
2 · ex−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x→1 e |
sin(1 |
x) |
− 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
( − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Провести исследование и построить график функции: |
|||||||||||||||||||
|
y = (2x + 3)e−2(x+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Рекомендуемая литература
1.Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу.- М.: Высшая школа, 1999.
2.Зорич В.А. Математический анализ. ч.1.- М.: МЦМНО, 2002.
3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1.- М.: Дрофа, 2004.
4.Никольский С.М. Курс математического анализа.2Ò.1.- Ì.: Ëàíü, 2005. -
5.Ильин В.А, Позняк Э.Г. Основы математическогоÂÌ анализа, ч.1.- М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2002. МИРЭА
6.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- СПб.: 1997.
7.Высшая математика Т.1./ Краснов М.Л. и др.- М.: 2004.
8.Высшая математика Т.2./ Краснов М.Л. и др.- М.: 2004.
9.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.- М.: Айрис Пресс, 2004.
|
|
|
|
помощью определения предела последователь- |
||||||||||||
ЗадачаКафедраМГТУ1 . Ñ |
un ïðè n → ∞ |
|||||||||||||||
ности показать, что данная последовательность |
||||||||||||||||
имеет своим пределом число A. Найти целое значение N , íà÷è- |
||||||||||||||||
ная с которого |un − A| < ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
un |
|
A |
ε |
• |
|
un |
|
A |
ε |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
7n − 1 |
|
7 |
10−2 |
2 |
|
4n2 + 1 |
|
4 |
10−2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n + 1 |
|
|
3n2 + 2 |
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
3 |
|
|
|
9 − n3 |
|
|
|
|
1 |
10 2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
0 |
10 3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 + 2n3 |
− |
2 |
|
|
|
(− |
2) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||||||||||||
5 |
1 + |
|
(−1)n |
|
|
1 |
10−2 |
6 |
|
|
|
|
|
4n − 3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
10−3 |
|
||||||||||||||||||
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7 |
|
|
1 − 2n2 |
|
|
|
− |
1 |
10−2 |
8 |
|
|
2n + (−1)n |
|
|
|
2 |
10−2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 + 4n2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
5n |
|
5 |
10−2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−n + 1 |
|
|
|
|
ln(n + 1) |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
n + 1 |
|
1 |
10−2 |
12 |
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
2 |
|
210−2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
− |
2n |
−2 |
|
|
|
|
|
3n |
− |
5 |
|
|
|
|
-3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13 |
|
|
1 − 2n2 |
|
|
|
|
2 |
10−2 |
14 |
|
|
|
|
|
3n2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
10−2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
n2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
2 − n2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
10−2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
10−1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Кафедра |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3n − 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 +ÂÌn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
17 |
|
|
|
|
|
3n3 |
|
|
3 |
10−2 |
18 |
|
|
|
|
|
4 + 2n |
|
|
2 |
|
10−2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 − 3n |
−3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
19 |
|
|
5n + 15 |
|
5 10−2 20 |
|
|
|
|
|
3 − n2 |
|
|
− |
1 |
|
10−2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 + n |
|
|
|
|
|
|
1 + 2n2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
|
7 − n |
|
|
|
|
1 |
10−2 |
22 |
|
|
|
|
3n2 |
+ 4 |
|
3 10−2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
2 − n2 |
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 + 4n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
23 |
|
− |
|
|
|
|
−2 10−2 24 |
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
10−3 |
|
||||||||||||||
3 + 2n3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
25 |
3 |
|
|
|
|
(−1)n |
|
|
3 |
10−2 26 |
|
|
|
|
|
9n + 7 |
|
|
9 |
|
10−2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
− n + 5 |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
27 |
|
|
|
2 + n2 |
|
|
1 |
10−2 |
28 |
|
−5n + (−1)n |
|
− |
5 |
|
10−2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
4 + 2n2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
29 |
|
|
ÌÃÒÓ0 4 30 |
|
|
|
(− |
|
) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
10−3 |
|
||||||||||||||||||||||
ln(3n + 4) |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Задача 2. Вычислить пределы последовательностей. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3n2 − 7n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 − 5n − 6n2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
(2 − n)2 − (1 + n)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(3 + n)2 − (4 − n)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n + 2 |
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
2n2 + 5 |
− |
|
n2 |
+ 4 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4n + 1 |
|
|
2n + 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
МИРЭА |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
n2 + 1 |
+ n |
2 |
|
|
- |
||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
( √3 |
27n6 + 1 |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
10n3 − √ |
n3 + 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
4n6 |
+ 3 − n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÂÌ |
|
|
|||||
|
|
Кафедра· |
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
√3 n2 sin |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n cos(n!) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
√3 |
n4 + 5n − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
3n + 1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
(−2)n + 3n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(−2)n+1 + 3n+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
4n + 2 · 5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3n + 3 5n−1 + sin n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + n |
|
|
n−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ÌÃÒÓ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
13 |
|
(3 − n) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
|
|
( |
|
|
2 + 1 |
) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
14 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
15 |
|
|
n2 + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16 |
n2 − 2n − 1 |
n2 − 7n + 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
17 |
|
|
|
3 (1 + n)2 − 3 (n − 1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
− n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n − |
4n |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19 |
|
|
|
n3=2( n3 + 1 − |
n3 − 2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 3)! + 4 · n! |
МИРЭА |
||||||||||||||||||||||||||||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Кафедра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2n + 4) ((n + 2)! + 7ÂÌ· n!) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
((2n + 1)! + (2n + 2)!) (7n + 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n + 3)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
(3n − 1)! + (3n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n)! · (n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ÌÃÒÓ√3 √9 √ |
√ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2 + 3 + . . . + n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n − n2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
24 |
|
|
|
|
2 + 4 + 6 + . . . + 2n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
|
|
1 + |
1 |
+ |
|
1 |
|
+ . . . + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|||||||||||||
26 |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
− . . . + (−1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5 |
25 |
125 |
5n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
||||||
27 |
|
|
2 · |
|
|
|
|
2 · |
2 · . . . · |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|