matan4_bel
.pdfТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 1 из 10
Комплексные числа и функции.
1.Комплексные числа (повторение).
1.Основные определения.
Определение 1.
Комплексным числом (КЧ) называется упорядоченная пара действительных чисел:
(a;b) (a;b )
Определение 2.
Действительные числа а и b называются действительной (вещественной) и мнимой частью КЧ и обозначаются
Название «КЧ» было предложено Гауссом. Принято обозначать КЧ буквой z: z = (a;b) .
|
2. Равенство КЧ. |
z1 = (x1; y1 ); z2 = (x2 ; y2 ) |
|||||
|
= z2 |
x |
= x |
Re z |
= Rez |
|
|
z1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
y1 = y2 |
Im z1 = Im z2 |
3. Действительные и чисто мнимые числа.
КЧ (1;0) называется действительной единицей.
КЧ (0;1) называется мнимой единицей. Мнимую единицу в математике обозначают буквой i. Это обозначение ввел Эйлер.
4. Сложение и умножение КЧ. z1 ± z2 = z = (x1 ± x2 ; y1 ± y2 )
z1 z2 = z = (x1x2 − y1 y2 ; y1x2 + x1 y2 )
Если z1 = z2 = i = (0;1) |
z1 z2 = i i = (−1;0) = −1 |
|
|||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i2 = −1 |
|
|
5. Алгебраическая форма КЧ. |
|
||||||
Любое КЧ можно представить в виде z = a(1;0) + b(0;1) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z = a + bi |
- алгебраическая форма |
(1) |
||
или z = Re z + iIm z . Подчеркнем еще раз: Re z и Im z - действительные числа. |
|
||||||
Если a = 0 |
|
z = ib - чисто мнимое число. |
|
||||
Если b = 0 |
|
z = a - чисто действительное число. |
|
||||
Действительные и чисто мнимые числа – это подмножества множества КЧ. |
|
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 2 из 10
Примеры:
|
Комплексное число |
Алгебраическая форма |
Действительная часть |
Мнимая часть |
||||
1 |
|
1;0 |
) |
z = 1 |
Re z =1 |
Im z = 0 |
||
|
( |
|
|
|||||
2 |
|
( |
0;1 |
z = i |
Re z = 0 |
Im z =1 |
||
|
|
|
) |
|||||
3 |
|
|
1;1 |
|
z =1+ i |
Re z =1 |
Im z =1 |
|
|
( |
) |
||||||
4 |
|
1;−1 |
z = 1− i |
Re z = 1 |
Im z = −1 |
|||
( |
|
|
) |
|||||
5 |
( |
0; |
|
) |
z = −i |
Re z = 0 |
Im z = −1 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|||
6 |
(−2;3) |
z = −2 + 3i |
Re z = −2 |
Im z = 3 |
||||
|
|
|
|
|
||||
7 |
(3;−2) |
z = 3− 2i |
Re z = 3 |
Im z = −2 |
||||
|
|
|
|
|
||||
8 |
(a;b) |
z = a + bi |
Re z = a |
Im z = b |
||||
|
|
|
|
|
||||
9 |
(0;0) |
z = 0 |
Re z = 0 |
Im z = 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Геометрический смысл КЧ.
Каждой упорядоченной паре действительных чисел можно поставить в соответствие точку на плоскости с координатами, равными элементам этой пары. Пусть ось абсцисс (0х) – действительная ось, ось ординат (0у) – мнимая ось. Тогда каждому числу соответствует точка Р с координатами (x; y) - см. рис. 1.6.1.
Плоскость, на которой изображаются точками комплексные числа,
комплексной плоскостью. Обычно ее обозначают: . z
Примечание: |
|
|
|
Числа вида |
z = x |
(y ≡ 0) |
- действительные; |
изображаются на действительной оси. |
|||
Числа вида |
z = iy |
(x ≡ 0) |
- точками на мнимой |
оси.
