Начерталка пособие

5.Три точки А, В и К определяют новое положение плоскости треугольника АВС, параллельное плоскости П1.

6.Новое положение С вершины С определяется как точка пересечения прямой (В К) с плоскостью , в которой перемещается точка С. Новая

горизонтальная проекция С 1 точки С определится как точка пересечения горизонтальной проекции (В 1К1) прямой (В К) с горизонтальной проекцией

70

Рис. 84

Если прямые с и d пересекаются, то

точка К их пересечения проецируется в точки К1 и К2 пересечения их одноименных проекций.

Очевидно, что К1 и К2 принадлежат одной линии связи (рис. 85а,б).

Справедливо и обратное утверждение: К1=с1 d1^K2=c2 d2 c d, если К1 и К2 принадлежат одной линии связи.

в. Прямыескрещивающиеся

Прямые непараллельные и непересекающиеся называются скрещивающимися. Один из возможных вариантов чертежа скрещивающихся прямых показан на рис. 86,

фронтальных проекций скрещивающихся прямых является фронтальной проекцией двух фронтально конкурирующих точек 3 и 4. По горизонтально конкурирующим точкам 1 и 2 определяется взаимное положение прямых l и m относительно П1. Фронтальная проекция 12 точки 1, принадлежащей прямой l, расположена выше, чем фронтальная проекция 22 точки 2, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая l расположена над прямой m.

По фронтально конкурирующим точкам 3 и 4 определяется взаимное

71

положение прямых l и m относительно фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция 41 точки 4, принадлежащей прямой l, расположена

Рис. 86

ниже, чем горизонтальная проекция 31 точки 3, принадлежащей прямой m (направление взгляда показано стрелкой). Следовательно, прямая l расположена перед прямой m.

4.1.2. Относительное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

а.Взаимнаяпараллельностьпрямойиплоскости

Построение чертежа взаимно параллельных прямой и плоскости основано

на теореме стереометрии:если прямая параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны. Пусть требуется через точку М провести прямую, параллельную плоскости Г(АВС). Для этого достаточно провести через точку М прямую l, параллельную какойлибо прямой, принадлежащей плоскости треугольника АВС. На чертеже (рис.87)

72

через точку М проведена прямая l, параллельная CK: l1||(С1К1) и l2||(С2К2). Обратная задача – построение плоскости, параллельной данной прямой –

выполняется на основании той же теоремы стереометрии. Плоскость

Г(l m) параллельна прямой l (рис. 88), так как l Г и l||l . Обе задачи, очевидно, имеют бесчисленное множество решений.

б.Взаимнаяпараллельностьдвухплоскостей

Построение чертежа двух параллельных плоскостей основано на теореме стереометрии: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, чтобы построить плоскость Г , параллельную плоскости Г(АВС), достаточно провести через точку М две прямые, соответственно параллельные каким-нибудь двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости Г, например сторонам (АВ) и (ВС) (рис. 89).

B2

Рис. 89

ПлоскостьГ (а b)параллельнаплоскостиГ(АВС),таккака||(АВ)иb||(ВС).Можно задатьновуюплоскостькакими-нибудьдругимипересекающимисяпрямыми,например горизонтальюифронталью, соответственнопараллельными горизонталии фронтали плоскостиГ(АВС).Такаяплоскость нарис.89 проведеначерезточкуN –плоскость (h f )параллельнаплоскостиГ(АВС),таккакh ||h иf || f.

4.1.3. Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости

Две прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) называются взаимно перпендикулярными,еслиуголмеждунимиравен90o.

Признакиперпендикулярностидвухпрямых,прямойиплоскости,двухплоскостей рассматриваютсявстереометрии.Напомнимнекоторыеизэтихпризнаков:

73

1) если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых,

принадлежащих плоскости,тоэтапрямаяи плоскостьвзаимноперпендикулярны (рис. 90a);

2) прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна к любой прямой, принадлежащейэтойплоскости(рис.90б);

Рис. 90

3) если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярнаэтойплоскости(рис.90в).

На основании указанных признаков в пространстве начертательная геометрия разработала соответствующие признаки для комплексного чертежа.

Проекции прямого угла

Любой линейный угол (острый, тупой, прямой) проецируется на плоскость проекций в истинную величину, если его стороны параллельны этой плоскости.

