Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_analiz_tipovik

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

559.27 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

						101

			f′(x)									f(x)
	x (−∞; 0)		−							убывает
	x = 0		∞		точка минимума f(0) = 0
	x (0; +∞)		+							возрастает
Ответ: Ïðè x (−∞; 0) функция убывает; при x (0; +∞)
														2
функция возрастает; точка				(0; 0) точка минимума. Поведение
				y 6									-
функции можно проиллюстрировать следующим графиком.
2 3 2													ÂÌ
2 3 2													ÂÌ
		. . . . . ..					y =			√3 x2
		. . . . . ..					.. . . . .
Кафедра
				.	.			.	.
						. ..
						..
						..
						.					-
						.					-
				0								x

Ðèñ. 13.

Пример 5.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 3x + xÌÃÒÓ− 4x + 5 на отрезке [0; 5].

Решение: Рассматриваемая функция определена и дифференцируема при всех x. Для нахождения экстремумов функции, най-

дем критические точки I рода. В данном случае речь идет о нахождении стационарных точек. Вычислим производную:

f′(x) = 23 · 3 · x2 + 2 · x − 4 = 2 (x2 + x − 2) = 2(x − 1)(x + 2).

Стационарные точки x1 = 1 è x2 = −2. Рассматриваемому отрезку принадлежит только точка x1 = 1. Следовательно, надо сравнивать значение функции в точках x0 = 0, x1 = 1, x2 = 5.

102

Поскольку f(0) = 5, f(1)				= 4	2	, f(5) = 103				1	, òî	max f(x) =
										3
	1			3			2					x [0;5]
f(5) = 103		,	min f(x) = f(1) = 4						.

3			x [0;5]			1	3						2
Ответ: max f(x) = f(5)				= 103				, min f(x) = f(1) = 4						.
						3
x [0;5]									x [0;5]			3

Пример 5.5. Какой из прямоугольных треугольников с заданным периметром p имеет наибольшую площадь? Найти эту пло-

ùàäü.

Решение: Обозначим катеты треугольника a è b, а гипотенузу

c. Запишем, используя теорему Пифагора и условие задачи:

ÂÌ

a2 + b2 = c2

МИРЭА

+ b2 = c2

{a + b + c = p

{c = p

−

+ b2 = (p

−

b)2

b = p(2a − p)

2(a

−

Кафедра= p 2a − 4ap + p

Площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по

формуле: S =

. Подставим в нее значение для b:

S =

ap(2a − p)

4(a − p)

Мы получили функцию, зависящую от a. Величина p является

ÌÃÒÓ

параметром. Для нахождения максимального значения функции

найдем критические точки I рода, т.е. те точки, в которых первая

производная равна нулю или не существует:

a(2a p)

′

p 4a(a

p) a(2a

S′(a) =

· (

−

)a =

− −

−

a p

(a p)2

−

(a − p)2

√

S′(a) = 0 ïðè a1;2

= p

2 ± 2

и не существует при a3 = p. S′(a) > 0

√

ïðè a < p

2 −

è S′(a) < 0 ïðè a > p

2 −

, следовательно,

выпуклой вниз

103

√

a1 = p

2 −

точка локального максимума. В точке a3

= p

производная S′(a) не меняет знак, следовательно, a3 = p íå ÿâëÿ-

√

ется точкой локального экстремума. S′(a) < 0 ïðè a < p

2 +

√

è S′(a) > 0 ïðè a > p

2 +

, следовательно, a2

= p

2 +

точка локального минимума. Найдем длину второго катета b ïðè

√

a = p

2 −

: b =

p(2a − p)

= p

2 −

. Следовательно, искомый

2(a − p)

треугольник равнобедренный. Его площадь

√2

)

-2

S =

√2 − 1

2 =

(

−2

(

)

ÂÌ

МИРЭА

Ответ: из всех прямоугольных треугольников с заданным пе-

риметром наибольшую площадь имеет ðавнобедренный треуголь-

√2

(или простоКафедравыпуклой) на интервале (a, b), если график функции

ник с длиной катетов a = b = p

−

. Искомая площадь равна

S = 4

(√2 − 1)

ÌÃÒÓ

6. Исследование функции: выпуклость и вогнутость,

асимптоты

6.1. Выпуклость и вогнутость графика функции

Определение 6.1 Функция f(x) называется

y = f(x) ид¼т не выше хорды, соединяющей любые две точки графика (x0, f(x0) è (x1, f(x1) ïðè x0, x1 (a, b).

Аналогично, функция f(x) называется выпуклой вверх (èëè вогнутой) на интервале (a, b), если график функции ид¼т не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика.

