1 Элементы линейной алгебры
.pdf
Умножение матриц
Произведением матрицы A=(aij) (размера m p) на матрицу B=(bij)
(размера p n) называется матрица C=(cij) (размера m n), элементы которой
вычисляются по формулам:
p |
|
|
|
|
|
|
cij aik bkj |
ai1b1 j ai 2 b2 j aip bpj |
|||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
1, m |
; |
j |
1, n |
. |
|
Умножение матриц
p |
|
cij aik bkj |
ai1b1 j ai 2 b2 j aip bpj |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1,m ; |
j 1,n. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
b1 j |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 j |
|
|
|
|
|||
|
|
ai1 ai 2 |
aip |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
cij |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bpj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Транспонирование матрицы
Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если
вней поменяли местами строки
истолбцы.
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
21 |
|
|
m1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
a22 |
... |
am 2 |
|||
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
T |
|
|||||||
A |
|
... |
... |
|
A |
|
|
|
... ... |
|
||||
m n |
|
... |
... |
n m |
|
... ... |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
am2 |
... |
|
|
|
a |
a |
|
... |
a |
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
2n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
mn |
|
||
Определитель матрицы
Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.
1. A a11 a11
2. |
a11 |
a12 |
a11 a22 a12 a21 |
||
a21 |
a22 |
||||
|
|
||||
|
|
|
|||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
||||
3. |
a21 |
a22 |
a23 |
a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 |
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32 |
|
Определитель матрицы
Минором Mij некоторого элемента aij определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца,
на пересечении которых стоит данный элемент.
|
a |
|
11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
a |
|
21 |
a22 |
a23 |
M11 |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
a32 |
a33 |
|
a32 |
a33 |
||||
|
31 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель матрицы
Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента,
умноженный на (-1)S , где S – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Aij ( 1)S Mij , S i j
Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
|A|=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
Обратная матрица
Пусть дана невырожденная (det A≠0) квадратная матрица порядка n
a11 |
a12 |
.... |
a1n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
.... |
a2n |
|
||
A |
.... .... ..... ..... |
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
an2 |
..... |
|
|
|
an1 |
ann |
|||||
Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняются равенства
A 1 A А А 1 Е,
Е – единичная матрица.
Обратная матрица
Теорема.
Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
... |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
21 |
|
n1 |
|
A 1 |
|
1 |
|
|
|
A12 |
A22 |
... |
An2 |
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
... |
... |
|
|||
|
|
A |
|
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
A1n |
A2n |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ann |
||||
Aij – алгебраическое дополнение элемента aij,
| A | – определитель матрицы A.
Системы линейных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
|
a |
x a |
|
|
x |
|
... |
a |
|
|
x |
|
b |
|
|
||||||
|
|
11 |
1 |
|
12 |
|
|
2 |
|
|
|
1n |
|
n |
|
1 |
|
|
|||
|
a21 x1 a22 x2 ... |
a2n xn b2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
............................................... |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m1 |
x |
1 |
a |
m2 |
x |
2 |
... |
a |
mn |
x |
n |
b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
где aij |
и bi ─ числа, xi – неизвестные. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решением системы уравнений называется такой набор чисел x1, x2 .. xn, при котором каждое уравнение
системы обращается в тождество
Матричный вид системы
Обозначения:
Матрица коэффициентов при неизвестных
a11 |
a12 |
.... |
a1n |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
.... |
a2n |
A |
|
|
..... |
.... |
.... |
..... |
|
|
|
|
|
|
am2 |
..... |
|
am1 |
am n |
Столбец свободных членов
b1
B....b2 ,
bn
Столбец неизвестных
x1
X....x2 ,
xn