3 Примеры исследования устойчивости сар с запаздыванием

3.1 Анализ устойчивости сар с запаздыванием по критерию Михайлова и построение области устойчивости

Пусть САР с запаздыванием задана структурной схемой, приведенной на рисунке 9, где k₁ = 0,5;k₂ = 1;T₁ = 2;T₂= 4;= 0,5.

y*(p) y(p)

Рисунок 9 – Пример САР с запаздыванием

ПФ разомкнутой части САР:

, (17)

а ПФ самой САР:

. (18)

Тогда характеристическое уравнение САР с запаздыванием имеет вид

. (19)

Заменив в выражении (19) p на j, получим уравнение вида

. (20)

Тогда вещественная и мнимая части выражения (20) определяются уравнениями:

. (21)

Подставив значения коэффициентов в уравнения (21), имеем:

. (22)

Для оценки устойчивости САР с запаздыванием по критерию Михайлова произведены расчёты по уравнениям (22). Результаты расчета приведены в таблице 1, а годограф Михайлова – на рисунке 10.

Таблица 1 – Результаты расчета по критерию Михайлова

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	1	∞
U()	0,5	0,44	0,26	-0,04	-0,51	-1,02	-5,56	- ∞
V()	0	0,07	0,09	0,01	-0,21	-0,62	-7,24	- ∞

Годограф Михайлова, приведенный на рисунке 10, показывает, что САР с запаздыванием устойчива.

САР находится на границе устойчивости в соответствии с условиями (10), если вещественная и мнимая части (21) равны 0, т. е.

. (23)

 = 0

jV()

U()

0,1

0,5

-0,51

-1

-0,21

-0,62

Рисунок 10 – Годограф Михайлова для САР с запаздыванием

Для построения области устойчивости в области заданного параметра  = 0,5 и в координатах k₂ и Т₂ подставим в выражения (23) значения k₁, Т₁ и . В итоге имеем систему уравнений:

. (24)

Для решения системы уравнений (24) разрешим каждое уравнение относительно k₂:

• из первого уравнения

k₂ = ; (25)

• из второго уравнения

k₂ = . (26)

Приравняем выражения (25) и (26):

= .

Тогда имеем, что

.

После преобразования имеем

_.

В итоге получим, что

Т₂. (27)

Результаты расчета по выражениям (25) и (27) приведены в таблице 2, а граница области устойчивости – на рисунке 11.

Таблица 2 – Значение параметров k₂ и Т₂

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
k2	0	0,83	0,93	1,09	1,34	1,65	2,03	2,5	3,06	3,71	4,47
Т2		39,60	9,60	4,04	2,09	1,19	0,69	0,40	0,20	0,06	-0,04

4

Т₂

(1;4)

3

2

неуст.

уст.

1

k₂

1

2

3

4

Рисунок 11 – Построение области устойчивости для САР с запаздыванием

3.2 Анализ устойчивости САР с запаздыванием по критерию Найквиста и определение критического времени запаздывания

Для оценки устойчивости САР с запаздыванием по критерию Найквиста предварительно строится годограф Найквиста для САР без запаздывания. Передаточная функция разомкнутой части САР без запаздывания в соответствии с выражением (17) имеет вид

W₀(p) = . (28)

Раскрыв скобки в знаменателе и подставив значения коэффициентов, имеем, что

W₀(p) = . (29)

Заменив р на j получим, что

W₀(j) = . (30)

Тогда

(31)

Результаты расчета значений годографа Найквиста для САР без запаздывания приведены в таблице 3, а сам годограф – на рисунке 12.

Таблица 3 – Значения годографа Найквиста для САР

без запаздывания

	0	0,1	0,2	0,3	0,3536	0,4	0,5	1	+ ∞
Р()	-3	-2,49	-1,58	-0,90	-0,67	-0,51	-0,30	-0,04	0
Q()	-∞	-3,81	-0,89	-0,14	0	+0,06	+0,10	+0,04	0

Для построения годографа Найквиста для САР с запаздыванием необходимо найти углы поворота _i при каждой частоте, используемой для построения годографа Найквиста. Значения углов поворота приведены в таблице 4, а годограф Найквиста для САР с запаздыванием приведён на рисунке 12.

Таблица 4 – Значения углов поворота

	0	0,1	0,2	0,3	0,3536	0,4	0,5	1	∞
i	0	5,7о	11,5о	17,2о	20,3о	22,3о	28,7о	57,3о	0

-1

-2

-3

-4

Рисунок 12 – Годограф Найквиста для САР с запаздыванием

и без запаздывания

Критическое время запаздывания _кр определяется в соответствии с выражениями (11) и (12), с учётом условия, что амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

А_p() = А₀() = 1, (32)

так как наличие звена чистого запаздывания не меняет амплитуду. Частота ₀, при которой АЧХ равна 1, находится из условия (32). Тогда для рассматриваемой САР имеем

. (33)

Выражение (33) можно преобразовать в выражение вида

(34)

или

.

Подставив в (34) значения коэффициентов, имеем, что

. (35)

Из выражения (35) необходимо найти частоту ₀, при которой АЧХ равна 1. Значение ₀ находится методом последовательного приближения, так как непосредственное нахождение корней уравнений (35) является достаточно сложной задачей. Результаты поиска значения ₀ приведены в таблице 5, где знак > указывает превышение, а знак < непревышение значения 0,25. В итоге получено, что с точностью 0,15 

₀ = 0,2857.

Таблица 5 – Таблица значений поиска частоты

0	0,1	0,2	0,3	0,25	0,28	0,29	0,285	0,286	0,2855	0,2857
0,25	0,012	0,076	0,2987	0,1563	0,2332	0,2636	0,2445	0,2506	0,2491	0,2497
	<	<	>	<	<	>	<	>	<	 0,25

Определим значение ₀ (₀).

При ₀ = 0,2857.

P₀(₀) = – 0,98, a Q₀(₀) = – 0,20.

Тогда .

Итак .

В итоге ,

т. е. _кр = 11,69 с.