104

y	6																					y	6							y=f(x)
.																														y=f(x)
.																														.. .	. .
....																							.. . . . . .							.. .
....	..	y=f(x)																				....	.. . . . . .
		. . . . .	.. . . .				-															....													2-
			.. . . .				x															.														x
Ðèñ. 14. Выпуклая функция														Ðèñ. 15. Вогнутая функция
																																	-
Теорема 6.1 Пусть на интервале (a, b) функция y = f(x) èìå-
ет вторую производную f′′(x). Функция выпукла íà (a, b) тогда
и только тогда, когда f′′(x)												>		0 ïðè âñåõ x																	(a, b), è вогнута
тогда и только тогда, когда f′′(x)																		6							ÂÌ
тогда и только тогда, когда f′′(x)																					0 ïðè âñåõ x													(a, b).

			.					y			6
			.
			.																																	.
			.																																	.
			.																																	.
				.																						МИРЭА
				.													y=f(x)																			.
					.												y=f(x)																			.
					.														.	.....				.												.
					.												.. .			.....					. ..											.
																																				.
																																				.
					.											.										.										.
															.												.									.
					. f ′′(x)					0				.														.		′′(x)						.
					. f ′′(x)			>		0				..	f ′′(x)										0				.	′′(x)			>		0	..
					.			>				.	.		f ′′(x)							6			0				..f				>			..
					.	.						.										6								.						.
						.						.																		.						.
		Кафедра																												. .
						..				. .																				. .					..
						..		.	.			.																		.	.	.			..
								.				.																		.		.
							... .... .																							. .... ...
							....					.																		.			...			-
												.																		.						-
								0																													x
					ÌÃÒÓ

Ðèñ. 16.

105

6.2. Точки перегиба.

Определение 6.2 Точкой перегиба функции f(x) называется такая точка x0 (a, b), в которой выпуклость сменяется на во-

гнутость. Другими словами, точка перегиба x0 (a, b) разделяет некоторую δ-окрестность точки на два интервала (x0 −δ, x0) è (x0, x0 +δ), на одном из которых функция выпукла, а на другом - вогнута.

			y		6										2
			y		6										2
														-
							. ....						. y=f(x)
							. ....
						.. .		. .			.	выпукла
				..		.		. .	.. .	.. .	.	выпукла
				..	.				.. .	.. .				ÂÌ
	вогнута		.	.	.					....
	вогнута			.	.
		.							.
	.	.							.
	.								.
	.								.
	.				.
	.				.
									.
									.
									.
									.						-
									.						-
				0	x0										x
	Ðèñ. 17.													МИРЭА
и существуетКафедраf′′(x0). Тогда f′′(x0) = 0.
0	ÌÃÒÓ0														0 ∞

Необходимое условие точки перегиба

Теорема 6.2 Пусть x0 (a, b) точка перегиба функции f(x)

Таким образом, если x0 (a, b) точка перегиба, то либо

f′′(x ) = 0, ëèáî f′′(x ) не существует (в частности, f′′(x ) = ). Приведем примеры.

106

.....

..f ′′(x)

	y 6
		.	y=f(x)
		.
		.
		..f ′′(x) > 0
		.
		..
	..	.
	..
	...		-
.	. ...........		-
.	0		x
	0		x

< 0	ВММИРЭА-2

Ðèñ. 18.

Кафедра.
Точка 0 точка перегиба функции f(x) = x3. Здесь f′′(0) = 0.
				y	6				y=f(x)
						......	.	... . . . . . . .
						......			f ′′(x) > 0
			ÌÃÒÓ
						.
				.
				...
				..					-
				..					-
				... 0					x
				.
				..
	f ′′(x) < 0			..
	f ′′(x) < 0			. ... . ....
. .		.	. . .
. .

Ðèñ. 19.

Точка 0 точка перегиба функции f(x) = x3. Здесь f′′(0) = ∞.

					107
					y	6						.
												.
												. .y=f(x)
												..
										.	....f ′′(x) = 2
									.	.
								..	.
								..
							.					-
							....					-
					.	.
				...
		.. . .		...			0					x
							0					x
f ′′(x) = -2 ..												-2
f ′′(x) = -2 ..												-2
												ÂÌ
.
.
.
.
.
.
Åñëè f′′(xКафедра0) = 0 и при переходе через точку x0 вторая производ-
				Ðèñ. 20.
Точка 0 точка перегиба функции f(x) = x2 sign x. Здесь
f′(x) = 2 x , и, следовательно,						f′′(0) не существует. Напомним,
\| \|
÷òî
							1,			x < 0
	sign x =				−0,					x = 0
ÌÃÒÓ
Достаточное
Достаточное							1,			x > 0
							1,			x > 0
			условие точки перегиба
Теорема 6.3 Пусть f(x)			имеет вторую производную f′′(x) â

некоторой окрестности точки x0, непрерывную в этой точке.

