Начерталка пособие

3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую

(рис. 68).

Решение.

Для решения задачи

l2

A2

необходимо заменить плоскость П1

или П2

П2

новой

исходной системы П

X12 П2

B2

1

плоскостью П4, перпендикулярной

П1

плоскости (АВС).

Две плоскости

X

П

A

l1

взаимно перпендикулярны, если одна

14

1

1

из

них

проходит

через

прямую,

П

B1

перпендикулярную к другой плоскости.

4

l4

B4

Следовательно, если какую-либо

прямую, принадлежащую плоскости ,

A4

преобразовать в проецирующую, то

l5=A5=B5

плоскость в новой системе

П

плоскостей

проекций

станет

П

проецирующей. Проще всего для этой

4

5

X

цели воспользоваться линией уровня

4

(см. задачу 2).

5

Рис. 67

На чертеже плоскость (АВС)

преобразована

во

фронтально

проецирующую (см. рис. 68) путем преобразования горизонтали h(h1,h2),

принадлежащей плоскости , во фронтально проецирующую прямую (см, задачу

2). Все построения, выполненные на комплексном чертеже, cделаны на основе

материала данного параграфа. В новой

B2

проекций П4

системе плоскостей

П1

12

h4

плоскость является фрон-тально

A2

проецирующей ( П4), и поэтому ее

X12

П

проекция на П4 вырождается в прямую

2

C2

П1

линию 4(С4,А4,В4).

A1

– величина угла наклона плоскости

C1

к плоскости П1.

C4

Преобразуйте плоскость общего

11

h1

A =h

положения

Г

в

горизонтально

B1

a

проецирующую

(исходный

чертеж

4

4

S4

задайте самостоятельно).

П

1

3адача

4.

Преобразовать

П

4

B4

4

проецирующую плоскость Г в плоскость

X

1

уровня.

Рис. 68

Решение. Допустим, что заданная

плоскость Г является фронтально проецирующей (рис. 69). Заменим плоскость

П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г(АВС) и,

следовательно, перпендикулярной незаменяемой плоскости П2. В новой системе

A4

Примечание.

Плоскость общего

положения

преобразовать

в

плоскость уровня заменой только

одной плоскости проекций нельзя,

X

П

C

так как плоскость П4,

параллельная

2

4

ей, не будет перпендикулярна ни

П

4

4

одной

из

старых

плоскостей

2

B

A2

проекций

и, следовательно,

не

4

образует ни с одной из них прямо-

B2

П2 X

угольной

системы

плоскостей

C2

12

проекций.

B1

П1

Для

того чтобы плоскость

общего положения преобразовать в

плоскость

уровня,

необходимо

выполнить

две,

рассмотренные

C1

выше,

последовательные

замены

A1

плоскостей

проекций.

Вначале

плоскость общего положения необ-

Рис. 69

ходимо

преобразовать в

проеци-

B2

A2

h2

П2

C2

A B C

5

= ABC

5

5

X12 П1

A5

A1

С5

C1

С4

B1

h1

A4

B5

П

1

П

4

4

B4

П

П5

X

1

4

X

4

Рис. 70

5

3.3. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ

i

вращается

вокруг некоторой

неподвижной оси до требуемого

B

положения относительно непо-

движных плоскостей проекций.

При этом каждая точка фигуры,

например точка А (рис. 71),

O

описывает окружность, располо-

a

A

женную в плоскости , перпен-

A

дикулярной

оси

вращения i.

Центр O

этой

окружности

является точкой пересечения оси

вращения с плоскостью Радиус

окружности равен расстоянию

точки А до оси i(|R|=|AO|).

Рис. 71

Если точка А геометри-

оси i, повернется на некоторый угол

ческой фигуры, вращаясь вокруг

, то и все точки фигуры повернутся на

i2

плоскостью уровня ( ||П1). Следовательно,

окружность, описываемая точкой А в

S

A2

O2

A2

пространстве спроецируется на плоскость

П1 без искажения, а на плоскость П2 – в

2

отрезок прямой, совпадающий с 2. Таким

образом, на комплексном чертеже (рис. 72):

1) горизонтальная проекция A1 точки

А перемещается по окружности радиуса

|R|=|АО|=|А1О1|;

2) фронтальная проекция А2 точки А

i1=O1

перемещается по прямой, перпенди-

кулярной линиям связи (вырожденная

фронтальная проекция 2

плоскости ||П1);

A1

3) угол

поворота

горизонтальной

A1

проекции A1

точки А равен углу поворота

точки в пространстве.

Рис. 72

2.

Вращение

точки

А

вокруг

фронтальнопроецирующейпрямойi(i П2).

Если точка А вращается вокруг оси i перпендикулярной П2, то плоскость

, в которой располагается окружность,

описываемая точкой,

становится

фронтальной плоскостью уровня П2)

A2

A2

Следовательно, окружность, описанная точкой

А в пространстве, спроецируется на плоскость

П1 в отрезок прямой, совпадающий с 1, а на

плоскость П2 – без искажения.

i2=O2

Таким образом, на комплексном чертеже

(рис. 73):

1) горизонтальная проекция А1

точки А

перемещается по прямой, перпендикулярной

линиям связи (вырожденная горизонтальная

проекция 1 плоскости П2;

2) фронтальная проекция А2

точки А

S1

O1

перемешается

по

окружности

радиуса

|R|=|AO|=|A2O2|;

A1

A1

3) угол поворота фронтальной проекции

i1

А2 точки А равен углу поворота

точки в

пространстве.

