Оглавление

Введение 3

Задача Шредингера о собственных значениях. 4

Задачи о собственных значениях шредингеровского типа. 7

Введение

В недавнее время, в связи с физической теорией квантов, Шредингер натолкнулся на тип задач о собственных значениях, спектр которых обнаруживает совершенно иную структуру, чем рассмотренные до сих пор, а именно состоит из непрерывной из дискретной части, причем дискретный спектр не простирается в бесконечность, но имеет конечную точку сгущения.

Задача Шредингера о собственных значениях.

В простейшей задаче Шредингера речь идет о дифференциальном уравнении

(1)

в пространстве , причем обозначает данную положительную постоянную,- полярные координаты, а от собственных функцийтребуется непрерывность в начале координат и конечно при. Умножая дифференциальное уравнение на шаровую функциюи интегрируя по поверхности единичной сферы, получим для функции

обычным образом дифференциальное уравнение

, (2)

и из фундаментальных функций этого уравнения при тех же краевых условиях, что и выше, дляи, умножением наполучим фундаментальные функцииуравнения (1).

Введя вместо 𝜆 в качестве нового параметра величину

и вместо переменную

,

получим дифференциальное уравнение

.

При действительном , т. е. отрицательномусловие непрерывности в нулевой точке и конечности приможет быть выполнено лишь для целых значенийи что решения даются производными полиномов Лагерра в следующем виде:

.

Следовательно, для первоначального дифференциального уравнения числа

,

и только эти числа, являются отрицательными собственными значениями, которым принадлежат собственные функции:

.

При этом , при заданном целом, может пробегать все целые числа от 0 до, апредставляет каждый разлинейно независимых шаровых функций. Найденный таким путем дискретный спектр состоит из бесконечного множества функций. Найденный таким путем дискретный спектр состоит из бесконечного множества чисел с точкой сгущения нуль.

Далее, утверждаем, что уравнение (1) Шредингера имеет собственным значением всякое положительное число 𝜆, т. е. обладает непрерывным спектром в виде континуума всех неотрицательных чисел.

Для доказательства подставим в (2) вместо функцию; получится дифференциальное уравнение

.

Его решения остаются, таким образом, ограниченными при всяком положительном𝜆, а решения стремятся к нулю при бесконечном возрастании. Для того, чтобы обнаружить, что всякое положительное число 𝜆 является собственным значением, остается лишь доказать существование при всякомрегулярного в нулевой точке решения. Этот факт можно получить из общей теории линейных дифференциальных уравнений. Но можно также непосредственно получить такое решение методом, не раз уже примененном нами, в виде постоянно сходящегося степенного ряда, причем целесообразно предварительно преобразовать наше дифференциальное уравнение подстановкойв такое дифференциальное уравнение для, у которого подстановка степенного ряда приводит к двучленной рекуррентной формуле.