Ломаный брус

Министерство науки и образования Российской Федерации

Тульский государственный университет

Кафедра «Строительство, строительные материалы и конструкции»

«Строительная механика»

Ломаный брус

Тула 2006 г.

Задание 1. Определение реакций опор твердого тела

На расчетных схемах (рис. 1–4) показаны для каждого варианта три спо­соба закрепления бруса, ось которого – ломаная линия. Задаваемая нагрузка , , и размеры (см. табл. 1) во всех трех случаях одинаковы.

Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором реакция, указанная в табл. 1, имеет наименьший модуль.

Таблица 1

№ варианта	P, кН	М, кНм	q, кН/м	а, м	Исследуемая реакция	№ варианта	P, кН	М, кНм	q, кН/м	а, м	Исследуемая реакция
1	10	6	2	1		16	12	8	2	2
2	14	5	4	0,5		17	10	4	4	0,5
3	15	8	1	2		18	14	4	2	1
4	4	2	1	0,5		19	16	6	1	2
5	10	4	2	1		20	10	8	4	1
6	6	2	1	2		21	20	12	2	2
7	2	4	2	0,5		22	6	6	1	2
8	20	10	4	1		23	10	4	2	1
9	10	6	5	0,5		24	6	9	1	1,5
10	2	4	2	1		25	10	10	2	1
11	4	10	1	2		26	21	9	2	1,5
12	6	5	2	0,5		27	10	6	1	2
13	20	12	2	2		28	20	10	4	1
14	15	6	3	1		29	16	12	1	2
15	10	5	2	1		30	10	20	2	2

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Пример выполнения задания. Дано: схемы закрепления бруса (рис. 5); кН; кНм; кН/м; м.

Определить реакции опор для того способа закрепления, при ко­тором момент в заделке имеет наименьшее числовое значение.

Рис. 5

Решение

1. Проведение кинематического анализа заданных расчетных схем.

1.1. Количественный кинематический анализ.

Для проведения полного кинематического анализа необходимо заменить опорные связи их шарнирно-стержневым аналогом согласно Приложения (см. рис. 6).

Рис. 6

Степень статической неопределимости заданных расчетных схем (ЗРС) определяется по формуле:

,

• число жестких дисков (стержней) системы: ;

• число простых шарниров, объединяющих жесткие диски системы: ;

• число опорных стержней: (в схеме а – ; в схеме б – , ; в схеме в – , ).

• Если , то расчетная схема является статически неопределимой, т. е. имеет избыточное число связей.

• Если , то расчетная схема является статически определимой, т. е. число неизвестных реакций в связях расчетной схемы равняется числу независимых уравнений равновесия, которые для нее могут быть составлены.

• Если , то расчетная схема является геометрически изменяемой и не может служить в качестве расчетной схемы строительной конструкции.

Имеем,

ЗРС статически определимы.

1.2. Качественный кинематический анализ.

Заключается в проведении анализа на геометрическую неизменяемость ЗРС, которая обеспечивается наличием шарнирно-стержневого треугольника (ШСТ), образованного опорными связями, наложенными на диск (рис. 7).

Расчетная схема будет геометрически неизменяемой, если изменение ее формы или положения возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.

Для построения ШСТ необходимо:

1. найти точку пересечения на продолжении двух непараллельных опорных стержней (если в этой точке нет уже имеющегося шарнира (), то необходимо изобразить мнимый шарнир ());

2. соединить шарнир (мнимый шарнир) в точке пересечения с шарнирами по концам оставшегося опорного стержня.

Ломаный брус является геометрически неизменяемым (можно построить ШСТ), если он крепится к «Земле» при помощи трех опорных стержней, оси которых не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке.

Рис. 7

Таким образом, ЗРС геометрически неизменяемы.

2. Определение опорных реакций для расчетной схемы с наименьшим моментом в заделке.

С целью уменьшения объема вычислительных работ приведем заданные физические величины к безразмерному виду.

Так, все длины на расчетных схемах уже заданы кратными масштабу длины (, где – номер участка). Если принять интенсивность распределенной вдоль участка оси расчетной схемы нагрузки кратной масштабу (), будем иметь в качестве масштаба измерения сосредоточенных сил величину (), а изгибающего момента – ().

Таким образом, получим:

кН;

кНм.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, прило­женных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями согласно Приложения: в схеме а – , , , в схеме б – , и , в схеме в – , и (рис. 8). При этом вводится правая декартовая глобальная система координат со следующим обозначением осей:

• x – горизонтальная ось с положительным направлением вправо;

• y – вертикальная ось с положительным направлением вверх;

• z – горизонтальная ось с положительным направлением, перпендикулярным плоскости изображения и направленным к зрителю.

При таких условиях общепринятым является следующее математическое правило знаков векторных величин:

• положительные силы направлены вдоль положительных направлений осей координат;

• положительные моменты направлены против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси, относительно которой действует момент.

Обозначения реакций следует увязывать с обозначением оси, вдоль которой действует реакция, и номером узла, в котором она определяется. Все неизвестные реакции до их определения считаются положительными по математическому правилу знаков и в соответствии с ним изображаются на расчетной схеме.

Рис. 8

Чтобы выяснить, в каком случае момент в заделке является наи­меньшим, найдем его для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций. Для исключения взаимовлияния получаемых результатов для каждой заданной расчетной схемы необходимо подобрать такое уравнение равновесия, из которого бы однозначно определялась исследуемая реакция (, ) и, таким образом, не учитывалось бы влияние двух других реакций , (, и , ).

• Для схемы а

:

.

• Для схемы б

:

.

• Для схемы в

:

.

Знак “–“ рядом с найденным числовым значением опорной реакции указывает на то, что направление данной реакции надо изменить на противоположное. При этом «старый» вектор следует перечеркнуть, а рядом нарисовать вектор истинного (вычисленного) направления (см. рис. 8в).

.

Таким образом, наименьший момент в заделке получается при закреплении бруса по схеме б. Определим остальные опорные реакции для этой схемы:

: , откуда ;

: , откуда .

Итак, реакции опорных связей при закреплении бруса по схеме б определены, что позволяет указать на расчетной схеме все нагрузки в явном виде («в значениях»), как это сделано на рис. 9.