рис. 1.6.1. Геометрический смысл КЧ
7. Тригонометрическая форма КЧ.
Соединим начало координат с точкой Р, изображающей комплексное число z (см. рис. 1.7.1).
Определение 3.
Модулем (r) комплексного числа называется длина вектора OP :
Обозначим |
ϕ |
угол |
между |
положительным |
|
|
направлением оси 0х и вектором OP . |
|
|
||||
Определение 4. |
|
|
|
рис. 1.7.1. |
||
Угол ϕ называется |
главным значением аргумента |
|||||
|
комплексного числа z ≠ 0 и обозначается ϕ = arg z . Очевидно, что 0 ≤ r < +∞ .
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 3 из 10
Для ϕ однозначно не определяется область изменения. Можно выбирать в зависимости от задачи 0 ≤ϕ < 2π или −π < ϕ ≤ π .
Аргументом z называется Argz = arg z + 2π k, k .
Из соотношений в прямоугольном треугольнике следуют связи1:
x = rcosϕ |
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = rsinϕ |
|
||||||
и наоборот: |
|
||||||
r = |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
y |
|
|
|
|
|
tgϕ = |
|
|
|
|
|||
|
|
||||||
|
|
x |
|
||||
Подставим связь (2) в формулу (1). Получим z = x + iy = rcosϕ + irsinϕ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = r(cosϕ + isinϕ) |
|
(4) |
Определение 5.
Формула (4) носит название тригонометрической формы комплексного числа.
Примеры:
|
Алгебраическая |
Изображение |
r = |
|
z |
|
ϕ = arg z |
Тригонометрическая |
||
|
|
|
||||||||
|
форма |
|
|
форма |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
z =1 |
|
z |
|
=1 |
ϕ = 2π |
z = cos2π + isin 2π |
|||
|
|
2 |
z = i |
|
z |
|
=1 |
ϕ = π |
z = cosπ + isin π |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
3 |
z = −1 |
z |
=1 |
ϕ = π |
z = cosπ + isinπ |
|
|
|
|
|
|
ϕ = −π |
z = cos |
− π |
+ isin |
−π |
|||
4 |
z = −i |
|
z |
|
=1 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = |
3π |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = π |
z = |
|
cos π |
+ isin π |
|
5 |
z = 1+ i |
z |
= 2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
1 Если z ≡ 0 , то z = 0 , а arg z - не определен.
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 4 из 10
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
2π |
||
|
|
|
|
= 2 |
ϕ = − |
2π |
z = 2 |
cos |
− |
|
|
+ isin |
− |
|
|
|
z = −1−i 3 |
z |
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Показательная форма комплексного числа.
z = reiϕ |
(5) |
r = z ; ϕ = arg z
Возьмем два известных разложения:
cosϕ =1− |
ϕ2 |
+ |
ϕ4 |
− |
ϕ6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2! |
|
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinϕ = ϕ − |
ϕ3 |
+ |
ϕ5 |
|
− |
ϕ7 |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Умножим sinϕ на i и сложим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ϕ2 |
|
ϕ4 |
ϕ6 |
|
|
|
iϕ3 |
iϕ5 |
|
iϕ7 |
|
|
|||
cosϕ + isinϕ |
= |
1− |
|
|
+ |
− |
+ ... |
|
+ |
iϕ − |
|
+ |
|
− |
|
|
+ ... |
= |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
4! |
6! |
|
|
|
3! |
|
5! |
|
7! |
|
|
||
=1+ iϕ + (iϕ )2 |
+ (iϕ )3 |
+ (iϕ)4 |
+ (iϕ )5 |
+ (iϕ )6 |
+ ... = eiϕ |
r(cosϕ + isinϕ ) = reiϕ |
||||||||||||||
|
2! |
|
|
3! |
|
4! |
5! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это две разные формы записи одного и того же КЧ.
Определение 6.
Формула (5) носит название показательной формы комплексного числа.
