5 Дифференциальное исчисление

окрестности точки x (включая точку x ).

•Определение 1.

f (x) lim f (x)

x 0 x

•Определение 2.

Касательной прямой l к графику функции

y f (x) в точке xo называется предельное положение секущей Mo M, когда M Mo

Производной функции f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

y f (x)

yo M o

•Определение 3.

Нормалью к графику функции y f (x) в точке

называется прямая N, проходящая через точку Mo перпендикулярно касательной прямой l

xo

(xo , yo )

Доказательство 1 правила (для суммы).

то есть

( f (x) g(x)) f (x) g (x)

•Теорема.

1. y(x) – сложная функция, то есть

y f (u) , u (x) y(x) f (((x))

2.(x) в т. х

3.f (u) в т. u , причем

значение u (x)

y (x) f (u) (x)

где u (x)

•Обратная функция.

•Определение.

Пусть y f (x) : X Y x ( y) : Y X

Функции y f (x) и x ( y)

называются взаимно обратными,

y

одна и та же линия.

•Производная обратной функции.

•Теорема.

1.y f (x) непрерывная на a,b ;

2.y f (x) монотонная на a,b ;

3. f (x) при x a,b и f (x) 0

•Пример.

•Вывод формулы :

1.x ( y) обратная

кy f (x) ;

2.x ( y) непрерывная

y y (x 1)2

y