Рис. 73

Примечания:

1. Положение прямой линии в

пространстве определяется двумя точками; следовательно, вращение прямой

сводится к вращению двух точек, принадлежащих ей.

например, во фронталь, ее необходимо вращать около оси i П1;

1) выбираем две точки А(А1А2) и В(В1В2), принадлежащие прямой l;

i2

2) проводим

ось вращения

l2

i(i1,i2) перпендикулярно П1 через

l2

точку В(В1В2)

прямой l(l1,l2);

A2

A2

S2

3) при вращении прямой l

вокруг оси i точка В прямой

останется неподвижной, так как

принадлежит оси, а точка А будет

вращаться по правилам, рассмо-

тренным выше;

B2

4) угол поворота точки А и ее

горизонтальной

проекции

А1

определяется так: когда прямая l

B1=i1

A1

займет положение l параллельное

l1

П2, ее горизонтальная проекция

l1

расположится

перпендикулярно

линиям связи.

Дальнейшие построения ясны

из чертежа. Прямая l (l 1,l 2) –

A1

искомая.

Для преобразования прямой l

l1

общего положения в горизонталь, ее

необходимо вращать около оси i,

Рис. 74

перпендикулярной П2 и проходящей

Решите самостоятельно эту задачу.

через какую-либо точку прямой.

Примечания:

C '

B2'

A2=i2

(рис. 77).

Если плоскость (АВС)

2

является фронтально проециру-

ющей плоскостью, то ее можно

B2

преобразовать в горизонтальную

плоскость уровня, вращая вокруг

C2

оси i, перпендикулярной плос-

кости П2, проведенной через

вершину А треугольника АВС.

В то время когда плоскость

(АВС) расположится парал-

A1

лельно

плоскости

П1

ее

фронтальная проекция – прямая

C '

C1

(А2В2С2)

займет

положение

(А2В 2С 2),

перпендикулярное

1

линиям связи.

i1

Величина

угла

поворота

B1

плоскости =С2A2C 2. Остальные

B1'

построения

основаны

на

правилах,

изложенных ранее, и

Рис. 77

понятны из чертежа.

проеци-

Горизонтально

рующую плоскость можно преобразовать во фронтальную плоскость уровня,

вращая ее вокруг оси i П1

и проходящей через какую-либо точку плоскости.

Решите эту задачу, исходный чертеж задайте самостоятельно.

Примечание. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать

B2=i2

B2''

в

плоскость

уровня,

необходимо

выполнить

A2

два

последовательных

f2

g2

преобразования:

вначале

K2

преобразовать

ее

в

f2'

C2'

проецирующую плоскость

C2

(см.

третью задачу),

а

затем

проецирующую

K2'

плоскость преобразовать в

A2'

A ''

плоскость

уровня

(см.

2

четвертую

задачу).

A1'

Почему?

Преобра зов ание

A1

B1'=K1'

плоскости АВС) во

фронтальную плоскость

K1

f1

уровня показано на рис.78.

i1

C1

C1'=g1

B1'' A1''

Рис. 78

Вращениевокруг линииуровня(совмещениесплоскостьюуровня)

Вращение геометрической фигуры вокруг линии уровня (горизонтали или

фронтали) производится с целью ее совмещения с плоскостью уровня.

Применяется этот способ в основном для преобразования плоскости общего

положения в плоскость уровня при решении следующих задач:

B2' D2=h2

B

O

K B''

B'

h

X12

B2

сводится к вращению только одной

точки, не принадлежащей оси

вращения.

Рассмотрим процесс совме-

B2

O2

B 2

щения точки В с горизонтальной

плоскостью

уровня

путем

D2=h2

вращения ее вокруг горизонтали h,

принадлежащей

этой

плоскости

B1

(рис. 79).

Точка В, вращаясь вокруг

B1

горизонтали h, будет описывать

окружность,

расположенную в

плоскости

h.

Центр

O

этой

R

B0 окружности

является

точкой

O1

пересечения оси вращения (h) c

плоскостью . Радиус окружности

равен расстоянию точки В до оси

B

h(|R|=|ОВ|).

1

h1

Так

как

плоскость

перпендикулярна h, а h параллельна

S1

Рис. 80

П1, то перпендикулярна П1

и ее

горизонтальная проекция вырожда-

ется в прямую

1 h1. Следо-

B2

отмечаем точки В 1 и В 1

пересечения ее с прямой 1;

6) точки В 1 и В 1

h =D

A2

K

C

являются

горизонталь-

ными проекциями соответ-

2

2

O2

2

2

ственно точек В и

В ,

B2

фронтальные

проекции В 2

C2

и В 2

определяются по

B1

линиям связи на прямой 2.

A1

В

случае вращения

точки вокруг фронтали и

B0

совмещения ее с фронталь-

O1

ной плоскостью уровня

рассуждаем

аналогично.

Решите

самостоятельно

B1

C1

эту задачу.

K1

В качестве примера

применения рассмотрен-

S1

ного способа определим

h1

истинную величину треу-

гольника АВС (рис. 81).

Если повернуть плос-

C1

кость треугольника АВС

вокруг

горизонтали

в

S1

Рис. 81

положение,

параллельное

плоскости П1, и построить

его новую горизонтальную

проекцию, то эта проекция и будет искомой величиной.

1. Проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь h(h1,h2) через

вершину А(А1,А2) и отметим точку К(К1К2) пересечения ее со стороной

ВС(В1С1,В2С2).