Пример:
Рассмотрим число i3 +1. Запишем его всеми возможными способами.
z= (1;3) - по определению.
z=1+ i3 - алгебраическая форма;
z= 2 cos π + isin π - тригонометрическая форма;
3 3
πi
z = 2e 3 - показательная форма.
рис. 1.8.1. Геометрическое представление числа
i3 +1
9.Действия с комплексными числами, заданными в различных формах.
Сложение и вычитание
z1 ± z2 = (x1 + iy1 ) ± (x2 + iy2 ) = (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 )
Умножение
z1 z2 = (x1 + iy1 ) (x2 + iy2 ) = x1x2 + i y1x2 + i y2 x1 + i2 y1 y2 = (x1x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
или
z1 z2 = re1 iϕ1 r2eiϕ2 = rr1 2ei(ϕ1 +ϕ2 ) = rr1 2 (cos(ϕ1 +ϕ2 ) + isin(ϕ1 +ϕ2 ))
При умножении модули комплексных чисел перемножаются, а главные значения аргументов складываются.
Возведение в степень Из умножения в показательной форме следует:
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 5 из 10
n
zn = z z ... z |
= r r ... r ei(ϕ+ϕ +...+ϕ) = rneinϕ = rn (cosnϕ + isinnϕ ) |
|
||
|
|
|
|
|
n |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
zn = rn (cosnϕ + isinnϕ) |
|
(6) |
|
|
|
|
|
Формула (6) – формула Муавра-Лапласа для возведения в степень.Операция сопряжения
Число z = x − iy называется сопряженным к числу z = x + iy . На плоскости они обозначаются векторами, симметричными относительно действительной оси:
(x; y)
(x;−y) - сопряженная пара
рис. 1.9.1. Обозначение сопряженной пары на плоскости
Свойства операции сопряжения: zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 = z 2
z + z = x + iy + x − iy = 2x = 2 Re z
Деление
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x1 + iy1 )(x2 − iy2 ) |
= (x1x2 + y1 y2 ) + i(x2 y1 − x1 y2 ) |
|||||||||||||||||
|
z1 |
= z1 |
z2 |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + iy |
|
)(x − iy |
|
) |
|
|
|
+ y2 |
|
|
|||||
|
z |
2 |
|
z |
2 |
|
z |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
x2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||
или: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z1 |
= |
r1eiϕ1 |
|
|
|
= |
r1 |
ei(ϕ1 −ϕ2 ) = |
r1 |
(cos(ϕ −ϕ |
|
)+ isin(ϕ −ϕ |
|
)) |
||||||||||||
|
|
|
r eiϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Извлечение корня – формула Муавра
|
|
|
|
|
ϕ + 2π k |
|
|
|
ϕ + 2π k |
|
|
|
iϕ +2π k |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n z = n r cos |
|
|
|
|
+ isin |
|
= n r e |
n , k = 0;1;...;n −1. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei |
ϕ +2π k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
r |
n |
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
Доказательство: |
Возведем обе части формулы (7) в степень n по формуле2 (6). Получим: |
||||
z = (n |
|
)n ei |
ϕ +2π k |
n = rei(ϕ+2π k) = r(cos(ϕ + 2π k)+ isin(ϕ + 2π k))= 2(cosϕ + isinϕ ) z ≡ z |
r |
n |
|||
|
|
|
|
Ч.т.д. |
2 При извлечении корня n-ой степени получится ровно n чисел, лежащих на одной окружности R = nr и они делят
эту окружность на n дуг равной длины.