прямого угла АВС параллельны горизонтальной плоскости проекций П1 (рис.91). Тогда на П1

Сторона (АВ) и ее горизонтальная проекция (А1В1) располагаются в горизонтально проецирующей плоскости ( 1). Сторона (ВС) , так как (ВС) (АВ) по условию и (ВС) (ВВ1) по построению. Следовательно, прямая

74

(ВС)перпендикулярнаклюбойпрямой(пересекающейсяилискрещивающейсясней), принадлежащей плоскости ,например:(ВС) (ВD),(ВС) (МN)ит.п.(прямые (ВD),

скрещивающихсяпрямых,однаизкоторыхявляетсяфронталью,изображеныначертеже

(рис.936).

Прямая, перпендикулярнаякплоскости

На вопрос о том, как располагаются на комплексном чертеже проекции перпендикуляра к какой-либо плоскости, отвечает следующая теорема.

Теорема 2.

Если прямая перпендикулярна к плоскости в пространстве, то на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, принадлежащим этой плоскости.

Пусть прямая (АК) перпендикулярна к плоскости общего положения (рис.94). Проведем в плоскости произвольные горизонталь h и фронталь f. Так как перпендикуляр к плоскости образует прямые углы со всеми прямыми,

75

принадлежащими плоскости, то (АК) h и (АК) f. На основании теоремы 1:

1) прямой угол АКh проецируется на плоскость П1 без искажения, т. е. (А1К1) h, так как h П1;

2) прямой угол АКf проецируется на плоскость П2 без искажения, т. е. (А2К2) f2,тахкак f||П2.

95). Вплоскости (а b)построеныгоризонталь h(h1,h2)ифронталь f(f1,f2).Проекции искомогоперпендикуляраnпроведенычерезсоответствующиепроекцииА1иА2заданной

точкиАтак, что n1 h1 иn2 f2.Точкапересечения перпендикуляраn сплоскостью в этойзадаченеопределялась.

2.Восставить перпендикуляр к плоскости (АВС) в точке В, принадлежащей плоскости.

Решение задачи аналогично решению предыдущей (прямая m на рис. 95).

3.Через точку А провести плоскость Г, перпендикулярную прямой l общего

76

наибольшегонаклона.Подумайте,почемуодналиниянаибольшегонаклонаоднозначно определяетположениеплоскостивпространстве?

Частныеслучаи

Взаимно перпендикулярные прямые общего положения

Еслистороныпрямогоуглаявляютсяпрямымиобщегоположения,топрямойугол накаждуюизтрехплоскостейпроекций(П1,П2,иП3)проецируетсясискажением(частные случаи рассмотрены в начале главы). При построении проекций такого угла следует исходитьизследующихположений:

1)если две прямые взаимно перпендикулярны, то через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой;

2)если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

78

Таким образом, построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения в конечном счете сводится к построению плоскости, перпендикулярной к заданной прямой общего положения.

Рассмотрим решения некоторых задач.

1. Построить прямую a, перпендикулярную заданной прямой n общего положения.

Чтобы построить прямую, перпендикулярную к данной прямой, необходимо провести плоскость, перпендикулярную к этой прямой, и в этой плоскости провести любую прямую.

Решение задачи дано на чертеже (рис. 100). Через произвольную точку А пространствапроведенаплоскость (h f) n,ивэтойплоскостипостроенапроизвольная прямаяа(а1,а2).Прямаяа n,таккака n.

b2=L2

K2

A2 h2

12 f2

11 b1

K

A

K1

f1

21 A1

Рис. 101

2.ИзточкиАопуститьперпендикулярнапрямуюbобщегоположения. Решение задачи дано на чертеже (рис.101).

Искомая прямая (АК) b является результатом пересечения двух плоскостей: плоскости b, проходящей через точку А, и плоскости проходящей через прямую b и точку А. Задача относится к числу комплексных, подробное объяснение ее решения дано в разделе «Комплексные задачи».

Взаимно перпендикулярные плоскости

Если плоскость проходит через прямую линию, перпендикулярную к другой плоскости (или параллельна этой прямой), то она перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, плоскость , перпендикулярную данной плоскости, можно построить:

1) либо какплоскость, проходящую черезпрямую, перпендикулярнуюзаданной плоскости ;

79