- •Оглавление
- •1. Уравнения первого порядка
- •1.1.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, приводящиеся к ним
- •1.2. Геометрические и физические задачи
- •Задание 11
- •1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Задание 2
- •1.4. Линейные уравнения, уравнения Бернулли и уравнения Риккати
- •Задание 3
- •1.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Задание 4
- •1.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения
- •Задание 5
- •1.7. Существование и единственность решения задачи Коши. Метод последовательных приближений
- •Задание 6
- •2. Дифференциальные уравнения n-го порядка
- •2.1. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка
- •Задание 7
- •2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Задание 8
- •3.1 Матричная экспонента
- •3.2. Формула Коши
- •Задание 12
- •Задание 13
- •Задание 14
- •Библиографический список
Задание 5
Найти все решения данных уравнений. Выделить особые решения (если они есть)
|
|
Уравнения 13 - 30 решить методом введения параметра. Найти особые решения (если они есть).
1.7. Существование и единственность решения задачи Коши. Метод последовательных приближений
Укажем условия существования и единственности решения задачи Коши (1.2) – (1.3).
Теорема Пикара-Линделефа. Пусть функция непрерывна на множествеи удовлетворяет условию Липшица поравномерно относительно, то есть существует такая постояннаяL>0 ,что для ивыполнено соотношение
Пусть М является верхней границей для на, а. Тогда задача Коши
имеет на отрезке единственное решение.
Решение задачи Коши при выполнении условий теоремы Пикара-Линделефа может быть найдено как предел приравномерно сходящейся последовательности функций, определяемых рекуррентными соотношениями
(1.21)
Оценка погрешности при замене точного решения -ым приближениемможет быть выражена неравенством
(1.22)
Заметим, что если функция имеет непрерывную частную производнуюв области, то значение постоянной ЛипшицаL может быть определено так: .
Пример 1. Найти область, в которой уравнение имеет единственное решение.
Решение. Здесь . Функцияопределена и непрерывна при. Частная производнаянепрерывна и ограничена при. Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение в любой полосе
Пример 2. Для задачи Коши указать какой-либо интервал существования решения. Найти это решение методом последовательных приближений, ограничившись приближениямии оценить ошибку третьего приближения.
Решение. Рассмотрим прямоугольник . На множестве. Поэтому интервал существования решения. Значит, решение существует прии на этом же интервале сходятся последовательные приближения. Последовательные приближения найдем по формуле (1.21):
Оценим теперь ошибку третьего приближения, пользуясь формулой (1.22). В качестве значения постоянной L можно взять верхнюю границу для наG: Поэтому.
Задание 6
Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует решение с данными начальными условиями:
Построить последовательные приближения к решению данного уравнения с данными начальными условиями, указать какой-либо интервал, на котором сходится последовательность приближений:
Для следующих уравнений построить третье приближение в заданной области (или на заданном интервале) и оценить его ошибку.
Для следующих уравнений выделить области на плоскости (x,y),в которых через каждую точку проходит единственное решение уравнения.
2. Дифференциальные уравнения n-го порядка
Дифференциальное уравнение вида
называется дифференциальным уравнением -го порядка не разрешенным относительно старшей производной. Если удается разрешить его относительно , то получаем
. (2.1)
Теорема Коши (существования и единственности решения). Пусть функция , рассматриваемая как функцияпеременной, непрерывна в некоторой области, содержащей точку, вместе со своими частными производными. Тогда существует интервали определенная на немn раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению (2.1) и начальным условиям
. (2.2)
Функция , обладающая указанными свойствами, единственна.
Определение. Общим решением уравнения (2.1) (удовлетворяющего условиям теоремы Коши) называется функция , зависящая отx и n произвольных постоянных , такая, что
для любых значений произвольных постоянных функцияесть решение уравнения (2.1);
существуют единственные значения такие, чтоесть решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальному условию (2.2).
Если общее решение в области задано неявно соотношением
,
то оно называется общим интегралом уравнения.
Любое решение, получающееся из общего при конкретных значениях произвольных постоянных , называетсячастным решением.