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 6 из 10
Примеры:
1. Представить число, сопряженное с z =1+ i в тригонометрической форме и изобразить на плоскости.
z = 1+ i z = 1− i
ϕ = − π , r = 2 4
z = 2 (cos(−π4)+ isin(−π4))
2. В какой четверти лежит точка, соответствующая частному |
1− i |
? |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i − 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− i |
|
|
|
|
|
(1− i)(−2 − i) |
|
|
−2 + 2i − i −1 |
|
−3+ i |
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= − |
|
+ |
|
i |
|
|
|
|
|
|||||||
|
i − 2 |
(−2 + i)(−2 − i) |
5 |
|
|
5 |
5 |
5 |
|
|
|
|
рис. 1.9.2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Re z < 0; |
|
|
Im z > 0 |
|
|
|
|
II четверть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для примера 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. Решить уравнение и изобразить решения на комплексной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости: z4 + 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π + 2π k |
|
π + 2π k |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z |
|
= −4 |
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
|
−4 = |
|
|
2 cos |
|
|
|
+ isin |
, k = 0,1,2,3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
|
= z4 |
= −z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z2 = |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ i |
|
|
|
= z3 = −z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z3 = |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− i |
|
|
|
= z2 = −z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− i |
|
|
|
|
= z1 |
= −z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 1.9.3. |
|
|||||||||||||||||
|
z4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для примера 3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Задание областей на комплексной плоскости.
Геометрический смысл модуля комплексного числа – расстояние до начала координат. Геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел – расстояние между точками, изображающими эти числа (см. рис. 2.1).
Отсюда следует, что окружность можно задать уравнением
z − z0 |
= R > 0 |
(8) |
(см. рис. 2.2)
рис. 2.1. Геометрический смысл |
рис.2.2. |
модуля разности двух КЧ |
|
|
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 7 из 10
Примеры:
z= 1 - см. рис. 2.3
z−1 = 1 - см. рис. 2.4
z− i = 1 - см. рис. 2.5
z−1− i = 2 - см. рис. 2.6
z −1− i = 1 - см. рис. 2.7
рис. 2.3 рис. 2.4 рис. 2.5 рис. 2.6 рис. 2.7
Если вместо знака «=» в (8) поставить неравенство, то это геометрически будет соответствовать заданию следующих множеств:
z − z0 |
|
≤ R - круг (см. рис. 2.8) |
z − z0 |
|
< R - открытый круг (см. рис. 2.9) |
|
||
z − z0 |
|
> R - внешность открытого круга (см. рис. 2.10) |
|
||
z − z0 |
|
≥ R - внешность круга (см. рис. 2.11) |
|
рис. 2.8 |
|
|
рис. 2.9 |
|
|
рис. 2.10 |
|
рис. 2.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл равенства arg z = ϕ0 |
- луч . |
(9) |
||||||
(см. рис. 2.12) |
|
|
|
|
|
|
||
Неравенства типа α ≤ arg z < β задают |
|
|
|
|
||||
сектор на плоскости (с границей, если |
|
|
|
|
||||
неравенство нестрогое, и без границы, если |
|
|
|
|
||||
строгое) – см. рис. 2.13. |
|
|
|
|
|
|
||
Система неравенств |
соответствует |
|
|
|
|
|||
пересечению множеств. |
|
|
|
|
|
|
рис. 2.12 |
рис. 2.13 |
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 8 из 10
|
Пример: |
|
|||||
1≤ |
|
z − i |
|
≤ 2 |
− кольцо |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
||
D : |
≤ arg z ≤ |
− сектор |
|||||
0 |
|
||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Все границы включены – см. рис. 2.14.
рис. 2.14
Более обширный обзор различных областей – на практических занятиях.
3. Расширенная комплексная плоскость.
Для нужд теории функций комплексного переменного, комплексную плоскость3 дополняют бесконечно удаленной точкой, соответствующей условному комплексному числу z = ∞ . Для наглядного изображения расширенной комплексной плоскости
= ∞ , проведем специальное геометрическое построение (см. рис. 3.1).
рис. 3.1
z ↔ z′ (взаимно-однозначное соответствие)
Условимся, что z = ∞ ↔ N . Тогда между точками сферы и точками - взаимно однозначное соответствие. Это соответствие называется стереографической проекцией.
Сфера S называется сферой Римана.
