Число дискретных собственных значений спектральной задачи Шредингера на всей прямой

Сформулируем и докажем некоторые леммы и теоремы о числе N дискретных собственных значений спектральной задачи Шредингера, описываемой уравнением

-∞<<+∞ (1)

Мы всюду предполагаем, что функция действительна и регулярна при всех действительных значенияхи стремится к нулю при→±∞;во многих случаях удобно предположить даже, что функцияимеет компактный носитель, т.е тождественно равна нулю при достаточно больших действительных значениях,скажем при, хотя окончательные результаты справедливы и в более общем случае. Хорошо известно, что все собственные значения не вырождены и величинадолжна быть действительной; мы будем считать, что.

Лемма 1.

Число дискретных собственных значений уравнения(1) равно числу действительных нулей функции, определяемой уравнением

(2)

с граничными условиями

, (3)

а именно оно равно N:

, j=1,2,……, N (4)

Доказательство.

Эту лемму можно доказать, заметив, что вычислить и тем самым посчитать дискретные собственные значения можно, следуя за нулями решения уравнения (1) с граничным условием

(5)

При возрастающих значениях ,начиная с ,с учетом того,что каждое значение ,при котором число этих нулей уменьшается на единицу(вследствие выхода на бесконечность самого правого нуля),соответствует одному дискретному собственному значению.

Замечание.

Здесь и далее мы для простоты исключаем из рассмотрения крайний случай, когда функция конечна ,соответствующий в некотором смысле наличию дискретного собственного значения при=0.Этим объясняется то, что некоторые из приводимых ниже результатов оказываются в противоречии с тривиальным случаем, означающим,чтоN=0.

Лемма 2.

Определим функцию нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

(6)

C граничным условием

(7)

Причем у –произвольная постоянная. Тогда число дискретных собственных значений N дается формулой

(8)

Доказательство

Положим

(9)

Тогда из уравнения (2) и условия (3) следует уравнение (6) с условием (7).Кроме того ,из условия (4),очевидно ,следует, что

2)π (10)

Заметим, что упорядочение значений ,даваемое формулой (4),согласуется равенством (10),как следует из соотношения

(11)

Наконец, из уравнения (9) ясно, что асимптотическое значение должно с целым кратным числа π,а это вместе с соотношениями (10) и (4) означает справедливость формулы (8),что и требовалось доказать.

Лемма 3.

Определим функцию µ(x) нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

(12)

и граничным условием

(13)

Где -произвольные постоянные(но.Тогда число дискретных собственных значенийдается формулой

(14)

(при условии, что правая часть положительна ;в противном случае

Доказательство

Положим

(15)

Тогда уравнение (12) немедленно следует из уравнения (6),а условие (13) легко получить из условия (7).Чтобы доказать формулу (14),введем для удобства координаты в которых обращается в нуль производная,а не сама функция.Тогда

(16)

и ,очевидно, из соотношений (10) и (11) следует ,что

(17)

Заметим, что если функция меняет знак, при каждом значенииj может быть более одного значения в таком случае число последних должно быть нечетным и проводимые рассуждения относятся к крайним правым из них.В то же время из соотношения (15) следует, что

, (18)

Предположим теперь ,что прии что

Поскольку знак функции тот же ,что и у функции,это означает, что,и поэтому формула (6) выполняет соотношение

, чем наряду с формулой (8) и завершает доказательство.

Лемма 4.

Пусть -число дискретных собственных значений,связанных в силу уравнения (1) с функцией,m=1,2, и предположим, что

≤, -∞<x<∞ (19)

Тогда

≥(20)

Перейдем теперь к доказательству теоремы о нижней границе числа дискретных собственных значений. Оценки других границ можно получить используя приведенные выше результаты

Теорема 1(о нижней границе).

Число уравнения (1) ограничено снизу выражением

, (21)

Где

Min(a,b)=a if a≤b (22a)

Min(a,b)=b if a≥b (22б)

Доказательство.

Пусть приТогда из уравнения (6) следует,что если

,то .Отсюда из формулы (8) следует формула

(23)

(мы игнорируем крайний случай, когда функция равна целому кратному числу. В то же время из уравнения (6) следует, что

(24)

Так как минимальное значение выражения по всем действительным значенияместьи это вместе с формулой (7) дает

(25a)

Или,что эквивалентно(так как при положительном значении

(25б)

Эта формула вместе с формулой (23) дает неравенство (21),что и требовалось доказать.

Следствие 1.1

Если при -∞<x<∞,то .

Доказательство.

Это тривиальным образом следует из формулы (21).

Следствие 1.2

(26)

При условии, что

(27)

Доказательство

Это следует из формулы (21),если .

Теперь найдем верхние границы числа дискретных собственных значений, связанных с функциейПри этом удобнее будет устанавливать также границы для неположительного потенциала,связанного с потенциалом

при (28а)

при (28б)

Тогда в силу леммы 4 такие границы тем более будут справедливы для .

Эти границы удобно выразить через интегралы

(29)

В данной формуле и всюду ниже z-произвольная(действительная)постоянная.

Теорема 2(о верхней границе)

Верхняя граница числа дискретных собственных значений уравнения (1) дается выражением

(30)

Доказательство.

Формулу (12) можно переписать(с заменой )в виде

(31)

где

(32)

Из формул (13),(29),и (31) немедленно следует

(33)

При оптимальном выборе с учетом формулы (14) мы получаем соотношение (30),что и требовалось доказать.

Теорема 3.(о верхней границе по Баргману)

Число дискретных собственных значений уравнения (1) ограничено сверху выражением

(34)

Доказательство.

Рассмотрим функцию , определенную формулами (31) и (13);очевидно, что это неубывающая функция переменной.Определим положенияформулами

(35а)

(35б)

Эти формулы согласуются с формулой (14).Справедливо правило упорядочения

(36)

Определим теперь функцию ,положив

(37)

Тогда уравнение (31) даёт

(38)

А из формул (13) и (35) следуют равенства

(39a)

(39б)

Причем мы принимаем

(40)

Для удобства определим 2N+1 величин иследующим образом

(41a)

(41б)

Тогда, очевидно

(42)

Причем эта формула соответствует разбиению интервала интегрирования в формуле (29) на 2N+1 интервалов от ,от,оти т.д. и наконец, отдо.

Теперь докажем, что

Если (43а)

Если (43б)

Из этих неравенств следует, что, каково бы ни было значение ,в сумме 2N-1

Положительных членов в формуле (42) по крайней мере N-1 членов не меньше единицы ,а отсюда следует неравенство (34), которое нам и требуется доказать.

Остается доказать неравенства (43).Сначала рассмотрим случай Тогда прииз формул (38) и (35) следует ,что

(44a)

Интегрирование от дает (в силу соотношений(39),и тем самым неравенство (43а) доказано. Рассмотрим случай.Тогда прииз формул (38) и (35) следует

(44б)

Интегрирование от дает теперь в силу соотношений (39)а тем самым доказано и неравенство (43б).

Заметим, что из формулы (34) и очевидного неравенства

(45)

Следует неравенство, аналогичное неравенству (30),но менее строгое(так как

Легко видеть, что верхняя и нижняя границы теорем 1-3 суть наилучшие возможные; действительно ,существуют специальные функции ,их «насыщающие».Для границы теоремы 1 и произвольного числаN «насыщающей» функцией является прямоугольная яма припри,где;для границ теорем 1-3 приN=1 насыщающей является функция

1Все наши дальнейшие рассуждения легко распространяются и на тот случай, когда V имеет конечное число особых точек такого же рода, как начало координат в рассматриваемом случае.

28