Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2.Рациональные уравнения

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

437.76 Кб

Скачать

☆

§2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 1) Квадратные уравнения. , . (1) Функция , где , называется квадратичной функцией. График этой функции – парабола, координаты вершины которой равны: . При ветви параболы направлены вверх, а при – вниз. – дискриминант квадратного уравнения (1). При уравнение (1) имеет два корня: , ; при – один корень (два равных корня) , а при уравнение (1) корней не имеет. Приведенное квадратное уравнение: . (2) Теорема Виета. Если квадратное уравнение (2) имеет корни и , то . Обратная теорема. Если числа и таковы, что , то они являются корнями квадратного уравнения . Разложение квадратного трехчлена на линейные множители: если и корни квадратного уравнения (1), то . 12 2) Неравенства второй степени. . Случай 1. .

Неравенство
Неравенство

	решений нет	решений нет

Случай 2. .

Неравенство
Неравенство
	решений нет	решений нет

3) Рациональные уравнения и неравенства.

Многочленом - ой степени () от переменной называется выражение

где – заданные действительные числа, причем . Многочленами нулевой степени являются отличные от нуля действительные числа. Число единственный многочлен,

степень которого не определена. Уравнение , где – многочлен -ой степени, , называется алгебраическим уравнением -ой степени.

Если – корень многочлена , т.е. , то без остатка делится на ():

где – многочлен степени . Многочлен можно найти либо делением «уголком» многочлена на (), либо группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя . Основными методами решения уравнения , где – многочлен степени (, являются метод разложения левой части уравнения на множители и метод введения новой переменной. Уравнение вида , где и многочлены, называется рациональным. Это уравнение равносильно системе Рациональные неравенства – это неравенства вида , где и многочлены. Основной метод решения рациональных неравенств – метод интервалов. Рассмотрим сначала неравенство . Находим корни уравнения . Пусть корни этого уравнения, расположенные в порядке возрастания.

Числовая прямая точками разбивается на ин-

тервалы, в каждом из которых функция сохраняет знак.

Для определения знаков значений функции в полученных интервалах достаточно найти знак значения функции в любой точке соответствующего интервала.

Множеством всех решений неравенства будет объединение всех промежутков, в которых функция сохраняет отрицательный знак.

Имеют место следующие соотношения: , Аналогично решаются неравенства вида . Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде . Но и . Поэтому получаем: Квадратное уравнение корней не имеет (т.к.). Следовательно, исходному уравнению удовлетворяет только значение .

Ответ: – 1.

Пример 2. Найти сумму корней уравнения: . Решение. Так как , то исходное уравнение принимает вид: . (3) Обозначим . Тогда уравнение (3) принимает вид:

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Первое уравнение имеет корни , а второе уравнение корней не имеет ( ). .

Ответ: – 5.

Пример 3. Решить уравнение . (4) Решение. Квадратный трехчлен обращается в нуль при и ; поэтому . (4)

Ответ: 2.

Пример 4. Найти сумму корней уравнения . (5) Решение. ОДЗ уравнения (5): .

При числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, обращается в : . Следовательно, многочлен без остатка делится на :

Уравнение (5) можно представить в виде: .

При это уравнение равносильно уравнению . Корни последнего уравнения: . Ответ: 1. Пример 5. Найти сумму целых решений неравенства . (6)

Решение. (6) .

Решениями последнего неравенства являются все числа из множества

Целые решения неравенства (6): ; ; Ответ:

Пример 6. Найти наименьшее целое решение неравенства: . (7) Решение. (7) .

Применяя метод интервалов, получим множество решений исходного неравенства: .

Наименьшее целое решение: .

Ответ: 0.

Заметим, что в процессе решения предыдущей задачи может возникнуть желание упростить неравенство , (8) сократив числитель и знаменатель дроби на . Такое уп-

рощение, сделанное без всяких ограничений, приведет к ошибке. Неравенство неравносильно неравенству (8), так как число входит в множество его решений, не являясь в то же время решением неравенства (8).