3 На действительной числовой прямой две бесконечно удаленных точки x → +∞; x → −∞ . На комплексной плоскости
– одна!
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 9 из 10
4. Понятие функции комплексного переменного.
Если z D поставлено в соответствие одно (или несколько) чисел w G , то на D определена функция комплексного переменного w = f (z) - однозначная (или многозначная) – см. рис. 4.1.
рис. 4.1
Примеры:
w = z2 = (x + iy)2 - однозначная
w = 4z - многозначная
Значение функции представимо в виде
w = u + iv f (z) = u + iv , но z = x + iy f (x + iy)= u + iv u = u(x; y) = Re f (z) v = v(x; y)= Im f (z)
Определение 7.
Функции двух действительных переменных U (x; y);V (x; y) называются
действительной и мнимой частью функции w = f (z) .
|
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
w = z2 = (x + iy)2 = x2 + 2xiy − y2 = (x2 − y2 )+ i(2xy) |
Re |
( |
z2 |
) |
= U |
( |
x; y |
) |
= x2 − y2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im(z2 )= V (x; y) = 2xy |
|||||||||
|
Основные классы функций комплексного переменного: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где z – комплексная переменная; a,b . |
||||||||||||
1) |
линейная функция: |
w = a z + b |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
w = i z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
дробно-линейная: |
w = |
a z + b |
|
, где z – комплексная переменная; a,b,c,d . |
||||||||||||||||
c z + d |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
w = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
рациональная: |
w = a0 zn + a1zn−1 +…+ an−1z + an |
, где ai |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример:
w= 8iz3 − 3z2 + (2 + i)z − 3
4)дробно-рациональная: w = Pn (z) , где P(z),Q(z) - многочлены вида 3.
Qn (z)
ТФКП (мат. анализ часть 4) семестр 4, лекция 1, стр. 10 из 10
Пример:
w = |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) показательная: |
w = ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
z |
n |
|||||
Определения: ez |
= ex+iy = ex(cos y+isin y) |
|
или ez = ∑ |
|
, |
|
z |
|
< +∞ . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
||
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
π |
|
π |
|
= e0 cos |
π + isin |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 i |
= e0+ 2 i |
|
= i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) тригонометрические функции:
w = sin z = eiz − e−iz
2i
w = cos z = eiz + e−iz
2i
∞ |
|
z |
2n+1 |
||||||||||
или w = sin z = ∑(−1)n |
|
|
|
|
|
; |
|
|
z |
|
< +∞ |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=0 |
(2n +1)! |
|
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||||||
∞ |
|
z |
2n |
||||||||||
или w = cos z = ∑(−1)n |
|
; |
|
z |
|
< +∞ |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
n=0 |
|
(2n)! |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
w = tg z = |
sin z |
; |
w = ctg z = |
1 |
|
|
|||
|
cos z |
|
tg z |
7) |
гиперболические функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ez − e−z |
ez + e−z |
sh z |
|
|
|
|
|
ch z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
sh z = |
|
; ch z = |
|
; th z = |
|
; |
cth z = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
ch z |
|
|
|
|
|
sh z |
|
|
th z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ln |
|
z |
|
+ i(arg z + 2π k); k = 0,±1,±2,… |
||||||||||||
8) |
логарифмическая функция: |
ln z = ln |
|
z |
|
+ i arg z |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln z = ln z + i arg z - главное значение логарифма.
Пример:
ln(−1) = ln −1 + i(arg(−1)) = ln1+ i(π + 2π k) = πi(2k +1); k = 0,±1,±2,…
9) сложная показательно-степенная функция: w = f (z) = [u(z)]v(z) = elnuv = ev(z)lnu(z)
Пример:
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
||
|
i |
|
|
|
|
i i |
|
+2π k |
− |
|
+2π k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ii = eln i |
|
= eilni = ei(ln |
|
i |
|
+iargi) = e |
2 |
|
= e |
2 |
; k = 0, |
±1,±2,… |
|
|
|