íàÿ f′′(x) меняет знак, то точка (x0, f(x0)) является точкой перегиба графика функции f(x).

Пример 6.1. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функ- öèè f(x) = x4 − 2x2. Указать точки перегиба.

108

Решение: Вторая производная f′′(x) = 12x2 − 4. f′′(x) равна

нулю в точках

√

x0 = −

è x1

Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство

f′′(x) > 0. Решением является объединение интервалов

x (−∞; −

√

) (

√

; +∞) .

Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравен-

ñòâî f′′(x) < 0. Решением является

√

x (−

;

) .

Полученные данные заносим в таблицу. На основании изменения

ÂÌ

знака второй производной делаем вывод, что точки

√

x0 = −

è x1

являются точками перегиба.

МИРЭА

f′′(x)

f(x)

x (−∞; −

√

)

выпукла (вниз)

√

Кафедраx = − 3 0

точка перегиба

√

x (−

;

)

−

вогнута (выпукла вверх)

ÌÃÒÓ

√

x =

точка перегиба

109

	x (		33; +∞)					f′′(x)									f(x)
	x (		33; +∞)					+					выпукла (вниз)
			√
			√

Поведение функции можно проиллюстрировать следующим
графиком.																						2
									y		6											2
.									y		6										y=x4 − 2x2
.																					-
.																					.
																ÂÌ


		.						.			..					МИРЭА
																					.
.																					.
.						√							√								.
.						√							√								.
.					1 −		3							3							.
.					1 −		3							3				1 .
Кафедра														..					.		.	-
				− . ..				....	....		....			..					.		.	-
			. . .					....		0		.... .							.		.	x
			. .				.							.					. .
			. .				.							.					. .
			. .																. .
			.... . .......					. −		1					...... . ....
			.			. . . .		. −								.	.	..		.
			.						. . . . . .										..
			ÌÃÒÓ
								Ðèñ. 21.

6.3. Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные. Для удобства сформулируем отдельно определения вертикальной и наклонной асимптот.

110

Определение 6.3 Вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая x = a, åñëè f(x) → +∞ èëè

f(x) → −∞ при каком-либо из условий: x → a+, x → a−, x → a.

Определение 6.4 Наклонной асимптотой графика функции y = f(x) ïðè x → +∞ называется прямая y = kx + b, åñëè

lim [f(x) − (kx + b)] = 0.

x→+∞

Таким образом, существование наклонной асимптоты y = kx+b

у кривой y = f(x) ïðè x → +∞ означает, что данная функция2ïðè

МИРЭА

x → +∞ ведет себя почти как линейная функция, т.е. отличается

от линейной функции y = kx + b на бесконечно малую при x →

+∞.

Аналогично определяется наклонная асимптота при x → −∞.

Кафедра

В случае, если k = 0, наклонная асимптотаÂÌназывается горизон-

тальной. Таким образом, прямая y = b - горизонтальная асимпто-

òà ïðè

x → +∞

(

x → −∞

), åñëè

lim f(x) = b èëè lim f(x) = b

→−∞

соответственно.

→ ∞

ÌÃÒÓ

Теорема 6.4 Прямая y = kx + b является наклонной асимпто-

той для графика y = f(x) ïðè x → +∞ тогда и только тогда,

когда

f(x)

lim

b =

lim

[f(x)

−

kx]

k = x +

∞

→ ∞

→

(соответственно при x → −∞ , когда

f(x)

[f(x) − kx] .

k = x lim

b = x lim

→−∞

Для нахождения наклонной асимптоты нужно сначала найти k, т.е. вычислить первый из указанных пределов. Если этот предел не существует, то наклонной асимптоты у графика нет. Если

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1311 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019412.16 Кб8MapReduce.doc
#
10.05.201552.22 Кб210Marketing_testy_s_otvetami_1 (1).doc
#
10.05.2015175.62 Кб14Matan.doc
#
16.04.20195.07 Mб32matan.doc
#
10.05.20156.91 Mб23matan4_bel.pdf
#
10.05.2015559.27 Кб71mat_analiz_tipovik.pdf
#
13.08.2019891.39 Кб30medicina-katastrof.doc
#
10.05.2015374.73 Кб11metod1k.pdf
#
10.05.2015553.47 Кб8metodichka_Arkh_EVM_k_rabota_2011g.doc
#
10.05.2015697.34 Кб14Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc
#
12.11.2019702.98 Кб4Metodichka_Dogovornoe_pravo.doc