5 Дифференциальное исчисление
.pdf
Исследование функций
•Выпуклость и точки перегиба графика функции.
–Определение 1.
График функции y f (x) называется
выпуклым вверх в (a,b) , если
график расположен не выше
любой своей касательной при x (a,b)
–Определение 2.
График функции y f (x) называется
выпуклым вниз в (a,b) , если
график расположен не ниже
любой своей касательной при x (a,b)
–Определение 3.
Точка M0 (x0 , y0 ) графика функция называется точкой перегиба, если
окрестность точки x0 ,в которой
слева от точки x0 график расположен
по одну сторону, а справа по другую сторону
от касательной, проходящей через точку M0 (x0 , y0 )
y
0
y
0 a
y
y0
0
|
|
|
y f (x) |
a |
b x |
y f (x) |
|
b x
y f (x)
M0 (x0 , y0 ) |
|
x0 |
x |
|
окрестность
Исследование функций
•Достаточный признак выпуклости.
–Теорема.
1. |
|
|
||
|
f (x) x (a,b) ; |
|||
2. |
f |
|
|
|
|
||||
|
(x) 0 |
|
|
|
|
x (a,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.f (x) 0
x (a,b)
График функции y f (x)
выпуклый вниз в (a,b)
График функции y f (x)
выпуклый вверх в (a,b)
Исследование функций
•Необходимый признак перегиба.
–Теорема.
1. График функции y f (x)
вточке M0 (x0 , y0 ) имеет перегиб;
2.f (x0 )
Достаточный признак перегиба.
Теорема.
1. |
|
|
|
x (a,b) ; |
|
f (x0 ) |
|||
2. |
f |
|
0 |
при x0 (a,b) ; |
|
(x0 ) |
|||
3. |
f |
|
меняет знак при |
|
|
(x0 ) |
|||
переходечерез точку x0
f (x0 ) 0
M0 (x0 , y0 ) точка перегиба.
Исследование функций
|
|
y |
M |
M |
M |
L |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
• Асимптоты графика функции. |
|
|
|
|
||
– Определение. |
y f (x) |
d |
|
|
||
|
L |
|
|
|
|
|
Прямая |
называется асимптотой графика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функции y f (x) , если расстояние от точки M |
|
|
|
|
||
на графике до прямой L стремится к нулю при |
|
|
|
|
||
неограниченном удалении точки от начала координат.
|
L |
y f (x) |
0 |
x |
y |
|
|
||
|
|
M |
y |
|
|
|
M |
1 |
|
|
|
M |
y x 1 |
|
|
|
|
|
d
0 |
a |
x |
0 1 |
x |
|
||||
|
|
|
-1 |
|
Исследование функций
• Теорема 1. |
x a является вертикальной асимптотой, |
|||
Прямая |
||||
если хотя бы один из пределов |
||||
lim f (x) или lim f (x) |
||||
x a 0 |
|
|
x a 0 |
|
равен или |
|
|||
Теорема 2. |
|
|
||
Прямая |
y kx b является наклонной асимптотой, |
|||
если |
lim |
|
f (x) |
k |
|
|
|||
|
x |
x |
||
и lim f (x) kx b |
||||
x |
|
|
||
Замечание. |
Горизонтальная асимптота - частный случай |
|||
наклонной асимптоты при k 0
Исследование функций
•Общая схема исследования функции.
•Первый этап.
1.Область определения, точки разрыва.
2.Четность, нечетность.
3.Периодичность.
4.Точки пересечения с осями координат.
5.Асимптоты графика.
6.Поведение при x
•Уточненное исследование с помощью первой производной.
1.Точки экстремума (вычислить экстремальные значения).
2.Интервалы монотонности.
•Исследование с помощью второй производной.
1.Точки перегиба (вычислить значение функции и угловой коэффициент).
2.Интервалы выпуклости.
Дифференциал функции
•Определение.
Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0 , если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно x части и бесконечно малой более высокого порядка чем x , т.е.
|
f(x0) = A x + ( x) , |
(1) |
|
где A – число, ( x) – б.м. более высокого порядка чем x. |
|
|
|
Слагаемое A |
x в выражении (1) (т.е. линейную |
относительно x часть |
f(x0)) называют |
дифференциалом функции y = f(x) в точке x0 и обозначают: |
|
||
|
dy(x0) = f (x0) x . |
|
|
Дифференциал функции y = f(x) в точке x0 |
|
N |
|
равен приращению ординаты точки на касательной |
|
||
|
|
||
к кривой y = f(x), которое соответствует |
|
|
|
приращению x. |
|
|
|
x0 x